1、数学建模课程第五章自测练习及解答提示1报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小 解：设报童每天订购Q份报纸，则其收益函数为利润的期望为比较各个m的值，使其最大者即为所求若m的取值过多，可将当成m的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令2血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这
2、种缺损的能力若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型解：假设有a%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a0，b0，由题设，a0：b0=1：1.2注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 同理，第二代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 依次类推，第n代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 令，则 3某石油公司必须就下一个打井位置作出决
3、定如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大 解：设 B1预测是油井，B2预测是气井，B3预测是无油气井 由于做取样只能得到不完全的信息，因此根据取样结果，计算出在B1，B2，B3分别发生的条件下，B1，B2，B3发生的概率然后利用贝叶斯公式，计算出实际是油井、气井和废井情况下，而预测是B1，B2，B3之一的概率值，若给出各种情况下的费用，计算出各个期望值即可下面画
4、出决策树（如图3）决策B1B2B3预测废井预测气井预测油井实际废井实际气井实际油井实际废井实际油井实际气井 图34 假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略解： 建立决策树（如图4）132678410511投资A8000.4 成功投资A2000投资B0投资B情况同7投资A1000180020000.6 失败0.6
5、 80000.6 0.4 2000300011000.1 0.9 100012投资A200028000.60.4 40000.4 13投资B400031000.1 0.9 300030000.1 21009200014投资A100018000.6 0.4 30000.9 15投资B300021000.1 0.9 2000 图4 在投资A的决策树中，第一年投资A，第二年投资B，第三年投资B的期望值最大 在投资B的决策树中（只在A的决策树中节点中的0.4，0.6分别换成0.1，0.9即可），可算得第一年投资B，第二年投资B，第三年投资B的期望值是两个决策树中的最大者 5某工程队承担一座桥梁的施工任
6、务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？解：建立决策树模型如图5.ACBDB高水位 0.25高水位 0.25洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000 图5 使用期望值法计算过程见图6.ACBDB高水位 0.25高水位 0.25洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000-1800-1335-1335-3700 图6 最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元 4 / 4
