1、 中考数学几何模型 10：胡不归最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如 “PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆 【故事介绍】【故事介绍】 从前有个少年外出求学， 某天不幸得知老父亲病危的消息， 便立即赶路回家 根据“两点之间线段最短”， 虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小 伙子追悔莫及失声痛哭 邻居告诉小伙子说， 老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” （“胡”同“何”） 而
2、如果先沿着驿道而如果先沿着驿道 AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 【模型建立】【模型建立】 如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1 1如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60 ，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则 3 2 PBPD的最 小值等于_ A B CD P M H P DC B AA B C D P H M 【分析】考虑如何构造“ 3 2 PD”，已知A=60 ，且 sin60 = 3 2 ，故延长 AD，作
3、PHAD 延长线于 H 点， 即可得 3 2 PHPD，将问题转化为：求 PB+PH 最小值当 B、P、H 三点共线时，可得 PB+PH 取到最小 值，即 BH 的长，解直角ABH 即可得 BH 长 例题例题 2. 如图，AC 是圆 O 的直径，AC4，弧 BA120 ，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的 最小值为（ ） A B C D 【解答】解：的度数为 120 ，C60 ， AC 是直径，ABC90 ，A30 ， 作 BKCA，DEBK 于 E，OMBK 于 M，连接 OB BKAC，DBEBAC30 ， 在 Rt DBE 中，DEBD，OD+BDOD+DE， 根据垂
4、线段最短可知，当点 E 与 M 重合时，OD+BD 的值最小，最小值为 OM， BAOABO30 ，OBM60 ， 在 Rt OBM 中， OB2，OBM60 ，OMOBsin60，DB+OD 的最小值为， 故选：B 变式练习变式练习 2 如图， ABC 中， BAC30 且 ABAC， P 是底边上的高 AH 上一点 若 AP+BP+CP 的最小值为 2， 则 BC 【解答】解：如图将 ABP 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AMG连接 PG，CM ABAC，AHBC，BAPCAP， PAPA，BAPCAP（SAS），PCPB， MGPB，AGAP，GAP60 ， GAP 是等边三角形，P
5、APG， PA+PB+PCCP+PG+GM， 当 M，G，P，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 CM 的长， AP+BP+CP 的最小值为 2，CM2， BAM60 ，BAC30 ，MAC90 ，AMAC2， 作 BNAC 于 N则 BNAB1，AN，CN2， BC 故答案为 例题例题 3. 等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC 边在 x 轴上，BC 边的高 OA 在 Y 轴上一只电子虫从 A 出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，已知电子虫在 Y 轴上运动的速度是在 GC 上运动速度的 2 倍，若电子虫走完
6、全程的时间最短，则点 G 的坐标为 （0， ） 【解答】解：如图作 GMAB 于 M，设电子虫在 CG 上的速度为 v， 电子虫走完全全程的时间 t+（+CG）， 在 Rt AMG 中，GMAG， 电子虫走完全全程的时间 t（GM+CG）， 当 C、G、M 共线时，且 CMAB 时，GM+CG 最短， 此时 CGAG2OG，易知 OG 6 所以点 G 的坐标为（0，） 故答案为：（0，） 变式练习变式练习 3如图， ABC 在直角坐标系中，ABAC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 ADC， 点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上
