1、数学试题（理科）答案 第 1 页，共 10 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 一、一、选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D A C A D D A D B C 1.【解析】 210 x Axx x，0 U C Ax x，故选 D. 2.【解析】 2 1313 ii 2222 z （） ，所以对应的点在第二象限，故选 B. 3.【解析】 2020 1 log a 2020 log10， 2020 1 b 01， 1 2020c 1，所以abc.故
2、选 D. 4.【解析】因为角 终边落在直线3yx上，所以tan3， 2 1 cos 10 ， 所以 3 sin(2 ) 2 2 4 cos2(2cos1). 5 故选 A. 5.【解析】如图所示，MP AP AM 1 2AD 4 5AC 1 2AD 4 5(AB AD ) 1 2 b 4 5 (ab) 4 5 a 3 10 b.故选 C. 6.【解析】依题意，知 4 a 1 2a ，且 5 2a 1 2 ，解得 a2.故选 A. 7.【解析】 1233243546521 ()()()()() nnnn Saaaaaaaaaaaaaa 222 1 nn aaa ，所以 20192021 1Sa，
3、故选 D. 8.【解析】 11 33 2 8 15 . 14 C C P C 故选 D. 9.【解析】 2 1sin 1 x f xx e 1 sin 1 x x e x e 是偶函数，排除 C、D，又(1)0,f故选 A. 10. 【解析】 如图： /面11， 面 = ， 面11= ， 可知/1， /11，因为11是正三角形，mn、所成角为 60 则 m、n 所成角的正弦值为 3 2 故选 D 11.【解析】设直线 AB 的方程为： = + ，点(1,1),(2,2)， 直线 AB 与 x 轴的交点为(,0)， 由 = + 2= 2 = 0，根据韦达定理有1 2= , = 2， 1 2+ 1
4、 2= 2， z 数学试题（理科）答案 第 2 页，共 10 页 结合1 2 = 1及2 2 = 2，得(1 2)2+ 1 2 2 = 0，点 A、B 位于 x 轴的两侧， 1 2= 2，故 = 2不妨令点 A 在 x 轴上方，则1 0,又(1 4,0), + = 1 2 2 (1 2) + 1 2 1 41 = 9 81 + 2 1 2 9 81 2 1 = 3 当且仅当 9 81 = 2 1，即1 = 4 3时，取“=”号， 与 面积之和的最小值是 3故选 B 12.【解析】 (0,0+ 1)区间中点为0+ 1 2，根据正弦曲线的对称性知(0 + 1 2) = 1,正确。 若0= 0，则(
5、0) = (0+ 1) = 1 2，即 = 1 2，不妨取 = 6，此时() = sin(2 6 )，满 足条件，但(1 3) = 1为(0,1)上的最大值，不满足条件，故错误。 不妨令0+ = 2 5 6 ，(0+ 1) + = 2 6，两式相减得 = 2 3 , 即函数的周期 = 2 = 3，故正确。 区间(0,2019)的长度恰好为 673 个周期，当(0) = 0时，即 = 时，()在开区间(0,2019)上零点个 数至少为673 2 1 = 1345，故错误。 故正确的是，故选 C 二二、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第15
6、题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。 13、6 14、3 15、 1（ （2 分分）；121（3 分分） 16、47 13.【解析】 2 2,220;n 4 4,220;n 6 6,220.n 故答案为 6. 14.【解析】令0x，得 0 1a ，令 = 1，则0+ 1+ 2+ + 8= 2所以 128 3.aaa 15. 【解析】 由 = 1时， 1= 1， 可得2= 21+ 1 = 21+ 1， 又2= 4， 即1+ 2= 4， 即有31+ 1 = 4， 解 得1= 1；由:1= :1 ，可得:1= 3+ 1，由2= 4，可得3= 3 4 + 1 = 13， 4= 3 13 +
7、 1 = 40，5= 3 40 + 1 = 121 16.【解析】因为 2 F是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以 2 p c ， 解得2pc，所以抛物线的方程为： 2 4ycx ； 由 1 12 3 tan 4 PF kPFF ， 12 4 cos 5 PFF ， 如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设 0 (P x， 0) y， 则 200 2 p PMPFxxc ， 10 1 5 () cos4 PM PFxc MPF 由 12 2PFPFa ，可得 000 5 ()()28 4 xcxcaxac 数学试题（理科）答案 第 3 页，共 10 页 在 12 PFF中， 20 8PFxc
