1、二项式期权定价第九章 目录 第一节 二项式随机股票价格 第二节 二项式期权定价模型 第三节 用Excel构建二项式期权定价模型(略)2023-4-24第一节 二项式随机股票价格 一、股票价格的二项式运动 二、股票价格上升的二项式概率 三、二项式股价模型 2023-4-24股价从“围绕均值变动”到“以升-降两态变动”2023-4-24一、股票价格的二项式运动 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 股票在 T 期后的价格是不确定的 假定 当前股票价格为S 到时期 T 时 该股票价格的值 在0,)区间上，有无限多种可能 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 但是，如果假定，到下期时 所有
2、大于现价的价格为升价 所有等于或小于现价的价格为降价 则股价的未来变动 将只有两种结果 上升 下降 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 设当前股票价格为S 到时期T时，该股票价格有两种可能变化结果 其中，u=上升因子，d=下降因子，dS S uS 2023-4-24按排列法计数的3期二项式股票价格运动所有可能结果au=股价1次上升，d=股价1次下降 2023-4-24不考虑升降次序时，3期二项式股价运动所有可能结果 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 在考虑升降顺序时 结果空间 将以2n的速度扩大 例如 n=1，=21=2 n=2，=22=4 n=4，=24=8 n=10，=2
3、10=1024 当n=100时，所有可能结果数是一个天文数字 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 在不考虑升降顺序时 n期股价变动的所有可能结果数为n+1 例如 n=1，=1+1=2(u,d)n=2，=2+1=3(uu,ud,dd)n=3，=3+1=4(uuu,uud,udd,ddd)n=4，=4+1=5(uuuu,uuud,uudd,uddd,dddd)2023-4-24为什么只有升-降变化的股价为“二项式”股价2023-4-24 2023-4-24 2023-4-24在二项式股价的连续变化中股价的上升次数是一个二项式变量2023-4-24一、股票价格的二项式运动 假定 各期股价变动
4、相互独立 每次变动只产生上升u和下降d两个结果 则 1次股价随机变动是1次伯努利试验 2023-4-24一、股票价格的二项式运动 从“伯努利”到“二项式”n期股价变动 为 n 次伯努利试验 其中，股价上升次数 k 是一个二项式变量 服从二项式分布 2023-4-24在n次连续变动中产生一系列的上升和下降上升数和下降数有多种组合如何计算每一种组合出现的次数2023-4-24一、股票价格的二项式运动 设 n=股价连续变动次数，k=股价上升次数 问 在3次变动中，u2与d的组合数是多少？2023-4-24一、股票价格的二项式运动 答 在n=k=0,1,2,3,4 时，u与d的各种组合数见下表 表中，
5、n=3时，u2与d的组合数有3个，分别是uud,udu,duu n组合组合1u,d2u2d,2ud,d2 3u3,3u2d,3ud2,d34u4,4u3d,6u2d2,4ud3,d42023-4-24一、股票价格的二项式运动 2023-4-24N次实验k次成功的组合数NK01234011112121313314146412023-4-24股价出现一次上升的概率是多少？出现n次上升的概率又是多少？2023-4-24二、股票价格上升的二项式概率 问题1 在股价的一次运动中 出现上升的概率是多少？2023-4-24二、股票价格上升的二项式概率2023-4-24二、股票价格上升的二项式概率 问题 在股
6、价的 n 次运动中 出现 k 次上升的概率是多少？2023-4-24二、股票价格上升的二项式概率 2023-4-24二、股票价格上升的二项式概率 2023-4-24随机股票价格运动及各节点事件的概率（p=0.5）2023-4-24一次股价变化有两种可能的价格：升价和降价如何确定升价和降价？2023-4-24三、二项式股价模型 对股价二项式运动的各种可能结果赋值的模型 两个流行的模型 CRR模型和JR模型 前者由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦于1979年创立 后者由Jarrow和Rudd开发 2023-4-24CRR模型 2023-4-24JR模型 2023-4-24CRR模型中股价运动树形图 2023
7、-4-24CRR模型的股票价格 2023-4-24二项式股票价格模型3期后的期望值终端概率终端概率0.1250.3750.3750.125随机股价随机股价CRR84.7059.4642.0529.74JR81.9957.9941.0129.00概率加权价概率加权价CRR10.5922.3015.773.72JR10.2521.7515.383.63股价期望值股价期望值CRR52.37JR51.00 2023-4-24第二节 二项式期权定价模型 一、期权的风险中性定价法 二、期权的复制组合定价法 三、期权定价的一般步骤 四、股票价格的二项分布与对数正态分布 2023-4-24一、期权的风险中性定
