1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 02 二次函数与面积的最值定值问题二次函数与面积的最值定值问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年常州 27 题）如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） ，点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上 （1）b 2 ； （2）若点 P 在第一象限，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，PH 与 BC、BD 分别交于点 M、N是否存在 这样的点 P，使得 PMMNNH？若存在，求出
2、点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 的横坐标小于 3，过点 P 作 PQBD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x 轴交于点 R，且 SPQB2S QRB，求点 P 的坐标 【分析】 （1）把点 A 坐标代入二次函数解析式即求得 b 的值 （2）求点 B、C、D 坐标，求直线 BC、BD 解析式设点 P 横坐标为 t，则能用 t 表示点 P、M、N、H 的坐标，进而用含 t 的式子表示 PM、MN、NH 的长以 PMMN 为等量关系列得关于 t 的方程，求得 t 的值合理（满足 P 在第一象限） ，故存在满足条件的点 P，且求得点 P 坐标 （3）过点 P 作 PFx 轴于 F，
3、交直线 BD 于 E，根据同角的余角相等易证EPQOBD，所以 cos EPQcosOBD= 25 5 ， 即在RtPQE中， cosEPQ= = 25 5 ； 在 RtPFR 中， cosRPF= = 25 5 ， 进而得 PQ= 25 5 PE，PR= 5 2 PF设点 P 横坐标为 t，可用 t 表示 PE、PF，即得到用 t 表示 PQ、PR又 由 SPQB2SQRB易得 PQ2QR要对点 P 位置进行分类讨论得到 PQ 与 PR 的关系，即列得关于 t 的 方程求得 t 的值要注意是否符合各种情况下 t 的取值范围 【解析】 （1）二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴交于点
4、A（1，0） 1b+30 解得：b2 故答案为：2 （2）存在满足条件呢的点 P，使得 PMMNNH 二次函数解析式为 yx2+2x+3 当 x0 时 y3， C（0，3） 当 y0 时，x2+2x+30 解得：x11，x23 A（1，0） ，B（3，0） 直线 BC 的解析式为 yx+3 点 D 为 OC 的中点， D（0，3 2） 直线 BD 的解析式为 y= 1 2 + 3 2， 设 P（t，t2+2t+3） （0t3） ，则 M（t，t+3） ，N（t， 1 2t+ 3 2） ，H（t，0） PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（ 1 2x+ 3 2）= 1 2t+ 3
5、2，NH= 1 2t+ 3 2 MNNH PMMN t2+3t= 1 2t+ 3 2 解得：t1= 1 2，t23（舍去） P（1 2， 15 4 ） P 的坐标为（1 2， 15 4 ） ，使得 PMMNNH （3）过点 P 作 PFx 轴于 F，交直线 BD 于 E OB3，OD= 3 2，BOD90 BD= 2+ 2= 35 2 cosOBD= = 3 35 2 = 25 5 PQBD 于点 Q，PFx 轴于点 F PQEBQRPFR90 PRF+OBDPRF+EPQ90 EPQOBD，即 cosEPQcosOBD= 25 5 在 RtPQE 中，cosEPQ= = 25 5 PQ= 2
6、5 5 PE 在 RtPFR 中，cosRPF= = 25 5 PR= 25 5 = 5 2 PF SPQB2SQRB，SPQB= 1 2BQPQ，SQRB= 1 2BQQR PQ2QR 设直线 BD 与抛物线交于点 G 1 2 + 3 2 = x2+2x+3，解得：x13（即点 B 横坐标） ，x2= 1 2 点 G 横坐标为 1 2 设 P（t，t2+2t+3） （t3） ，则 E（t， 1 2t+ 3 2） PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（ 1 2t+ 3 2）|t 2+5 2t+ 3 2| 若 1 2 t3，则点 P 在直线 BD 上方，如图 2， PFt2+2t+3，P