7、的 3 倍， 要使整个运动时间最少， 则点 D 的坐标应为（ ） A（0，） B（0，） C（0，） D（0，） 解：假设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V， 总时间 t+（+CD），要使 t 最小，就要+CD 最小， 因为 ABAC3，过点 B 作 BHAC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D， 易证 ADHACO，所以3，所以DH， 因为 ABC 是等腰三角形，所以 BDCD，所以要+CD 最小，就是要 DH+BD 最小， 就要 B、D、H 三点共线就行了因为 AOCBOD，所以，即， 所以 OD，所以点 D 的坐标应为（0，） 例题例题 4. 直线 y与抛物线 y
8、（x3）24m+3 交于 A，B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与抛物线 的对称轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（点 D 在点 C 的下方），设点 B 的横坐标为 t （1）求点 C 的坐标及线段 CD 的长（用含 m 的式子表示）； （2）直接用含 t 的式子表示 m 与 t 之间的关系式（不需写出 t 的取值范围）； （3）若 CDCB求点 B 的坐标；在抛物线的对称轴上找一点 F，使 BF+CF 的值最小，则满足 条件的点 F 的坐标是 （3，） 【解答】解：（1）抛物线 y（x3）24m+3 的对称轴为 x3， 令 x3，则有 y 34，即点 C 的坐标为（3，4） 抛物线 y
9、（x3）24m+3 的顶点 D 的坐标为（3，4m+3）， 点 D 在点 C 的下方，CD4（4m+3）4m+1 （2）点 B 在直线 y上，且其横坐标为 t， 则点 B 的坐标为（t，t），将点 B 的坐标代入抛物线 y（x3）24m+3 中，得： t（t3）24m+3，整理，得：mt+3 （3）依照题意画出图形，如图 1 所示 过点 C 作 CEx 轴，过点 B 作 BEy 轴交 CE 于点 E 直线 BC 的解析式为 yx，BECE， 由勾股定理得：BCCE CDCB， 有 4m+1（t3）（+3），解得：m4，或 m1 当 m4 时，+4 （4）0，不合适， m1，此时 t+6，y 6
10、8故此时点 B 的坐标为（6，8） 作 B 点关于对称轴的对称点 B，过点 F 作 FMBC 于点 M，连接 BM、BB 交抛物线对称轴于点 N， 如图 2 所示 直线 BC 的解析式为 yx，FMBC， tanFCM，sinFCM B、B关于对称轴对称，BFBF， BF+CFBF+FM 当点 B、F、M 三点共线时 BF+FM 最小 B 点坐标为（6，8），抛物线对称轴为 x3， B点的坐标为（0，8） 又BMBC，tanNBF， NFBNtanNBF， 点 F 的坐标为（3，）故答案为：（3，） 变式练习变式练习 4如图 1，在平面直角坐标系中将 y2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直
11、线 l1，直线 l1与 x 轴交于点 C； 直线 l2：yx+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，且与直线 l1交于点 D （1）填空：点 A 的坐标为 （2，0） ，点 B 的坐标为 （0，2） ； （2）直线 l1的表达式为 y2x2 ； （3）在直线 l1上是否存在点 E，使 S AOE2S ABO？若存在，则求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理 由 （4）如图 2，点 P 为线段 AD 上一点（不含端点），连接 CP，一动点 H 从 C 出发，沿线段 CP 以每秒 1 个单位的速度运动到点 P，再沿线段 PD 以每秒个单位的速度运动到点 D 后停止，求点 H 在整个运 动过程中
12、所用时间最少时点 P 的坐标 【解答】解：（1）直线 l2：yx+2，令 y0，则 x2，令 y0，则 x2， 故答案为（2，0）、（0，2）； （2）y2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直线 l1，则直线 l1的表达式为：y2x2， 故：答案为：y2x2； （3）S AOE2S ABO，yE2OB4， 将 yE4 代入 l1的表达式得：42x2，解得：x3，则点 E 的坐标为（3，4）； （4）过点 P、C 分别作 y 轴的平行线，分别交过点 D 作 x 轴平行线于点 H、H，HC 交 BD 于点 P， 直线 l2：yx+2，则ABO45 HBD，PHPD， 点 H 在整个运动过程中所用
13、时间+PH+PC， 当 C、P、H 在一条直线上时，PH+PC 最小，即为 CH6，点 P 坐标（1，3）， 故：点 H 在整个运动过程中所用最少时间为 6 秒，此时点 P 的坐标（1，3） 例题例题 5. 已知抛物线 ya（x+3）（x1）（a0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于 点 C，经过点 A 的直线 yx+b 与抛物线的另一个交点为 D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点 P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求点 P 的 坐标； （3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD
