1、第三章 函数的应用章前概览内容提要：学法指导：1.针对本章内容的重点及难点，学习本章应抓好以下几个方面学习方法、学习思想及学习工具.（1）抓方法：抓住方程的根与函数的零点的联系；抓住二分法求方程近似解的步骤和求解实质；抓住解决函数应用问题的基本方法设、建、解、答四个步骤；（2）抓思想：抓住解决函数与方程问题的数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论的数学思想；（3）抓工具：注意现代化的教学工具及信息技术的运用（如计算机、计算器等）.2.通过本章学习，要深刻理解并掌握运用函数与方程、数形结合、转化与化归以及分类讨论的思想解决问题，并及时对同类型问题进行归纳总结.第一节 函数与方程 学点：探究与
2、梳理自主探究探究问题1： 方程的解为 ,函数的图像与轴有 个交点，横坐标为 ；方程的解为 ，函数的图像与轴有 个交点，横坐标为 .根据以上结果，你能得到什么结论？此结论能推广到任意函数吗？探究问题2： 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么函数在区间内一定有零点吗？零点的个数一定是一个吗？反过来成立吗？试结合图形分析探究问题3： 有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好重点把握1函数的零点就是方程的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根函数的零点又是函数的图像与轴交点的横坐标，因
3、此判断时常借助函数的图象2判断一个函数是否有零点，首先看函数在区间上的图像是否连续，然后看是否有0，若存在，那么在区间内必有零点，当只有一个零点时称此零点为变号零点，且相邻两个零点之间的函数值保持同号；反过来，若，那么函数在区间内不一定没有零点。函数零点存在性定理的逆定理不一定成立，例如函数在区间上有零点，但对于较复杂的函数，证明其恰有个零点时，可以先借助图像找出有个零点，再利用函数单调性证明仅有个零点.3二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法， 二分法求方程近似解的步骤可简单概括为：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来
4、判断。用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.题例：解析与点拨例1 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为_ x-101230.3712.727.3920.0912345解析：令由表格知，由于所以根所在的区间为（1,2）.点拨：解题的关键是与差的符号，构造函数将求方程的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解变式训练1： 若函数为定义在R上的奇函数，且当时，试判断函数的零点个数.例2 已知关于的方程分别求的取值范围，使得：（1）方程仅有一根或有两个相等的根；（2）方程有一正一负两根；（3）方程有两个不相等的根，且都大
5、于1；（4）方程有两根，且一根大于1,另一根小于1.解析：（1）当时，方程即为解得符合题意：当时，方程为一元二次方程，因为方程有两个相等的根，所以 解得综上可知，当或时，关于的方程有一根或 有两个相等的根.（2）因为方程有一正一负两根，由根与系数的关系得两根之积，解得即当时，方程有一正一负两根.（3）当方程两根都大于1时，函数的图象大致如下图所示.所以必须满足或此时不等式组无解. 所以不存在实数，使方程有两个不相等的根，且都大于1.（4）因为方程有一根大于1,一根小于1,所以函数的图象大致如下图所示， 所以必须满足或解得即当时，方程有两根，且一根大于1,一根小于1.点拨：函数的零点将函数与方程
6、联系起来，实现了函数与方程之间的转化，因此函数零点的应用，特别是用于研究一元二次方程实根的分布问题，是高考考查的一个热点内容，应重点掌握.解一元二次方程实根的分布问题应从以下四点来考虑：开口方向；判别式；对称轴；端点处的函数值符号。变式训练2： 当取何值时，关于的方程的一个根在区间内，另一个根在区间内？例3. 用二分法求方程的近似解（精确度0.1）.解析：作出的图象，可以发现方程有唯一解，记为，并且（1,2）.设，用计算器计算得 .所以方程的近似解可取为1.8125.点拨：用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及
7、时检验所得区间端点的近似值是否达到要求（达到给定的精确度），以决定是停止计算还是继续计算.变式训练3： 用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0,1）.例4 设，试讨论关于的方程的实根的个数.解析：原方程等价于整理得在同一坐标系中分别作出函数及的图象，（1）当或时，函数图象无交点，故原方程无实数解；（2）当或时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数解；（3）当时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数解.点拨：方程实数根的个数，即为函数的图象与的图象交点的个数.通常采用分离参数转化为的结构，讨论直线与函数的图象交点的个数，求解时应注意函数的定义域.变式训练4： 方程的解可视为函数的图象与函
8、数的图象交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是 .学业水平测试巩固基础1 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A 若，不存在实数使得；B 若，存在且只存在一个实数使得；C 若，有可能存在实数使得；D 若，有可能不存在实数使得；2 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A B C D 不能确定3方程的实数根的个数是 ( )A . 1 B . 2 C . 3 D. 无数个4.已知函数在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值（精确度0.1），则需要将区间对分的次数至少为（ ） A.3 B.4 C.5 D.65已知
9、，是函数的两个零点，且则实数的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为_7设是方程的解，且是整数），则= .8若关于的方程恰有两个不等实根，则实数的取值范围为_ _9已知关于的函数恒有零点. （1）求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求的值.10在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量轻一点），现在只有一台天平，请你设计一个最优方案，利用该方案最多称几次就可以发现这枚假币？能力提升11 若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）A Error! No bookmark name given. B C D 12用二分法求函数的