7、Et2+ 5 2t+ 3 2 PQ2QR PQ= 2 3PR 25 5 PE= 2 3 5 2 PF，即 6PE5PF 6（t2+ 5 2t+ 3 2）5（t 2+2t+3） 解得：t12，t23（舍去） P（2，3） 若1t 1 2，则点 P 在 x 轴上方、直线 BD 下方，如图 3， 此时，PQQR，即 SPQB2SQRB不成立 若 t1，则点 P 在 x 轴下方，如图 4， PF（t2+2t+3）t22t3，PE= 1 2t+ 3 2 （t2+2t+3）t2 5 2t 3 2 PQ2QR PQ2PR 25 5 PE2 5 2 PF，即 2PE5PF 2（t2 5 2t 3 2）5（t
8、22t3） 解得：t1= 4 3，t23（舍去） P（ 4 3， 13 9 ） 综上所述，点 P 坐标为（2，3）或（ 4 3， 13 9 ） 点睛： 本题考查了二次函数的图象与性质， 一次函数的图象与性质， 解一元二次方程， 同角的余角相等， 三角函数的应用第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点 P 的位置，要通过图象发 现每种情况下相同的和不同的解题思路 2 （2018 年徐州 27 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+6x5 的图象与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C，其顶点为 P，连接 PA、AC、CP，过点 C 作 y 轴的垂线 l （1）
9、求点 P，C 的坐标； （2）直线 l 上是否存在点 Q，使PBQ 的面积等于PAC 的面积的 2 倍？若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用配方法求出顶点坐标，令 x0，可得 y5，推出 C（0，5） ； （2）直线 PC 的解析式为 y3x5，设直线交 x 轴于 D，则 D（5 3，0） ，设直线 PQ 交 x 轴于 E，当 BE 2AD 时，PBQ 的面积等于PAC 的面积的 2 倍，分两种情形分别求解即可解决问题 【解析】 （1）yx2+6x5（x3）2+4， 顶点 P（3，4） ， 令 x0 得到 y5， C（05） （2）令 y0，x26x+50，
10、解得 x1 或 5， A（1，0） ，B（5，0） ， 设直线 PC 的解析式为 ykx+b，则有 = 5 3 + = 4， 解得 = 3 = 5， 直线 PC 的解析式为 y3x5，设直线交 x 轴于 D，则 D（5 3，0） ， 设直线 PQ 交 x 轴于 E，当 BE2AD 时，PBQ 的面积等于PAC 的面积的 2 倍， AD= 2 3， BE= 4 3， E（11 3 ，0）或 E（19 3 ，0） ， 则直线 PE 的解析式为 y6x+22， Q（9 2，5） ， 直线 PE的解析式为 y= 6 5x+ 38 5 ， Q（21 2 ，5） ， 综上所述，满足条件的点 Q（9 2，5
11、） ，Q（ 21 2 ，5） 点睛：本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学 会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 3 （2019 年淮安 26 题）如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，D 为顶点，其中点 B 的坐标为 （5，0） ，点 D 的坐标为（1，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F，且 EDEF，求点 E 的坐标 （3）试问在该二次函数图象上是否存在点 G，使得ADG 的面积是BDG 的面积的3 5？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请
12、说明理由 【分析】 （1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解； （2）可通过点 B，点 D 求出线段 BD 所在的直线关系式，点 E 在线段 BD 上，即可设点 E 的坐标，利用 点与点的关系公式，通过 EFED 即可求解； （3）分两种情形分别求解，求出直线 DG 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可 【解析】 （1）依题意，设二次函数的解析式为 ya（x1）2+3 将点 B 代入得 0a（51）2+3，得 a= 3 16 二次函数的表达式为：y= 3 16（x1） 2+3 （2）依题意，点 B（5，0） ，点 D（1，3） ，设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 代入得0 = 5 +