8、a ， 12 210PFPFaa ， 12 2FFc ， 由余弦定理得 222 211211212 2cosPFPFFFPF FFPFF 即 222 4 (8 )(10 )(2 )2 102 5 aacac ，化简得 2 540450ee 47e ，又2e，47e 故答案为47 三三、解答题：共解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必题为必考题，每个考生都必 须作答。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】（
9、1）在ABC中，因为2BC ， 3 ABC， 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC ，1 分 所以 33 3 22 AB ，解得3AB2 分 在ABC中，由余弦定理得 222 2cos7ACABBCAB BCABC，4 分 因为0AC ，所以7AC 5 分 （2）设ACD，则 33 ACBACD 6 分 在Rt ACD中，因为2 3AD ，所以 2 3 sinsin AD AC 7 分 在ABC中， 3 BACACBABC， 8 分 由正弦定理得 sinsin BCAC BACABC ，即 22 3 3 sin() sin 3 2 ，9 分 所以2sin()sin 3 ，所以 3
10、1 2(cossin)sin 22 ， 10 分 即3cos2sin， 11 分 所以 3 tan 2 ，即 3 tan 2 ACD 12 分 数学试题（理科）答案 第 4 页，共 10 页 18.（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】（1）证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O， / ， = = 1 2 ， 四边形 ABCE 为平行四边形， = = = 1 分 ， 为等边三角形 ， 2 分 又 = ， 平面 POB， 平面 POB 3 分【注】【注】无写出此步骤不得无写出此步骤不得分。分。 平面 POB 4 分 又 平面 POB， 5 分 （2）【解法一】向量法 在平面 POB 内作
11、平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 = 4，又 = ， ， 、Q 两点重合，即 平面 ABCE, 6 分 【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 (0,0, 3 2 )， (1 2,0,0)， (1, 3 2 ,0)， = (1 2,0, 3 2 )， = (1 2, 3 2 ,0)7 分 设平面 PCE 的一个法向量为n1 = ( ,y, )，则n1 = 0 n1 = 0，即 1 2 3 2 = 0 1 2 + 3 2
12、 = 0 , 8 分 令 = 3，得n1 = (3,1,1) 9 分 又 平面 PAE， n2 = (0,1,0)为平面 PAE 的一个法向量 10 分 设二面角 为 ，则 s = s n1 ,n2 = 1 2 1 2 = 1 5 = 5 5 11 分 易知二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为 5 5 12 分 【解法二】几何法 在平面 POB 内作 平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 = 4，又 = ， ， 、Q 两点重合，即 平面 ABCE，6 分 【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。 过点 C 作 CHAE
13、交于点 H，连结 PH，则二面角 A-PE-C 与二面角 H-PE-C 互为补角。 又因为 CHPO，所以 CH面 PAE， 过 H 作 HFPE 交于点 F，连结 CF，由三垂线定理知 CFPE 所以CFH 为二面角 H-PE-C 的平面角。7 分 在 RtCHE 中，CEH=60，CE=1，所以 HE=1 2，CE= 3 2 ，8 分 F 数学试题（理科）答案 第 5 页，共 10 页 在 RtHFE 中，FEH=60，HE=1 2，所以 HF= 3 4 9 分 在 RtCHF 中，由勾股定理知 CF= 15 4 10 分 故 cosCFH= = 5 5 11 分 所以二面角 的余弦值为
14、5 5 12 分 19.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）【解法一】 记事件 i= *从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i = 0，1，2，3+； 则 2与 3互斥1 分 故所求概率为 (至少 2 人感兴趣) = ( 2+ 3) = ( 2) + ( 3)2 分 = C3 2C31 C6 3 + C3 3C30 C6 3 3 分 = 10 20 = 1 2；4 分 【解法二】记事件 i= *从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i = 0，1，2，3+； 则 0与 1互斥1 分 故所求概率为 (至少 2 人感兴趣) = 1 ( 0+ 1) = 1 ( 0)
