1、数学建模课程第一章自测练习及解答提示 一、填空题：1设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .解：根据现值计算公式：（万元）应该填写：12.2783万元2设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 .解：根据终值计算公式：=（万元） 应该填写：32.5779 3所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 4设某种商品的需求量函数是而供给量函数是，其中为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 解： 由商品的均衡价格公式：应该填写：80. 5一家服装店经营的某种
2、服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 解：根据经济订购批量公式： 应该填写： 二、分析判断题 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决 解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 （2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 （3）要做的具体建模
3、前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 （4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 2. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种 解：（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等 3怎样解决下面的实际问题包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等 （1）
4、估计一个人体内血液的总量 （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额） （3）估计一批日光灯管的寿命 （4）确定火箭发射至最高点所需的时间 （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度 （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划 （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收 （2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和
5、物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率 （3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间 （4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果 （5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间
6、长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t（S1+S2）/vS1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响 （6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新 （7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层） 4为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早
7、8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ （3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随
8、即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟问他步行了多长时间解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇 （2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29， （3）步行了25分钟设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55三、计算题1下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外
9、，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少解：人、猫、鸡、米分别记为i=1, 2, 3, 4，当i在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用s=（x1, x2, x3, x4）表示记s的反状态为s=（1-x1, 1-x2, 1-x3, 1-x4），允许状态集合为S=（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态 决策为乘船方案，记作d =（u1, u2, u3, u4），当i在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为
10、D=（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0） 记第k次渡河前的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为sk+1=sk+（-1）kdk，设计安全过河方案归结为求决策序列d1, d2, , dnD，使状态snS按状态转移律由初始状态s1=（1, 1, 1, 1）经n步到达sn+1=（0, 0, 0, 0）一个可行方案如下：k12345678skdk(1,1,1,1)(1,0,1,0)(0,1,0,1)(1,0,0,0)(1,1,0,1)(1,0,0,1)(0,1,0,0)(1,0,1,0)(1,1,1,0)(1,1,0,0)(
11、0,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)xtOx0xm指数模型Logistic模型 2假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+Dt时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 解 ，r为比例系数,，解为，如图1中粗实线所示当t充分大时，它与Logistic模型相近 图1 3在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1试用比
12、例方法构造模型解释这个现象 （1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素cwO （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w和s无关的成分又因为形状一定时一般有sw2/3，故商品的价格可表为C = aw+b w2/3+g（a，b，g为大于0的常数） （2）单位重量价格，其 图2wad简图
13、如图2所示显然c是w的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品 4用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角a应多大（如图3）若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响） 如果管道是其它形状呢？ 解：将管道展开如图4，可得，若d一 图3awpd定，；，若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两 端的影响，则应加上对于其它形状管道，只需将 改为相应的周长即可 5建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr在每一生产周期T内，开 图4qtO
14、T0Tk-rr始的一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期讨论kr和k r的情况 解： 贮存量的图形如图5单位时间总费用，使达到最小值的最优周期 图5 当k r时，相当 于不考虑生产的情况当k r时，因为产量被销量抵消，无法形成贮存量 四、综合应用题 1试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题 （ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤） 解：问题分析 所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可
15、否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的 模型假设 (1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；ABDC(A)(B)(C)(D)xyoq (2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面； (3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地 模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A，C两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度有关注意到假设3，设A，B两个桌脚与地面距离之和为，另外两个桌脚与地面距离之 和为则与中
16、至少有一个为零，当 图6时不妨假设又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题： 已知则，使得 上述命题即为所建立的数学模型 模型求解 将桌子旋转，则A、B两点与D、C两点恰好交换位置由假设便有，又由前述假设， 令则有由于的连续性知也是连续函数依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度，使得，即又根据成立，故有 模型分析 由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略 2试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模
17、型（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤） 解： 问题分析tq QoT1T由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等 模型假设 （1）每次定货费为C1，每天每单位货物的存储费为C2 （2）每天货物的需求量为单位. （3） 每天定货Q单位，所定货物可在瞬间到达（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C3缺货时，存储量视为负值，则的图形变为如图7所示 模型建立 图7 货物在时售完，则必有一段时间缺货又在时下一次定货量到达，于是有 （1） 在一个定货周期内的总费用包括定货费、存储费和缺货费其中其中用到了（1）式于是总费用应为 （2）则由（1）式解出并代入（2）式可得 （3）每天的平均总费用便是 （4）（4）式即为所求的数学模型 模型求解 对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得 由，代入便可解出 （5）（5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式 模型分析 当远远超过时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的 7 / 7
