1、第第1818讲讲相似三角形相似三角形第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-2-1.在比例尺为140 000的平面图上,5.2厘米所表示的实际距离为2080米.2.四条线段a、b、c、d成比例,其中a=4 cm,b=6 cm,c=5 cm,则d=7.5 cm.若b是a、c的的比例中项,已知a=2,c=8,则 b=4.3.以下五个命题:所有的正方形都相似所有的矩形都相似所有的三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的正五边形都相似.其中正确的命题有,.4.下列五对三角形中相似的是(1)(2)(3)(5)(填序号)第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形
2、课前小练考情分析例题精讲课前小练-3-5.如图,D是ABC的AB边上的一点,过点D作DEBC交AC于E,若ADDB=12,则DEBC等于13.6.如图,ABCDEF,则DE=3.5,DF=6.若C=28,E=110,则A=42.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-4-7.如果一个三角形的三边长分别是5,12,13,与其相似的三角形的最长边长是39,则较大三角形的周长是90.8.如图,DE是ABC的中位线,ADE的面积为3 cm2,则四边形DBCE的面积为9cm2.9.如图,身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B到A走去,当走到
3、C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为(C )A.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-5-10.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知ABBD,CDBD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是(B )A.6米B.8米 C.18米D.24米第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-6-11
4、.如图,已知直角三角形ABC,AD为斜边BC上的高,(1)请指出图中有哪几对相似三角形.(2)求证:AD2=BDDC.解:(1)ABDCAD,ABDCBA,CADCBA(2)证明:AD为斜边BC上的高,ADB=CDA=90.B+BAD=90,BAD+CAD=90,B=CAD.ABDCAD,第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-7-12.如图,点C、D在线段AB上,PCD是等边三角形.(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,有ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数.解:(1)当CD2=ACDB时,ACPPDB,PCD是等边三角形,PCD=P
5、DC=60,ACP=PDB=120,则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB.(2)当ACPPDB时,APC=PBD,PDB=120,DPB+DBP=60.APC+BPD=60.APB=CPD+APC+BPD=120.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-8-13.如图所示的网格中有A、B、C三点.(1)请你以网格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,使A、B两点的坐标分别为A(2,-4)、B(4,-2),则C点的坐标是(6,-4);(2)连接AB、BC、CA,先以坐标原点O为位似中心,按比例尺12在y轴的左侧画出ABC缩小后的ABC,再写出点C对应点C
6、的坐标.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲课前小练-9-解:(-3,2)第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-10-一、广东省数学中考考纲要求:(1)了解比例的基本性质,了解线段的比,成比例线段.(2)知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方.(3)了解两个三角形相似的概念,两个三角形相似的条件.(4)了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.二、近三年广东省中考情况:第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲考情分析-11-1.(2017广东,10)如图,已
7、知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是(C )A.B.C.D.2.(2018广东,7)在ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则ADE与ABC的面积之比为(C )第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-12-知识点知识点1相似三角形的判定相似三角形的判定1.比例线段:2.平行线分线段成比例:第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-13-3.相似形的定义:三边对应成比例,三个角
8、对应相等的两个三角形叫做相似三角形.如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似.我们把相似多边形对应边的比称为相似比.4.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-14-5.相似三角形的判定方法:平行于三角形一边的直线和其他两边(线段、延长线、反向延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应
9、的夹角相等,那么这两个三角形相似.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-15-【例1】如图,DAB=CAE,请你再补充一个条件,使得ABCADE,并说明理由.思路点拨:从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比例.若添加边的比相等一定要注意是否以DAE,BAC为夹角.答案:D=B或AED=C第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-16-点评:本题考查相似三角形的判定方法.三角形相
10、似的判定方法有平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.我们常用的有.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-17-【练习】如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形:ABFACE,BDECDF(用相似符号连接).第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析
11、例题精讲例题精讲-18-知识点知识点2相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形对应角相等,对应边的比相等.相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.相似多边形周长的比等于相似比.相似多边形面积的比等于相似比的平方.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-19-后CMN DMN得对应高相等;由MNAB得CMNCAB且相似比为12,故两者的面积比为14,从而得SCMNS四边形MABN=13,故选C.答案:C第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析
12、例题精讲例题精讲-20-点评:本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类似知识点.知识点丰富;考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-21-【练习】如图,ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若DEF的面积为a,则ABCD的面积为12a.(用a的代数式表示)第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-22-知识点知识点3相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质【例3】
13、如图,在ABCD中,ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F.(1)求证:AB=AF;思路点拨:(1)由等角对等边来进行证明;(2)由AEFCEB先求出 答案:解:(1)如图,在ABCD中,ADBC,2=3.BF是ABC的平分线,1=2.1=3.AB=AF.(2)AEF=CEB,2=3,AEFCEB,第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-23-点评:本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的判定与性质等.相似三角形的对应边相等是计算边长的一种重要手段.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例
14、题精讲-24-【练习】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.(1)求证:COMCBA;(2)求线段OM的长度.解:(1)证明:沿直线MN对折,使A、C重合,A与C关于直线MN对称,ACMN,COM=90.在矩形ABCD中,B=90,COM=B,又ACB=ACB,COMCBA;(2)解:在RtCBA中,AB=6,BC=8,AC=10,OC=5.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-25-知识点知识点4位位 似似两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图
15、形,这个点叫做位似中心.在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-26-【例4】如图,正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上,正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形,已知AC=3 ,若点A的坐标为(1,2),则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是()第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-27-思路点拨:延长AB交BC于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长
16、,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比.答案:解:在正方形ABCD中,AC=3 ,BC=AB=3,延长AB交BC于点E,点A的坐标为(1,2),OE=1,EC=AE=3-1=2,正方形ABCD的边长为1,点评:本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识,解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-28-【练习】如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1 ,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为(C ).第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题
17、精讲-29-知识点知识点5黄金分割黄金分割在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC2=BCAB,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-30-【例5】已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-31-【考点】多边形的相似、一元二次方程的解法解
18、答:根据已知得四边形ABEF为正方形.因为四边形EFDC与矩形ABCD相似,所以DFEF=ABBC,即(AD-1)1=1AD,整理得:AD2-AD-1=0,点评:本题综合考查了一元二次方程和多边形的相似及黄金分割知识,综合性强.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-32-【练习】如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B,因而EB=EB.类似的,在AB上折出点B使AB=AB.点B就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三
19、角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-33-证明:设正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,点B是线段AB的黄金分割点.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-34-知识点知识点6相似三角形对应边上高的比等于相似比相似三角形对应边上高的比等于相似比【例6】如图,抛物线y=x-9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合).过点E作直线l平行于BC,交AC于点D.设AE的长为m,ADE的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.第四章第四章第第
20、18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-35-思路点拨:(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长.(2)直线lBC,可得出AEDABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于S、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-36-【练习】如图,在ABC中,AB=AC,ADAB点D,BC=10 cm,AD=8 cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的
21、直线m从底边BC出发,以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的PEF的面积存在最大值,当PEF的面积最大时,求线段BP的长.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-37-解:(1)证明:当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图1所示.又EFAD,EF为AD的垂直平分线,AE=DE,AF=DF.AB=AC,ADBC于点D,ADBC,B=C.EFBC,AEF=B,AFE=C,AEF=AFE,AE=AF,AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.第四章第四章第第18讲讲相似三角形相似三角形课前小练考情分析例题精讲例题精讲-38-(2)解:如图2所示,由(1)知EFDC,当t=2秒时,SPEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.知识延伸相似三角形作为几何计算的应用非常广,特别考查相似三角形存在性问题在第三部分中有专门的研究.