13、3 = + ，解得 = 3 4 = 15 4 线段 BD 所在的直线为 y= 3 4x+ 15 4 ， 设点 E 的坐标为： （x， 3 4x+ 15 4 ） ED2（x1）2+（ 3 4x+ 15 4 3）2， EF2= ( 3 4 + 15 4 )2 EDEF， （x1）2+（ 3 4x+ 15 4 3）2= ( 3 4 + 15 4 )2， 整理得 2x2+5x250， 解得 x1= 5 2，x25（舍去） 故点 E 的纵坐标为 y= 3 4 5 2 + 15 4 = 15 8 点 E 的坐标为(5 2， 15 8 ) （3）存在点 G， 当点 G 在 x 轴的上方时，设直线 DG 交
14、x 轴于 P，设 P（t，0） ，作 AEDG 于 E，BFDG 于 F 由题意：AE：BF3：5， BFAE， AP：BPAE：BF3：5， （3t） ： （5t）3：5， 解得 t15， 直线 DG 的解析式为 y= 3 16x+ 45 16， 由 = 3 16 + 45 16 = 3 16 ( 1)2+ 3 ， 解得 = 0 = 45 16 或 = 1 = 3， G（0，45 16） 当点 G 在 x 轴下方时，如图 2 所示， AO：OB3：5 当ADG 与BDG 的高相等时， 存在点 G 使得 SADG：SBDG3：5， 此时，DG 的直线经过原点，设直线 DG 的解析式为 ykx，
15、 将点 D 代入得 k3， 故 y3x， 则有 = 3 = 3 16 ( 1)2+ 3 整理得， （x1） （x+15）0， 得 x11（舍去） ，x215 当 x15 时，y45， 故点 G 为（15，45） 综上所述，点 G 的坐标为（0，45 16）或（15，45） 点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 4 （2019 年无锡 27 题）已知二次函数 yax2+bx4（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点， （A 在 B 左侧， 且 OAOB）
16、，与 y 轴交于点 C （1）求 C 点坐标，并判断 b 的正负性； （2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 AC 相交于点 D，已知 DC：CA1：2，直线 BD 与 y 轴交 于点 E，连接 BC 若BCE 的面积为 8，求二次函数的解析式； 若BCD 为锐角三角形，请直接写出 OA 的取值范围 【分析】 （1）确定 C（0，4） ，则 OAOB，则对称轴在 y 轴右侧，即 2 0，即可求解； （2）过点 D 作 DMOy，则 = = = 1 2， = 1 2 ，求出 D（m，6） ，B（4m，0） 、 OE8，由 SBEF= 1 2 44m8，即可求解；分CDB 为锐角、当BCD 为锐
17、角时，两种情况，分 别求解即可 【解析】 （1）令 x0，则 y4，C（0，4） ， OAOB，对称轴在 y 轴右侧，即 20 a0，b0； （2）过点 D 作 DMy 轴， 则 = = = 1 2， = 1 2 ， 设 A（2m，0）m0，则 AO2m，DMm OC4，CM2， D（m，6） ，B（4m，0） ， 则 = = ;6 ， OE8， SBEC= 1 2 44m8， m1， A（2，0） ，B（4，0） ， 设 ya（x+2） （x4） ， 即 yax22ax8a， 令 x0，则 y8a， C（0，8a） ， 8a4，a= 1 2， = 1 2 2 4； 由知 B（4m，0）C（0
18、，4）D（m，6） ，则CBD 一定为锐角， CB216m2+16，CD2m2+4，DB29m2+36， 当CDB 为锐角时， CD2+DB2CB2， m2+4+9m2+3616m2+16， 解得2m2； 当BCD 为锐角时， CD2+CB2DB2， m2+4+16m2+169m2+36， 解得2或 2(舍)， 综上：22，2224； 故：224 点睛：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例、勾股定理运用等，其中（1） ，用 平行线分线段成比例，是本题解题的关键 5 （2018 年盐城 27 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0
19、） 、B （3，0）两点，且与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线 与抛物线相交于 P、Q 两点（点 P 在点 Q 的左侧） ，连接 PQ，在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D，连 接 DP、DQ （）若点 P 的横坐标为 1 2，求DPQ 面积的最大值，并求此时点 D 的坐标； （） 直尺在平移过程中， DPQ 面积是否有最大值？若有， 求出面积的最大值； 若没有， 请说明理由 【分析】 （1）根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2） （I）由点 P
