1、第第1616讲讲等腰三角形等腰三角形第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-2-1.等腰三角形的对称轴是(D )A.顶角的平分线B.底边上的高C.底边上的中线D.底边上的高所在的直线2.等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm,则该三角形的周长是(B )A.17 cm B.22 cmC.17 cm或22 cm D.18 cm3.ABC中,已知:AB=AC,若A=40,则B=70;C=70;A+C=100,则A=20;若有一个角为120,则另外两个角分别为30、30;若有一个角为70,则另外两个角分别70,40或55,55;AB=2,BC=3,则ABC的周长
2、为7;若有两边长为2、4,则ABC的周长为10.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-3-4.ABC中,已知:AB=AC,若B=40,则A=100;C=40;AB=41,则A=120 B=30;若有一个角为90,则另外两个角分别为45、45;若有一个角为60,则ABC是等边三角形;若有两边长为2、3,则ABC的周长为7或8.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-4-5.如图,ABC中,D是AC上的一点,且AD=DB=BC,DBC=20,试求A的度数.解:BD=BC,DBC=20,C=CDB=(180-20)=80,
3、ADB=180-80=100,又AD=BD,A=ABD=(180-100)=40.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-5-6.如果AB=AC,AD=DB=BC,求A的度数.解:AB=AC,BD=BC=AD,ABC=C=BDC,A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x.于是在ABC中,有A+ABC+C=x+2x+2x=180.解得x=36.A=36.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-6-7.如图,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC,DEAC,求证:(1)EBD和EAD都
4、是等腰三角形;(2)EA=EB.证明:(1)AB=AC,B=C.DEAC,EDB=C,B=EDB,从而EB=ED.AB=AC,AD平分BAC,ADBC,ADB=90.ADE+EDB=90,EAD+B=90,B=EDB,ADE=EAD.从而EA=ED,即EBD和EAD都是等腰三角形.(2)EB=ED,EA=ED,EA=EB.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-7-8.如图,在ABC中,BAC=90,AD是高,B=30,求证:DC=BC.证明:BAC=90,B=30,AC=BC.BAC=90,B=30,C=60.AD是高,ADC=90.DAC=30.第四章
5、第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-8-一、广东省数学中考考纲要求:(1)了解等腰三角形的有关概念,掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件.(2)了解等边三角形的概念及其性质.(3)掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理.二、近三年广东省中考情况:第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-9-1.(2017广东,21)如图所示,已知四边形ABCD,ADEF都是菱形,BAD=FAD,BAD为锐角.(1)求证:ADBF;(2)若BF=BC,求ADC的度数.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情
6、分析例题精讲考情分析-10-解:(1)证明:如图,连接DB、DF.四边形ABCD,ADEF都是菱形,AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA.BAD FAD,DB=DF,D在线段BF的垂直平分线上,AB=AF,A在线段BF的垂直平分线上,AD是线段BF的垂直平分线,ADBF;第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-11-(2)如图,设ADBF于H,作DGBC于G,则四边形BGDH是矩形,BCAD,ADC=180-C=150.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-12-2.(2018广东,22)如图,矩形ABCD
7、中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:ADE CED;(2)求证:DEF是等腰三角形.证明:(1)四边形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.由折叠的性质,可得BC=CE,AB=AE,故AD=CE,AE=CD.(2)由(1)得ADE CED,DEA=EDC,即DEF=EDF.EF=DF.DEF为等腰三角形.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-13-知识点知识点1等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形:(1)概念:有两条边相等的三角形叫等腰三角形.(2)性质:等腰三角形的两个底角相等
8、(“等边对等角”);等腰三角形的顶角平分线平分、底边上的中线与高线互相重合(三线合一).(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(“等角对等边”).第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-14-【例1】如图,在ABC中,AB=AD=DC,BAD=20,则C=.思路点拨:AB=AD,BAD=20,ADC是ABD的外角,ADC=B+BAD=80+20=100,答案:40.点评:本题考查三角形的外角性质,等腰三角形的性质,能够已知顶角求底角,已知底角求顶角.等腰三角形计算角度问题往往和三角形的内角外角联系在一起.第四章第四章第第16讲讲