14、上的一点（不含端点），连接 BE一动点 Q 从点 B 出发， 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒个单位的速度运动到点 D 后停 止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 【解答】解：（1）ya（x+3）（x1）， 点 A 的坐标为（3，0）、点 B 两的坐标为（1，0）， 直线 yx+b 经过点 A，b3， yx3，当 x2 时，y5， 则点 D 的坐标为（2，5）， 点 D 在抛物线上，a（2+3）（21）5，解得，a， 则抛物线的解析式为 y（x+3）（x1）x22x+3； （2）A 的坐标为（3，0），C（0，3），直
15、线 AC 的解析式为：yx+3， ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，CPAC， 设直线 CP 的解析式为：yx+m，把 C（0，3）代入得 m3， 直线 CP 的解析式为：yx+3， 解得，（不合题意，舍去），P（，）； ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形， APAC，设直线 CP 的解析式为：yx+n， 把 A（3，0）代入得 n， 直线 AP 的解析式为：yx， 解 y得，P（，）， 综上所述：点 P 的坐标为（，）或（，）； （3）如图 2 中，作 DMx 轴交抛物线于 M，作 DNx 轴于 N，作 EFDM 于 F， 则 tanDAN，DAN60 ，EDF60 ， DEE
16、F，Q 的运动时间 t+BE+ 3 2 DE =BE+EF， 当 BE 和 EF 共线时，t 最小，则 BEDM，此时点 E 坐标（1，4） 变式练习变式练习 5如图，已知抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）、B（8，0），交 y 轴于点 C，过点 A、B、 C 三点的M 与 y 轴的另一个交点为 D （1）求此抛物线的表达式及圆心 M 的坐标； （2）设 P 为弧 BC 上任意一点（不与点 B，C 重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，请问：APAN 是否为定 值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）延长线段 BD 交抛物线于点 E，设点 F 是线段 BE 上
17、的任意一点（不含端点），连接 AF动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到点 F，再沿线段 FB 以每秒个单位的速度运动 到点 B 后停止，问当点 F 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 【解答】解：（1）抛物线解析式为 y（x+8）（x2），即 yx2x+4； 当 x0 时，yx2x+44，则 C（0，4） BC4，AC2，AB10， BC2+AC2AB2，ABC 为直角三角形，且ACB90 ， AB 为直径，圆心 M 点的坐标为（3，0）； （2）以 APAN 为定值理由如下：如图 1， AB 为直径，APB90 ， APBAON，NAOB
18、AP，APBAON AN：ABAO：AP，ANAPABAO20， 所以 APAN 为定值，定值是 20； （3）ABCD，ODOC4，则 D（0，4），易得直线 BD 的解析式为 yx4， 过 F 点作 FGx 轴于 G，如图 2， FGOD，BFGBDO， ，即， 点 Q 沿线段 FB 以每秒个单位的速度运动到点 B 所用时间 等于点 Q 以每秒 1 个单位的速度运动到 G 点的时间， 当 AF+FG 的值最小时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少， 作EBIABE，BI 交 y 轴于 I， 作 FHBI 于 H，则 FHFG，AF+FGAF+FH， 当点 A、F、H 共线时，AF+FH
19、的值最小，此时 AHBI，如图 2， 作 DKBI，垂足为 K， BE 平分ABI，DKDO4，设 DIm， DIKBIO，IDKIBO， ，BI2m， 在 Rt OBI 中，82+（4+m）2（2m）2，解得 m14（舍去），m2，I（0，）， 设直线 BI 的解析式为 ykx+n， 把 B（8，0），I（0，）代入得，解得，直线 BI 的解析式为 yx， AHBI，直线 AH 的解析式可设为 yx+q， 把 A（2，0）代入得+q0，解得 q，直线 AH 的解析式为 yx， 解方程组，解得，F（2，3）， 即当点 F 的坐标是（2，3）时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少 达标检测 领