20、 的横坐标可得出点 P、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PQ 的表达式，过点 D 作 DEy 轴交直线 PQ 于点 E，设点 D 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 E 的坐标为（x，x+ 5 4） ，进而即 可得出 DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出 SDPQ2x2+6x+ 7 2，再利用二次函数的性质即可解 决最值问题； （II）假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4+t，进而可得出点 P、Q 的坐标，利用待定 系数法可求出直线 PQ 的表达式，设点 D 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 E 的坐标为（x，2（t+1） x+t2+4t+3） ，
21、进而即可得出 DE 的长度， 利用三角形的面积公式可得出 SDPQ2x2+4 （t+2） x2t28t， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题 【解析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 yax2+bx+3，得： + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0，解得： = 1 = 2 ， 抛物线的表达式为 yx2+2x+3 （2） （I）当点 P 的横坐标为 1 2时，点 Q 的横坐标为 7 2， 此时点 P 的坐标为（ 1 2， 7 4） ，点 Q 的坐标为（ 7 2， 9 4） 设直线 PQ 的表达式为 ymx+n， 将 P（ 1 2， 7 4） 、Q（ 7 2， 9 4）代入 ym
22、x+n，得： 1 2 + = 7 4 7 2 + = 9 4 ，解得： = 1 = 5 4 ， 直线 PQ 的表达式为 yx+ 5 4 如图，过点 D 作 DEy 轴交直线 PQ 于点 E， 设点 D 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 E 的坐标为（x，x+ 5 4） ， DEx2+2x+3（x+ 5 4）x 2+3x+7 4， SDPQSDPE+SDQE= 1 2DE （xQxP）2x 2+6x+7 2 = 2（x 3 2） 2+8 20， 当 x= 3 2时，DPQ 的面积取最大值，最大值为 8，此时点 D 的坐标为（ 3 2， 15 4 ） （II）假设存在，设点 P 的横坐标为
23、t，则点 Q 的横坐标为 4+t， 点 P 的坐标为（t，t2+2t+3） ，点 Q 的坐标为（4+t，（4+t）2+2（4+t）+3） ， 利用待定系数法易知，直线 PQ 的表达式为 y2（t+1）x+t2+4t+3 设点 D 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 E 的坐标为（x，2（t+1）x+t2+4t+3） ， DEx2+2x+32（t+1）x+t2+4t+3x2+2（t+2）xt24t， SDPQ= 1 2DE （xQxP）2x 2+4（t+2）x2t28t2x（t+2）2+8 20， 当 xt+2 时，DPQ 的面积取最大值，最大值为 8 假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ
24、面积有最大值，面积的最大值为 8 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三 角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是： （1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表 达式； （2） （I）利用三角形的面积公式找出 SDPQ2x2+6x+ 7 2； （II）利用三角形的面积公式找出 SDPQ 2x2+4（t+2）x2t28t 6（2018 年泰州 24 题） 平面直角坐标系 xOy 中， 二次函数 yx22mx+m2+2m+2 的图象与 x 轴有两个交点 （1）当 m2 时，求二次函数的图象与 x 轴交点的坐标； （2）过点 P（0，m1）
25、作直线 ly 轴，二次函数图象的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直 线 l 上） ，求 m 的范围； （3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 l 相交于点 B，求ABO 的面积最大时 m 的值 【分析】 （1）与 x 轴相交令 y0，解一元二次方程求解； （2）应用配方法得到顶点 A 坐标，讨论点 A 与直线 l 以及 x 轴之间位置关系，确定 m 取值范围 （3）在（2）的基础上表示ABO 的面积，根据二次函数性质求 m 【解析】 （1）当 m2 时，抛物线解析式为：yx2+4x+2 令 y0，则 x2+4x+20 解得 x12+2，x222 抛物线与 x