10、零点，函数的零点总位于区间上，当时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过 （ ） A. B. C. D.13.设函数,若则关于的方程解的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.414.若方程在区间（是整数，且）内有一根，则_15.已知函数，两函数图象有_个公共点，其横坐标分别为_16已知函数仅有一个零点，求的取值范围，并求出零点.17已知函数. （1）求证：在其定义域上是增函数；（2）求证：在其定义域内有且只有一个零点；（3）用二分法求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.拓展创新18.定义在上的偶函数在上递增，函数的一个零点为，求满足的的取值集合.19.已知函数，试利用基本
11、初等函数的图像，判断有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间（各区间长度不超过1）.20. 已知定义在实数集上的函数满足.（1）若函数有三个零点，且其中一个为0，求的另外两个零点；（2）若函数是偶函数，且当时，求在上的解析式.自主发展函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量之间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数。 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得
12、解决；方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的第三章第一节参考答案：变式训练 1. 3个； 2. 或 ； 3. 0.75 ； 4.或；学业水平测试 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.1 7.2 8.或9.(1) (2) 10
13、.4次11.D 12.B 13.C 14.-3 15.2,和4 16.，有唯一零点0 17.（1）、（2）略，（3）.18. ，又是偶函数，且在上递增， 当，即时，解得， 由对称性可知，当时，.综上所述，的取值范围为19.由得，令，分别作出它们的图象，由图象可得与有3个交点，从而函数有3个零点.由解析式知的图象在和上分别是连续不断的曲线，且，三个零点分别在区间、内.20.（1）由题意可知函数图象关于对称，又，0关于对称的数为4，得.所以4也是的一个零点.图象关于对称且有三个零点，则只有，所以另外两个零点为2，4.（2）设，则，即，所以.所以，又因为为偶函数，可得的解析式为高一数学测试题一 选择
14、题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合x0,B=x|-1x3,则AB=（ ）A-1,0 B-3,3 C0,3 D-3,-12.下列图像表示函数图像的是（ ）A B C D3. 函数的定义域为（ ）A(5，) B5，C(5，0) D (2，0)4. 已知，则的大小关系是（ ）A B C D 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
15、D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在RtABC中，ABC=90，P为ABC所在平面外一点PA平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 19.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分11.设，则的中点到点的距离为 .12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 .13.设函数在R上是减函数，则的范围是 .14.已知点到直线距离为，则= .三、解答题：本大题共
16、6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15. （本小题满分10分）求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）.16. （本小题满分14分）如图，的中点.（1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分）已知函数（14分）（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并证明；18. （本小题满分14分）当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2），（1）求的解析式；（2）求；（3）作出的图像，标出零点。19. （本小题满分14分）已知圆：，（1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。20.（本小题满分14分）某商店经营的消费品进价每件1
17、4元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，（1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。（2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？（3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。答案一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3三解答题15.（10分） 16.（14分） （1）取1分 为中点， （2）17.（14分）（1）由对数定义有 0，（2分）则有（2）对定义域内的任何一个，1分都有， 则为奇函数4分18.14分（1）.6分（2） 3分（3）图略3分. 零点0，-12分19.14分（1）设圆心C，由已知C(2,3) , 1分AC所在直线斜率为， 2分则切线斜率为，1分则切线方程为。 2分（2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。1分圆心（2，3），半径1，设=k，1分则直线为圆的切线，有，2分解得，2分 所以的最大值为，最小值为 2分20.14分（1） 4分（2）当时，1分即，解得，故; 2分当时， 1分即，解得，故。2分所以（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。4分17