20、悟提升 强化落实 1. 如图，在平面直角坐标系中，点3, 3A，点 P 为 x 轴上的一个动点，当OPAP 2 1 最小时，点 P 的坐 标为_. 答案答案：0 , 2P 2. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，点 M 为对角线 BD（不含点 B）上的一动点，则 BMAM 2 1 的最小值为_. 答案答案：32 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0，），C（2， 0），其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A
21、，B，M，N 为顶点的四边形为 菱形，求点 M 的坐标； （3）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求PB+PD 的最小值 【解答】解：（1）由题意，解得 ，抛物线解析式为 yx2x， yx2x（x）2，顶点坐标（，）； （2）设点 M 的坐标为（，y） A（1，0），B（0，），AB21+34 以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 AMAB， 则（+1）2+y24，解得 y，即此时点 M 的坐标为（，）或（，）； 以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 BMAB， 则（）2+（y+）24，解得 y+或 y， 即此时点 M 的坐标为（，+）或（，）
22、； 线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时 AMBM， 则（+1）2+y2（）2+（y+）2，解得 y， 即此时点 M 的坐标为（，） 综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（，）或（，）或（，+） 或（，）或（，）； （3）如图，连接 AB，作 DHAB 于 H，交 OB 于 P，此时PB+PD 最小 理由：OA1，OB，tanABO， ABO30 ，PHPB， PB+PDPH+PDDH， 此时PB+PD 最短（垂线段最短） 在 Rt ADH 中，AHD90 ，AD，HAD60 ， sin60 ，DH， PB+PD 的最小值为 4. 【问题提出】如图，已知海岛 A 到海岸公路 BD
23、的距离为 AB 的长度，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，车速为船速的 n 倍，点 D 选在何处时，所用时 间最短？ 【特例分析】 若 n2， 则时间 t+， 当 a 为定值时， 问题转化为： 在 BC 上确定一点 D， 使得+ 的值最小如图，过点 C 做射线 CM，使得BCM30 （1）过点 D 作 DECM，垂足为 E，试说明：DE； （2）请在图中画出所用时间最短的登陆点 D 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题（写出具体方案，如相关图 形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等） 【综合运用】（4
24、）如图，抛物线 yx2+x+3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF一动点 P 从 E 出发，沿线段 EF 以每秒 1 个 单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC 以每秒个单位的速度运动到 C 后停止若点 P 在整个运动过程 中用时最少，请求出最少时间和此时点 F 的坐标 【解答】解：（1）如图，DECM，DEC90 ，在 Rt BCM 中，DECDsin30 CD； （2）如图过点 A 作 AECM 交 BC 于点 D，则点 D即为所用时间最短的登陆点； （3）如图，过点 C 作射线 CM，使得 si
25、nBCM， 过点 A 作 AECM，垂足为 E 交 BC 于点 D，则点 D 为为所用时间最短的登陆点； （4）由题意得：tEF+CF， 过点 C 作 CDx 轴交抛物线于点 D，过点 F 作 GFCD 交 CD 于点 G， ACBDCB，sinABC，则 EFCF，EF+CFEF+FH， 故当 E、F、H 三点共线且与 CD 垂直时，t 最小，将点 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：yx+3，点 E 是 OB 中点，其坐标为：（3，0）， 当 x3 时，对于 yx+3，y，点 F 坐标为（3，）， tEF+CF， 当 H、F、E 三点共线时，EF+FHOC3，
26、即：最小时间为 3 秒 5. 如图， ABC 是等边三角形 （1）如图 1，AHBC 于 H，点 P 从 A 点出发，沿高线 AH 向下移动，以 CP 为边在 CP 的下方作等边 三角形 CPQ，连接 BQ求CBQ 的度数； （2）如图 2，若点 D 为 ABC 内任意一点，连接 DA，DB，DC证明：以 DA，DB，DC 为边一定能组 成一个三角形； （3）在（1）的条件下，在 P 点的移动过程中，设 xAP+2PC，点 Q 的运动路径长度为 y，当 x 取最小 值时，写出 x，y 的关系，并说明理由 【解答】（1）解：如图 1 中 ABC 是等边三角形，AHBC， CAPBAC30 ，CA