26、 轴交点坐标为： （2+2，0） （22，0） （2）yx22mx+m2+2m+2（xm）2+2m+2 抛物线顶点坐标为 A（m，2m+2） 二次函数图象的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间（不包含点 A 在直线 l 上） 当直线 l 在 x 轴上方时 2 + 2 1 10 2 + 20 不等式无解 当直线 l 在 x 轴下方时 2 + 2 1 2 + 20 10 解得3m1 （3）由（1） 点 A 在点 B 上方，则 AB（2m+2）（m1）m+3 ABO 的面积 S= 1 2（m+3） （m）= 1 2 2 3 2 1 2 0 当 m= 2 = 3 2时，S 最大= 9 8 点睛：本题以
27、含有字母系数 m 的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、数形结合的 数学思想 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2019 秋亭湖区校级期末）如图，抛物线 yx2+bx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 点 A（1，0） 过点 A 作直线 yx+c 与抛物线交于点 D，动点 P 在直线 yx+c 上，从点 A 出发，以每 秒2个单位长度的速度向点 D 运动， 过点 P 作直线 PQy 轴， 与抛物线交于点 Q， 设运动时间为 t （s） （1）直接写出 b，c 的值及点 D 的坐标； （2）点 E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，
28、当CBE 的面积为 6 时，求出点 E 的坐标； （3）在线段 PQ 最长的条件下，点 M 在直线 PQ 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 D、M、N 为顶点 的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点 N 的坐标 【分析】 （1）将点 A 的坐标分别代入抛物线和直线的表达式即可求解； （2）求出直线 CE 的表达式为：y（2m）x+3，则点 H（ 3 2;，0） ，CBE 的面积= 1 2BH（xCyE） = 1 2 （3 3 2） （3+m 22m3）6，即可求解； （3）PQt2+4ttt2+3t，故 PQ 有最大值，点 P（1 2， 3 2） ，当DMN 为直角时， （）当点 M
29、 在 x 轴上方时，如图 2，证明DGMMHN（AAS） ，则 GDMH，NHGM，即可求解（）当点 M 在 x 轴下方时，同理可得：MENDHM（AAS） ，即可求解；当DNM 为直角时，同理可解 【解答】解： （1）将点 A 的坐标代入 yx2+bx+3 得：01b+3， 解得：b2， 将点 A 的坐标代入 yx+c 并解得：c1， 故抛物线和直线的表达式分别为：yx2+2x+3，yx+1； 联立上述两式得： = 2 + 2 + 3 = + 1 ，解得： = 2 = 3， 故点 D（2，3） ； （2）如图 1，设直线 CE 交 x 轴于点 H， 设点 E（m，m2+2m+3） ，而点 C
30、（0，3） ， 将点 E、C 坐标代入一次函数表达式 ysx+t 得： 2 + 2 + 3 = + = 3 ，解得： = + 2 = 3 ， 故直线 CE 的表达式为：y（2m）x+3， 令 y0，则 x= 3 2，故点 H（ 3 2;，0） ， CBE 的面积= 1 2BH（xCyE）= 1 2 （3 3 2） （3+m 22m3）6， 解得：m2，故点 E（2，3） ； （3）点 C、E 的纵坐标相同，故 CDx 轴， t 秒时，AP= 2t，则点 P 在 x 轴和 y 轴方向移动的距离均为 t，故点 P（t1，t） ， 当 xt1 时，yx2+2x+3t2+4t，故点 Q（t1，t2+4
31、t） ， 则 PQt2+4ttt2+3t， 10，故 PQ 有最大值，此时，t= 3 2，则点 P（ 1 2， 3 2） ， 故直线 PQ 表达式为：x= 1 2； 设点 M（1 2，m） ，点 N（n，0） ，而点 D（2，3） ； 当DMN 为直角时， （）当点 M 在 x 轴上方时，如图 2， 设直线 PQ 交 x 轴于点 H，交 CD 于点 G， DMG+GDM90，DMG+HMN90， HMNGDM，MNMD，DGMMHN90， DGMMHN（AAS） ， GDMH，NHGM， 即： = 2 1 2 3 = 1 2 ，解得： = 3 2 = 2 ， 故点 N（2，0） ； （）当点
