1、专题七几何综合探究题专题七几何综合探究题第三板块第三板块内容索引解题策略指导解题策略指导题型分类突破题型分类突破素养训练提高素养训练提高解题策略指导解题策略指导 T题型概述题型概述几何综合探究题型连续多年作为安徽中考压轴题.主要涉及利用三角形相似或全等的判定及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常涉及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽中考对几何推理与证明能力考查的体现.把观察、操作、证明融于一体,展示了数学探究的过程和方法,体现了对数学活动经验的关注,也体现了对培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的关注.预计2021年仍是用与全等或相似有关
2、的几何综合探究题压轴.F方法指导方法指导几何综合探究题灵活多变,一般并无固定的解题模式或套路.解决这类问题的方法:一是根据条件,结合已学的知识、数学思想方法,通过分析、归纳逐步得出结论,或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解;二是关注前面几个小问在求解过程的解题思路和方法,会对最后一个小问的求解有一定的借鉴作用,还可以把前面几个小问的结论作为已知条件,为最后一问的求解提供帮助.题型分类突破题型分类突破类型一类比拓展探究题例1(2018安徽,23)如图1,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BA
3、C=50,求EMF的大小;(3)如图2,若DAE CEM,点N为CM的中点,求证:ANEM.图1图2 分析(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半得出结论.(2)利用三角形的外角等于不相邻的两内角之和推导出相关角的关系,从而求出相关角.(3)通过已知条件,结合(1)(2)利用垂直于同一条直线的两直线平行得到证明;或先通过三角形全等得到边的关系,最后通过“两边对应成比例且夹角相等”证明FMEFNA即可.(1)证明 M为BD中点,RtDCB中,MC=BD.RtDEB中,EM=BD.MC=ME.(2)解 BAC=50,ADE=40.CM=MB,MCB=CBM.CMD=MCB+CBM=2CBM.同理
4、,DME=2EBM,CME=2CBA=80,EMF=180-80=100.(3)证明 方法一:同(2)可得CBA=45.CAB=ADE=45.DAE CEM,DE=CM=ME=BD=DM,ECM=45.DEM为等边三角形,EDM=60.MBE=30.MCB+ACE=45,CBM+MBE=45,ACE=MBE=30.ACM=ACE+ECM=75.连接AM,AE=EM=MB,MEB=EBM=30,AME=MEB=15.CME=90,CMA=90-15=75=ACM.AC=AM.N为CM中点,ANCM.CMEM,ANCM.方法二:由(1)知CM=EM,DAE CEM,AED=90,AE=DE=EM=
5、CM,CME=90,则由(1)知:EM=BD,DE=DM=EM,DEM是等边三角形.MEF=DEF-DEM=30.FM=EF.AE=CM,N是CM中点,MN=AE.FMFE=NMAE,即FMFE=FNFA,MFE=NFA,FMEFNA,FME=FNA,ANCM.类型二图形变换探究题例2在ABC中,ACB=90,ABC=30,将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(0180),得到A1B1C.(1)如图1,当ABCB1时,设A1B1与BC相交于D,证明:A1CD是等边三角形;(2)如图2,连接AA1,BB1,设ACA1和BCB1的面积分别为S1,S2.求证:S1S2=13;(3)如图3,设AC中点
6、为E,A1B1中点为P,AC=a,连接EP,当=_时,EP长度最大,最大值为_.(3)解 如图,连接CP,当ABC旋转到E,C,P三点共线时,EP最长,此时=ACA1=120.B1=30,A1CB1=90,类型三几何图形与函数相结合探究题例3如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的
7、最大面积.抛物线的表达式为y=x2+4x-5.方法2:抛物线与x轴交于B(-5,0)和C(1,0),设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x-1),又抛物线与y轴交于A点,A(0,-5),把A(0,-5)代入y=a(x+5)(x-1),得-5=-5a,a=1,抛物线的表达式为y=(x+5)(x-1)=x2+4x-5.(2)A(0,-5),ADx轴,点E关于x轴的对称点在直线AD上,点E的纵坐标为5,点E到直线AD的距离为10.把y=-5代入y=x2+4x-5,得-5=x2+4x-5,解得x1=-4,x2=0(舍),D(-4,-5),AD=4.SEAD=410=20.(3)设直线AB的表达式为y=
8、kx+b,k0,把B(-5,0)和A(0,-5)代入,得直线AB的表达式为y=-x-5.设点P的坐标为(m,m2+4m-5),作PQy轴,交直线AB于点Q,Q(m,-m-5).点P是直线AB下方的抛物线上一动点,PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.设ABP的面积为S,素养训练提高素养训练提高1.(2020四川眉山)如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当PBC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,点M为该抛物线的顶点,直线MDx
9、轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.图1图2 图1(3)存在N满足条件,理由如下:抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,点A(-1,0),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点M为(1,4),点M为(1,4),点C(0,3),直线MC的表达式为:y=x+3,如图,设直线MC与x轴交于点E,过点N作NQMC于点Q,点E(-3,0),DE=4=MD,NMQ=45,NQMC,NMQ=MNQ=45,图2 MQ=NQ,MQ=NQ=MN.设点N(1,n),点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离,N