27、CB，ACB60 ， PCQ 是等边三角形， CPCQ，PCQACB60 ， ACPBCQ， ACPBCQ， CBQCAP30 （2）证明：如图 2 中，将 ADC 绕当 A 顺时针旋转 60 得到 ABQ，连接 DQ ACDABQ， AQAD，CDBQ， DAQ60 ， ADQ 是等边三角形， ADDQ， DA，DB，DC 为边一定能组成一个三角形（图中 BDQ） （3）如图 3 中，作 PEAB 于 E，CFAB 于 F 交 AH 于 G PEPA， PA+2PC2（PA+PC）2（PE+PC）， 根据垂线段最短可知，当 E 与 F 重合，P 与 G 重合时， PA+2PC 的值最小，最小
28、值为 2CF 由（1）可知 ACPBCQ，可得 BQPA， PABQAGCGy，FGy，x2（y+y），yx 6. 如图，已知抛物线 y（x+2）（x4）（k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+b 与抛物线的另一交点为 D （1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值； （3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线 段 AF 以每秒 1 个单位
29、的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 【解答】解：（1）抛物线 y（x+2）（x4），令 y0，解得 x2 或 x4， A（2，0），B（4，0） 直线 yx+b 经过点 B（4，0）， 4+b0，解得 b， 直线 BD 解析式为：yx+当 x5 时，y3，D（5，3） 点 D（5，3）在抛物线 y（x+2）（x4）上，（5+2）（54）3， k抛物线的函数表达式为：y（x+2）（x4） 即 yx2x （2）由抛物线解析式，令 x0，得 yk，C（0，k），OCk 因为点 P 在第一象限内的抛
30、物线上，所以ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是 ABCAPB 或 ABCPAB 若 ABCAPB，则有BACPAB，如答图 21 所示 设 P（x，y），过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNy tanBACtanPAB，即：，yx+k P（x，x+k），代入抛物线解析式 y（x+2）（x4）， 得（x+2）（x4）x+k，整理得：x26x160， 解得：x8 或 x2（与点 A 重合，舍去），P（8，5k） ABCAPB， ，即，解得：k 若 ABCPAB，则有ABCPAB，如答图 22 所示 设 P（x，y），过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNy t
31、anABCtanPAB，即：， yx+ P（x，x+），代入抛物线解析式 y（x+2）（x4）， 得（x+2）（x4）x+，整理得：x24x120， 解得：x6 或 x2（与点 A 重合，舍去），P（6，2k） ABCPAB，解得 k， k0，k， 综上所述，k或 k （3）方法一： 如答图 3，由（1）知：D（5，3）， 如答图 22，过点 D 作 DNx 轴于点 N， 则 DN3，ON5，BN4+59， tanDBA， DBA30 过点 D 作 DKx 轴，则KDFDBA30 过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FGDF 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：tAF+
32、DF， tAF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG 的长度值 由垂线段最短可知，折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t最小AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点 A 点横坐标为2，直线 BD 解析式为：yx+， y （2）+2，F（2，2） 综上所述，当点 F 坐标为（2，2）时，点 M 在整个运动过程中用时最少 方法二： 作 DKAB，AHDK，AH 交直线 BD 于点 F， DBA30 ，BDH30 ， FHDF sin30 ， 当且仅当 AHDK 时，AF+FH 最小， 点 M 在整个运动中用时为：t