32、M 在 x 轴下方时，如图 3， 过点 M 作 x 轴的平行线交过点与 y 轴的平行线于点 H，交过点 N 与 y 轴的平行线于点 E， 同理可得：MENDHM（AAS） ， 故：NEMH，EMDH， 即 1 = 2 1 2 1 2 = 3 ，解得： = 3 2 = 4 ， 故点 N（4，0） ； 当DNM 为直角时， （）当点 N 在 x 轴左侧时，如图 4， 过点 N 作 y 轴的平行线交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H，交过点 M 与 x 轴的平行线于点 R， 同理可得：DHNNRM（AAS） ， RMNH，即 3= 1 2 n，解得：n2.5； （）当点 N 在 x 轴右侧时，如图
33、 5， 过点 N 作 y 轴的平行线交过点 M 与 x 轴的平行线于点 H，交过点 D 与 x 轴的平行线于点 G， 同理可得：MHNNGD（AAS） ， MHGN，即 n 1 2 =3，解得：n3.5， 综上，N 的坐标为： （2，0）或（4，0）或（2.5，0）或（3.5，0） 2 （2019 秋海州区校级期末）在平面直角坐标系中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物 线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、B （1）求 c 的值及 a、b 满足的关系式； （2）当 x0 时，若 yax2+bx+c（a0）的函数值随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围； （
34、3）如图，当 a1 时，在抛物线上是否存在点 P，使PAB 的面积为3 2？若存在，请求出符合条件的 所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求出点 A、B 的坐标，即可求解； （2）当 x0 时，若 yax2+bx+c（a0）的函数值随 x 的增大而增大，则函数对称轴 x= 2 0，而 b 3a+1，即： 3+1 2 0，即可求解； （3）过点 P 作直线 lAB，作 PQy 轴交 BA 于点 Q，作 PHAB 于点 H，SPAB= 1 2 AB PH= 1 2 32 PQ 2 2 = 3 2，则|yPyQ|1，即可求解 【解答】解： （1）yx+3，令 x0，则 y3，令
35、 y0，则 x3， 故点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （0，3） ，则 c3， 则函数表达式为：yax2+bx+3， 将点 A 坐标代入上式并整理得：b3a+1； （2）当 x0 时，若 yax2+bx+c（a0）的函数值随 x 的增大而增大， 则函数对称轴 x= 2 0，而 b3a+1， 即： 3+1 2 0，解得：a 1 3， 故：a 的取值范围为： 1 3 a0； （3）当 a1 时，b3a+12 二次函数表达式为：yx22x+3， 过点 P 作直线 lAB，作 PQy 轴交 BA 于点 Q，作 PHAB 于点 H， OAOB， BAOPQH45， SPAB= 1 2 ABPH=
36、 1 2 32 PQ 2 2 = 3 2， 则 PQ|yPyQ|1， 在直线 AB 下方作直线 m，使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离， 则直线 m 与抛物线两个交点，分别与点 AB 组成的三角形的面积也为 1， 故：|yPyQ|1， 设点 P（x，x22x+3） ，则点 Q（x，x+3） ， 即：x22x+3x31， 解得：x= 35 2 或;313 2 ， 故点 P（;3:5 2 ，5:5 2 ）或（;3;5 2 ，5;5 2 ）或（;3:13 2 ，1:13 2 ）或（;3;13 2 ，1;13 2 ） 3 （2020无锡模拟）如图，已知二次函数 yax22ax+c（a0）的图象交
37、 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C过点 A 的直线 ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象的另一个交点为 F，与该图象的对称轴交于 点 E，与 y 轴交于点 D，且 DEEF （1）求点 A 的坐标； （2）若BDF 的面积为 12，求这个二次函数的关系式； （3）设二次函数的顶点为 P，连接 PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表达式 【分析】 （1）当 y0 时，kx+2k0，解得 x2，则 A（2，0） ； （2）函数的对称轴为直线 x1，则 B 点坐标为（4，0） ，则抛物线解析式为 yax2+2ax+8a，SBDF SFABSDAB，即可求解； （3）证明PCF