15、 ( 1)2 分 = 1 C3 2C31 C6 3 C3 3C30 C6 3 3 分 = 1 10 20 = 1 2；4 分 （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有 0，1，2，3；5 分 ( = 0) = C3 2C42 C5 2C52= 9 50 6 分 ( = 1) = C2 1C31C42:C32C41 C5 2C52 = 12 25 7 分 ( = 2) = C2 2C42:C31C21C41 C5 2C52 = 3 10 8 分 ( = 3) = C2 2C41 C5 2C52= 1 25 9 分 则的分布列为： 0 1 2 3 p 9 50 12 25 3 10 1 25 10
16、 分 【注】无【注】无列表列表此得分点不此得分点不得得分分。 数学期望为 () = 0 9 50 + 1 24 50 + 2 15 50 + 3 2 50 = 6 5 12 分 数学试题（理科）答案 第 6 页，共 10 页 20.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）当1= 0时，代入椭圆方程可得点坐标为(0,1)或(0,1) 1 分 若点坐标为(0,1)，此时直线 l： + 4 4 = 02 分 联立 22 440 44 xy xy ，消 x 整理可得52 8 + 3 = 03 分 解得1= 1或 2 3 5 y ，故 B(8 5, 3 5) 4 分 所以 的面积为1 2 1 8 5 =
17、 4 5 . 5 分 若点坐标为(0,1)，由对称性知 的面积也是 4 5 ， 综上可知，当1= 0时， 的面积为 4 5 .6 分 （2）【解法一】显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l： = + 4 7 分 联立 = + 4 2+ 42= 4，消去 x 整理得( 2 + 4)2+ 8 + 12 = 0 由= 642 4 12(2+ 4) 0，得2 128 分 则1+ 2= 8 2:4，12 = 12 2:4 ,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以+ = 010 分 设(,0)，则+ = 1 1; + 2 2; = 1(2;):2(1;) (1;)(
18、1;) = 212:(4;)(1:2) (1;)(2;) , 即212+ (4 )(1+ 2) = 24 2:4 + 8(;4) 2:4 = 8(;1) 2:4 = 0, 解得 = 1. 11 分 故 x 轴上存在定点(1,0)，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分 【解法二】显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：(4)yk x 7 分 联立 22 (4) 440 yk x xy ，消去y整理得 2222 (1 4)326440kxk xk 由 2 222 ( 32)4(1 4)(644)0kkk ，得 2 1 12 k ,8 分 则 2 12 2 3
19、2 14 k xx k ， 2 12 2 64-4 1 4 k x x k ,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以+ = 010 分 数学试题（理科）答案 第 7 页，共 10 页 设(,0)，则 1212 1212 (4)(4) TATB yyk xk x kk xtxtxtxt 1212 12 2(4)()8 ()() x xtxxt k xt xt 即 1212 2(4)()80x xtxxt， 222 222 128-8 (4)328t32 -0 1 41 41 4 ktktk kkk 解得 = 1. 11 分 故 x 轴上存在定点(1,0)，使得
20、直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分 21（本题满分 12 分） 【解析】（1）【解法一】由，解得 1 分 若，则当时，故的单调递增区间为； 当时，故的单调递减区间为2 分 若，则当时，故的单调递增区间为； 当时，故的单调递减区间为3 分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为4 分 【解法二】令,)(tetg t 其中axt 1)( t etg令，0)( tg得0.t 当时，)0 ,(t，0)( tg）上单调递减；在（0 ,)(tg 当时，)0(t，0)( tg.0)(）上单调递增，在（tg 1 分 又当0a时，axt 在 R 上单调递增； 当0a时，axt
21、在 R 上单调递减。2 分 由复合函数单调性知， 0a时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 0a 时， 的单调递增区间为，单调递减区间为 3 分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为4 分。 （2），即（） 令，得，则 5 分 当时，不等式（）显然成立， 当时，两边取对数，即恒成立 6 分 ( )(1)=0 axax fxa eaa e0x 0a (0,)x( )0fx( )f x(0,) (,0)x ( )0fx( )f x(,0) 0a (0,)x( )0fx( )f x(0,) (,0)x ( )0fx( )f x(,0) ( )f x(0,)(,0) ( )f x(0,)(,0