8、价法 已知到期时的资产价格分布和期权执行价K 到期时的期权价格函数为 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 用终端价格函数计算的期权到期时价值分布 2023-4-24问题 已知未来终端期权价值分布 如何计算当前的期权价格？方法：风险中性定价法 复制组合法 以下首先介绍风险中性法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24二项式股价上升一次的概率不是现实概率而是风险中性概率2023-4-24一、期权的风险中性定价法 我们不知道在一次运动中 股价上涨的真实概率是多少 我们用一个人为的风险中性概率 p 来替代真实概率q 2023-
9、4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24风险中性概率公式推导 2023-4-24风险中性概率公式推导 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 风险中性回报和风险回报比较（r=1.04，T=1，股价涨跌的现实概率q和 1-q均为50%）2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24什么是状态价格？其与风险
10、中性概率有何关系？2023-4-24一、期权的风险中性定价法 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 用状态价格复制风险资产现金流 假定基础资产1期后的价格 在上升状态时为1.22元,概率=0.55 在下降状态时为0.82元,概率=0.45 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 用状态价格复制风险资产现金流 再假定，两只原始证券，u 和d，在1期后 如果 基础资产价格上升，u支付1元，否则支付0元 如果 基础资产价格下降，d支付1元，否则支付0元 无风险利率为4%2023-4-24一、期权的风险中性定价法 用状态价格复制风险资产现金流 两只原始证券在0期的价格分别为u=10.55/1
11、.04=0.52885d=10.45/1.04=0.43269 2023-4-24一、期权的风险中性定价法 两只原始证券在0期的价格分别为u=10.55/1.04=0.52885d=10.45/1.04=0.43269 在0期时 购买1.22单位u 和0.82单位d，支出0.96154元 2023-4-24用状态价格复制风险资产现金流 已知在0期时 购买1.22单位u 和0.82单位d 支出0.96154元 到1期时 基础资产价格上升，投资者由u得到1.22元 基础资产价格下降，投资者由d得到0.82元 这与投资一个基础资产的收入相同 按无套利原则，基础资产的价格也应该是0.96154元 20
12、23-4-24二、复制组合定价法 假定 执行价k为50元 股票价格S为50元 1期后S有两种状态：上升和下降 设 为30%，u=1.1，d=0.9091 股价和期权价在1期时的分布 2023-4-24二、复制组合定价法 该看涨期权的当前价格C应该是多少？为了解得C，我们复制一个组合 该组合由份股票和金额为 B的银行借款构成 2023-4-24二、复制组合定价法 2023-4-24二、复制组合定价法 2023-4-24二、复制组合定价法 2023-4-24二、复制组合定价法 2023-4-24二、复制组合定价法 0期股价为50元，u=1.1，d=0.9091。2023-4-24二、复制组合定价法
13、 期权的终期价值分布 2023-4-24二、复制组合定价法 用终端期权价值分布计算n-1期的 和B 然后用份的资产和金额为B的借款构造一个组合 复制n-1期的期权价值分布 2023-4-24二、复制组合定价法 根据2期时的Delta和Br 计算2期时的期权可能价格 2023-4-24二、复制组合定价法 重复第3步的计算，直到计算出0期的、B和期权价格 用复制组合法计算3期看涨期权的价格 2023-4-24三、期权定价的一般方法 期权定价与其他金融资产定价的共同点 计算到期时一项投资的各种可能价值或支付分布 用对应的概率计算终期资产各种可能价值的加权平均值 即资产的期望值 用一个适当的贴现率计算
14、期望值的现值 得到资产的当前价格 2023-4-24三、期权定价的一般方法 期权定价的特殊性 期权到期的各种可能价值要么为正数，要么为零 没有下侧风险 计算终期期望值的概率为风险中性概率 将期望值折成现值的贴现率为无风险利率 2023-4-24三、期权定价的一般方法 2023-4-24三、期权定价的一般方法 2023-4-24三、期权定价的一般方法 2023-4-24三、期权定价的一般方法 2023-4-24二项式期权价格公式 2023-4-24第二节 随机股票价格的二项式分布与对数正态分布（一）对数正态随机变量（二）对数正态随机股票价格（三）从对数正态价格到二项式价格 2023-4-24（一
15、）对数正态随机变量 2023-4-24对数正态随机变量 2023-4-24对数正态变量 2023-4-24对数正态随机变量 2023-4-24对数正态随机股票价格 2023-4-24对数正态随机股票价格 2023-4-24风险中性随机股票价格 2023-4-24风险中性随机股票价格 2023-4-24从对数正态随机股票价格到二项式随机股票价格 2023-4-24二项式期权价格向BS模型逼近 布莱克-斯科尔斯模型（BS模型）的一个重要假定 是股票价格服从对数正态分布 二项式模型事实上以BS模型为极限 2023-4-24二项式期权价格向BS模型逼近 3.20 3.25 3.30 3.35 104886124162200期期权权价价格格CRRJRBS2023-4-24