38、 为等腰三角形，故 PG 平分CPF，即CPF2CPG，则 RtADORtPCG，即 可求解 【解答】解： （1）当 y0 时，kx+2k0，解得 x2，则 A（2，0） ； （2）二次函数 yax2+2ax+c（a0）的图象的对称轴为直线 x1， B 点坐标为（4，0） ， 把 A（2，0）代入 yax2+2ax+c 得4a4a+c0， c8a， 抛物线解析式为 yax2+2ax+8a， DEEF， F 点的横坐标为 2， F（2，8a） ， 把 F（2，8a）代入 ykx+2k 得 8a2k+2k，解得 k2a， y2ax+4a， 当 x0 时，y4a，则 D（0，4a） ， SBDFSF
39、ABSDAB， 1 2 （4+2） 8a 1 2 （4+2） 4a12，解得 a1， 抛物线解析式为 yx2+2x+8； （3）如图，连接 CF 交对称轴于 G，过点 D 作 DHPG 交函数对称轴于点 H， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得：c8a， 故抛物线的解析式表示为 yax22ax8a， 则点 C（0，8a） ，点 P（1，9a） ， DEEF， EHDEGF（AAS） ，故 DHGFGC， 即点 F、C 关于抛物线对称轴对称，故点 F（2，8a） ， CFx 轴，G（1，8a） ， PCF 为等腰三角形， PG 平分CPF，即CPF2CPG， CPF2DAB， DABCPG，
40、 RtADORtPCG， = ， 2 ; = ;4 1 ，解得 a= 2 2 （舍去负值） （舍去） ， 抛物线的解析式表示为 y= 2 2 x2+2x+42 4 （2019 秋溧阳市期末）如图，直线 yx1 与抛物线 yx2+6x5 相交于 A、D 两点抛物线的顶点 为 C，连结 AC （1）求 A，D 两点的坐标； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 A、D 不重合） ，连接 PA、PD 当点 P 的横坐标为 2 时，求PAD 的面积； 当PDACAD 时，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）由于 A、D 是直线直线 yx1 与抛物线 yx2+6x5 的交点，要求两个交点的坐标，需
41、 可联立方程组求解； （2）要求PAD 的面积，可以过 P 作 PEx 轴，与 AD 相交于点 E，求得 PE，再用PAE 和PDE 的面积和求得结果； 分两种情况解答：过 D 点作 DPAC，与抛物线交于点 P，求出 AC 的解析式，进而得 PD 的解析式， 再解 PD 的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得 P 点坐标；当 P 点在 AD 上方时，延长 DP 与 y 轴交于 F 点，过 F 点作 FGAC 与 AD 交于点 G，则CADFGDPDA，则 FGFD，设 F 点坐标为（0，m） ，求出 G 点的坐标（用 m 表示） ，再由 FGFD，列出 m 的方程，便可求得 F 点坐标
42、， 从而求出 DF 的解析式，最后解 DF 的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得 P 点坐标 【解答】解： （1）联立方程组 = 1 = 2+ 6 5， 解得，1 = 1 1= 0， 2= 4 2= 3， A（1，0） ，D（4，3） ， （2）过 P 作 PEx 轴，与 AD 相交于点 E， 点 P 的横坐标为 2， P（2，3） ，E（2，1） ， PE312， SPAD= 1 2PE（xDxA）= 1 2 2（41）3； 过点 D 作 DPAC，与抛物线交于点 P，则PDACAD， yx2+6x5（x3）2+4， C（3，4） ， 设 AC 的解析式为：ykx+b（k0） ，
43、A（1，0） ， + = 0 3 + = 4， = 2 = 2， AC 的解析式为：y2x2， 设 DP 的解析式为：y2x+n， 把 D（4，3）代入，得 38+n， n5， DP 的解析式为：y2x5， 联立方程组 = 2 5 = 2+ 6 5， 解得，10 1= 5， 2= 4 2= 3， 此时 P（0，5） ， 当 P 点在直线 AD 上方时，延长 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FGAC，FG 与 AD 交于点 G， 则FGDCADPDA， FGFD， 设 F（0，m） ， AC 的解析式为：y2x2， FG 的解析式为：y2x+m， 联立方程组 = 2 + = 1 ， 解得， = 1 = 2， G（m1，m2） ， FG= ( + 1)2+ (2 + 2)2，FD= 16 + ( 3)2， FGFD， ( + 1)2+ (2 + 2)2= 16 + ( 3)2， m5 或 1， F 在 AD 上方， m1， m1， F（0，1） ， 设 DF 的解析式为：yqx+1（q0） ， 把 D（4，3