22、) ( )f x(0,)(,0) ( )f x(0,)(,0) 2 ( )(1) 2 a f xx 2 (1) 2 ax a ex 0x1 2 a 1 2 2 a 1x ( 1,)x 2ln(1)ln 2 a axx 数学试题（理科）答案 第 8 页，共 10 页 令函数，即在内恒成立7 分 由，得 故当时，单调递增； 当时，单调递减. 8 分 因此 9 分 令函数，其中， 则，得， 故当时，单调递减； 当时，单调递增 10 分 又， 故当时，恒成立，因此恒成立， 11 分 综上知：当 1 ,2 2 a 时，对任意的，均有成立12 分 22.（本小题满分 10 分） 【解析】（1）【解法 1】
23、由 1 2cos， 2 2cos 6 ， 3 2cos 6 ，3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2 11xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx， 2 yk x， 3 yk x， 3, 3k ， 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ，得 1 2 2 1k 2 分 ( )2ln(1)ln 2 a F xxax( )0F x ( 1,) 22(1) ( )=0 11 a x F xa xx 2 11x
24、 a 2 ( 1,1)x a ( )0F x ( )F x 2 (1+ )x a ，( )0F x ( )F x 22 ( )(1)2ln2ln2ln 22 aa F xFaa aa ( )2ln 2 a g aa 1 2 2 a 11 ( )10 a g a aa 1a 1 ( ,1) 2 a( )0g a ( )g a (1,2a( )0g a( )g a 13 ( )ln40 22 g(2)0g 1 2 2 a( )0g a ( )0F x 1,)x 2 ( )(1) 2 a f xx 数学试题（理科）答案 第 9 页，共 10 页 由直线方程可知tank， 2 tan+ 6 k ， 3
25、 tan 6 k 所以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1tantan 6 k k k ，得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 35 分 （2）【解法一】曲线M的普通方程为： 22 20xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得 2 30tt ，解得 12 0,3tt ；7 分 平面直角坐标为 13 ,2,0 22 BC 8 分 则 23 1,2, 6 ；又得 1 3 . 9 分 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 2626
26、4 OBAC S 为所求. 10 分 【解法二】由 BC 的参数方程化为普通方程得：. 23 yx5 分 联立 02 23 22 xyx yx 解得 0 2 1 1 y x 或 2 3 2 1 2 2 y x ，即) 2 3 , 2 1 (B,)0 , 2(C6 分 , 6 , 1 2 点 A 的极坐标为），（ 6 3 ，化为直角坐标为），（ 2 3 2 3 7 分 直线 OB 的方程为xy3，点 A 到直线 OB 的距离为. 2 3 )3(1 2 3 2 3 3 2 d8 分 . 4 33 2 3 2 2 1 2 3 1 2 1 OACOBAOBAC SSS10 分 23（本小题满分 10
27、分） 【解析】（1）当4x时，原不等式等价于243xxx ，解得2x，所以4x1 分 当2x时，原不等式等价于243xxx ，解得 2 5 x ，所以此时不等式无解2 分 当24x 时，原不等式等价于243xxx ，解得2x，所以24x3 分 数学试题（理科）答案 第 10 页，共 10 页 综上所述，不等式解集为2,5 分 （2）由 1f xk x，得241xxk x， 当1x 时，60恒成立，所以Rk； 6 分 当1x 时， 241 31 333 11 1111 xxxx k xxxx 7 分 因为 3333 11112 1111xxxx 8 分 当且仅当 33 110 11xx 即4x或2x时，等号成立， 9 分 所以，2k ； 综上，k的取值范围是,2 10 分 【注】【注】 如果如果本题两个小问通过图象法解答， 分别正确作出图象 （如下图） 各本题两个小问通过图象法解答， 分别正确作出图象 （如下图） 各 1 分， 正确写出结果各分， 正确写出结果各 1 分，分， 中间过程中间过程可可酌情给酌情给 1-2 分，但每小问给分最多不超过分，但每小问给分最多不超过 4 分。分。 如果作图的坐标系没有箭头或如果作图的坐标系没有箭头或x Oy、 、的标记，的标记，扣除过程分扣除过程分 1 分。分。 第（1）问图象 第（2）问图象