9、等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-15-【练习】如图,在ABC 中,AB=AC,A=36,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则EBC 的度数为36.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-16-知识点知识点2等腰三角形的判定等腰三角形的判定【例2】如图,已知ACBC,BDAD,AC 与BD 交于点O,AC=BD.求证:(1)BC=AD;(2)OAB是等腰三角形.思路点拨:通过观察不难发现ACB BDA从而得出BC=AD,及CAB=DBA,进而推出OAB是等腰三角形.答案:证明:(1)ACBC,BDAD,D=C=90.在
10、RtACB和RtBDA 中,AB=BA,AC=BD,ACB BDA(HL).BC=AD.(2)由ACB BDA得 CAB=DBA.OAB是等腰三角形.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-17-点评:证明线段相等的常用方法:如果在一条直线上,可以用和差计算;如果在一个三角形中,可以用“等角对等边”;如果在不同的三角形中,可以用全等三角形证明.本题第(1)问在不同的三角形中,所以用全等三角形来证明,第(2)问证明等腰三角形,就是要证明边相等或角相等.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-18-【练习】已知:如图,锐角
11、ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC,(1)求证:ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在BAC的角平分线上,并说明理由.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-19-解:(1)证明:OB=OC,OBC=OCB.锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O,BEC=BDC=90,BEC+BCE+ABC=BDC+DBC+ACB=180,ABC=ACB,AB=AC,ABC是等腰三角形;(2)解:连接AO并延长交BC于E,AB=AC,OB=OC,AE是BC的垂直平分线,BAE=CAE,点O在BAC的角平分线上.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课
12、前小练考情分析例题精讲例题精讲-20-知识点知识点3等腰三角形性质等腰三角形性质“三线合一三线合一”【例3】如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,将ADC绕点A顺时针旋转,使AC与AB重合,点D落在点E处,AE的延长线交CB的延长线于点M,EB的延长线交AD的延长线于点N.求证:AM=AN.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-21-思路点拨:欲证AM=AN,可证明AMB ANB.答案:证明:AEB由ADC旋转而得,AEB ADC.EAB=CAD,EBA=C.AB=AC,ADBC,BAD=CAD,ABC=C.EAB=DAB,EBA=DBA.EBM
13、=DBN,MBA=NBA.又AB=AB,AMB ANB.AM=AN.点评:等腰三角形通过顶角的平分线,底边上的高与中线都可以把等腰三角形分成全等的两个直角三角形,其中只要是一条重要线段,也会是其他重要线段.这个结论经常会在几何证明题中出现,注意能够用三线合一的就不要用全等证明,从而得到简化的目的.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-22-【练习】如图,已知AB=CD,B=C,AC和BD交于点O,E是AD的中点,连接OE.(1)求证:AOB DOC;(2)求AEO的度数.解:(1)证明:在AOB和COD中,B=C,AOB=DOC,AB=DC,AOB CO
14、D(AAS).(2)AOB COD,AO=DO.E是AD的中点,OEAD.AEO=90.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-23-知识点知识点4等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形:(1)概念:三边相等的三角形叫做等边三角形.(2)性质:等边三角形的三边相等,三个角都等于60.(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-24-【例4】如图,ABC是边长为3的等边三角形,将ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到DCE,
15、连接BD,交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段BD的长.思路点拨:(1)由平移的性质可知BE=2BC=6,DE=AC=3,故可得出BDDE,由E=ACB=60可知ACDE,故可得出结论;(2)在RtBDE中利用勾股定理即可得出BD的长.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-25-答案:解:(1)ACBD.DCE由ABC平移而成,BC=CD,BCD=180-DCE=180-60=120,在等腰BCD中,DBC=(180-120)2=30,BDE=180-DBE-DEB=180-30-60=90,BDDE,E=ACB=60,ACDE,BDAC;点评:本题考查的是等边三角形的性质(边,角)及平移的性质,熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键.第四章第四章第第16讲讲等腰三角形等腰三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-26-【练习】已知等边ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B处,DB,EB分别交边AC于点F,G,若ADF=80,则EGC的度数为 80.知识延伸等腰三角形作为轴对称的三角形应用非常广泛,特别考察等腰三角形存在性问题在第三部分中有专门的研究.