10、Q=AN,NQ2=AN2,2.(2017安徽)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF;求证:BE2=BCCE.(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF的值.图1图2(1)证明 四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=BCF=90,ABG+CBF=90,AGB=90,ABG+BAG=90,BAG=CBF,AB=BC,ABE=BCF=90,ABE BCF,BE=CF.证明 AGB=90,点M为AB的
11、中点,MG=MA=MB,GAM=AGM,又CGE=AGM,GAM=CBG,CGE=CBG,又ECG=GCB,CGECBG,即CG2=BCCE,由CFG=GBM=BGM=CGF得CF=CG,由知BE=CF,BE=CG,BE2=BCCE.3.(2020辽宁朝阳)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,M是AC边上的一点,连接BM,作APBM于点P,过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E.图1图2 图3(1)证明 APBM,APB=90,ABP+BAP=90,BAP+CAE=90,CAE=ABP,CEAC,BAM=ACE=90,AB=AC,ABM CAE(ASA),CE=AM.(2)解 如图
12、1,过点E作CE的垂线交BC于点F,FEC=90,AB=AC,BAC=90,ACB=ABC=45,ACE=90,FCE=45,CFE=FCE=45,CE=EF,EFN=135,四边形AMBG是平行四边形,AM=BG,ABG=BAC=90,GBN=ABG+ABC=135,GBN=EFN,由(1)得ABM CAE,AM=CE,BG=CE=EF,BNG=FNE,GBN EFN(AAS),GN=EN,AGBM,GAE=BPE=90,(3)解 如图2,延长GM交BC于点F,连接AF,在平行四边形ABMG中,ABGM,ABM MGA,AMG=BAC=90,GMC=ACE=90,GFCE,AM=MC,BF=
13、CF,AB=AC,设CN=x,则BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,图2 4.(2020辽宁大连)如图1,ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD上,CG=CA,GF=DE,AFG=CDE.(1)填空:与CAG相等的角是_;(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系,并证明;(3)若BAC=90,ABC=2ACD(如图2),求 的值.解(1)CA=CG,CAG=CGA,故答案为:CGA.(2)AD=BD证明如图1,在CG上取点M,使GM=AF,连接AM,EM,CAG=CGA,AG=GA,AGM GAF(SAS),AM=GF,AFG=AMG,GF=DE,A
14、FG=CDE,AM=DE,AMG=CDE,AMDE,四边形AMED为平行四边形,AD=EM,ADEM,BE=CE,即点E为BC中点,ME为BCD的中位线,AD=ME=BD;图1(3)延长BA至点N,使AD=AN,连接CN,BAC=NAC=90,AC垂直平分DN,CD=CN,ACD=ACN,设ACD=ACN,则ABC=2,则ANC=90-,BCN=180-2-(90-)=90-,BN=BC,即BCN为等腰三角形,设AD=1,则AN=1,BD=2,BC=BN=4,AB=3,图2 5.(2020江苏宿迁)【感知】如图,在四边形ABCD中,C=D=90,点E在边CD上,AEB=90,求证:图图 图 图
15、1【感知】证明 C=D=AEB=90,BEC+AED=AED+EAD=90,BEC=EAD,RtAEDRtEBC,【探究】证明 如图1,过点G作GMCD于点M,BC=GM,又C=GMH=90,CHB=MHG,BCH GMH(AAS),BH=GH,【拓展】证明 如图2,在EG上取点M,使BME=AFE,过点C作CNBM,交EG的延长线于点N,则N=BMG,EAF+AFE+AEF=AEF+AEB+BEM=180,EFA=AEB,EAF=BEM,AEFEBM,AEB+DEC=180,EFA+DFE=180,而EFA=AEB,CED=EFD,BMG+BME=180,N=EFD,EFD+EDF+FED=
16、FED+DEC+CEN=180,EDF=CEN,DEFECN,BM=CN,又N=BMG,BGM=CGN,BGM CGN(AAS),BG=CG.图2 6.(2020湖北十堰)如图1,已知ABC EBD,ACB=EDB=90,点D在AB上,连接CD并延长交AE于点F.(1)猜想:线段AF与EF的数量关系为_;(2)探究:若将图1的EBD绕点B顺时针方向旋转,当CBE小于180时,得到图2,连接CD并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展:图1中,过点E作EGCB,垂足为点G.当ABC的大小发生变化,其他条件不变时,若EBG=BAE,BC=6,
17、直接写出AB的长.图1图2 解(1)延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图1所示,ABC EBD,DE=AC,BD=BC,CDB=DCB,且CDB=ADF,ADF=DCB,ACB=90,ACD+DCB=90,EDB=90,ADF+FDE=90,ACD=FDE,FK+DF=DC+DF,DK=CF.在ACF和EDK中,ACF EDK(SAS),KE=AF,K=AFC,又AFC=KFE,K=KFE,KE=EF,AF=EF,故AF与EF的数量关系为:AF=EF.故答案为:AF=EF.图1(2)仍旧成立,理由如下:延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图2所示,设BD延长线DM交AE于M点
18、,ABC EBD,DE=AC,BD=BC,CDB=DCB,且CDB=MDF,MDF=DCB,ACB=90,ACD+DCB=90,EDB=90,MDF+FDE=90,ACD=FDE,图2 FK+DF=DC+DF,DK=CF.在ACF和EDK中,ACF EDK(SAS),KE=AF,K=AFC,又AFC=KFE,K=KFE,KE=EF,AF=EF,故AF与EF的数量关系为:AF=EF.(3)如图3所示,过点E作EGBC交CB的延长线于G,BA=BE,BAE=BEA,BAE=EBG,BEA=EBG,AECG,AEG+G=180,AEG=90,ACG=G=AEG=90,四边形AEGC为矩形,AC=EG,且AB=BE,RtACB RtEGB(HL),BG=BC=6,ABC=EBG,又ED=AC=EG,且EB=EB,RtEDB RtEGB(HL),DB=GB=6,EBG=ABE,ABC=ABE=EBG=60,BAC=30,在RtABC中,由30所对的直角边等于斜边的一半可知:AB=2BC=12.