33、， lBD：yx+，FXAX2， F（2，） 7. 已如二次函数 yx2+2x+3 的图象和 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， （1）如图 1，P 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合）过 P 作 PQx 轴交直线 BC 于 Q， 求线段 PQ 的最大值； （2）如图 2，点 G 为线段 OC 上一动点，求 BG+CG 的最小值及此时点 G 的坐标； （3）如图 3，在（2）的条件下，M 为直线 BG 上一动点，N 为 x 轴上一动点，连接 AM，MN，求 AM+MN 的最小值 【解答】解：（1）令 y0，即：x2+2x+30， 解得：x
34、3 或1，即点 A、B 的坐标分比为（1，0）、（3，0）， 令 x0，则 y3，则点 C 的坐标为（0，3）， 直线 BC 过点 C（0，3），则直线表达式为：ykx+3， 将点 B 坐标代入上式得：03k+3，解得：k1， 则直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P 的坐标为（m，n），nm2+2m+3， 则点 Q 坐标为（3n，n）， 则 PQm（3n）m2+3m， a10，则 PQ 有最大值， 当 m，PQ 取得最大值为； （2）过直线 CG 作GCH，使 CHGH， 当 sin时，HGGC， 则 BG+CG 的最小值即为 HG+GB 的最小值， 当 B、H、G 三点共线时，HG+
35、GB 最小，则GBO， sin，则 cos，tan， OGOBtan3 ，即点 G（0，）， CG3，而 BG， BG+CG 的最小值为：； （3）作点 A 关于直线 BG 的对称点 A， 过 A作 ANx 轴，交 BG 于点 M，交 x 轴于点 N， 则此时 AM+MN 取得最小值，即为 AN 的长度， 则：GBAAANOGB， AA2ABsinABG2 4 sin， ANAAcos ， 即：AM+MN 的最小值为 8. 如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，B30 ，AB4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD， 过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，垂足为 G
36、，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（ ） A B C D 【解答】解：延长 AC 到点 P，使 CPAC，连接 BP，过点 F 作 FHBP 于点 H，取 AC 中点 O，连接 OG，过点 O 作 OQBP 于点 Q， ACB90 ，ABC30 ，AB4，ACCP2，BPAB4 ABP 是等边三角形，FBH30 Rt FHB 中，FHFB 当 G、F、H 在同一直线上时，GF+FBGF+FHGH 取得最小值 AECD 于点 G，AGC90 O 为 AC 中点，OAOCOGAC A、C、G 三点共圆，圆心为 O，即点 G 在O 上运动 当点 G 运动到 OQ 上时，GH 取得最小值 Rt
37、OPQ 中，P60 ，OP3，sinP OQOP，GH 最小值为 故选：C 9. 抛物线 2 62 3 6 63 yxx 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C点 P 是直 线 AC 上方抛物线上一点，PFx 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O1B1，当 1 2 PEEC的值最大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O1 的坐标 E B1O1 P AB C F y x O 【分析】根据抛物线解析式得 A 3 2,0、B 2,0、C 0, 6， 直线 AC 的解析式为：
38、 3 6 3 yx，可知 AC 与 x 轴夹角为 30 根据题意考虑，P 在何处时，PE+ 2 EC 取到最大值 过点 E 作 EHy 轴交 y 轴于 H 点，则CEH=30 ，故 CH= 2 EC ， 问题转化为 PE+CH 何时取到最小值考虑到 PE 于 CH 并无公共端点，故用代数法计算，设 2 62 3 ,6 63 P mmm ， 则 3 ,6 3 E mm ， 3 0,6 3 Hm ， 2 6 3 6 PEmm ， 3 3 CHm ， 2 2 64 364 6 =2 2 6363 PECHmmm H O x y F C BA P O1B1 E C1 O x y F C BA P O1
39、B1 E 当 PE+EC 的值最大时，x2，此时 P（2，），PC2， O1B1OB，要使四边形 PO1B1C 周长的最小，即 PO1+B1C 的值最小， 如图 2，将点 P 向右平移个单位长度得点 P1（，），连接 P1B1，则 PO1P1B1， 再作点 P1关于 x 轴的对称点 P2（，），则 P1B1P2B1， PO1+B1CP2B1+B1C， 连接 P2C 与 x 轴的交点即为使 PO1+B1C 的值最小时的点 B1， B1（，0）， 将 B1向左平移个单位长度即得点 O1， 此时 PO1+B1CP2C， 对应的点 O1的坐标为（，0）， 四边形 PO1B1C 周长的最小值为+3 .
