1、第四章 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位并能熟练地指出圆心的位 置和半径的大小置和半径的大小； 3.能根据某些具体条件能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程运用待定系数法确定圆的方程. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点 圆的一般方程 思考1 方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什 么图形？ 答案 对方程x2y22x4y10配方得：(x1)2(y2)24， 表示以(1，
2、2)为圆心，半径为2的圆， 方程x2y22x4y60配方得(x1)2(y2)21不表示任何图形. 答案 思考2 对于方程x2y2DxEyF0是否表示圆？ 答案 答案 方程 x2y2DxEyF0 配方得 表示以(D 2 ，E 2)为圆心， 1 2 D2E24F为半径的圆. 当D2E24F0时， (xD 2 )2(yE 2) 2D 2E24F 4 ， 方程 条件 图形 x2y2DxEy F0 D2E24F0 表示以 为圆心， 以 为半径的圆 (D 2 ，E 2) (D 2 ，E 2) 1 2 D2E24F 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 圆的一般方程的概念 例1 若方程x2y22mx2
3、ym25m0表示圆，求实数m的取值范 围，并写出圆心坐标和半径. 解 由表示圆的条件， 得(2m)2(2)24(m25m)0， 解得 m1 5. 圆心坐标为(m,1)，半径为 15m. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 (1)若方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_； 解 方程2x22y22ax2ay0(a0) 解析答案 可化为(xa 2) 2(ya 2) 2a 2 2 ， 圆心坐标为(a 2， a 2)，半径为 2|a| 2 . (a 2， a 2)， 2|a| 2 (2)点M、N在圆x2y2kx2y40上，且点M、N关于直线xy1 0对称，则该圆的面积为_
4、. 由圆的性质知直线xy10经过圆心， 解析答案 解 圆 x2y2kx2y40 的圆心坐标是(k 2，1)， k 2110 得 k4， 圆 x2y24x2y40 的半径为1 2 4222163， 该圆的面积为9. 9 类型二 求圆的一般方程 例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接圆的方程； 解 设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0， 由题意得 解析答案 22222D2EF0， 52325D3EF0， 32123DEF0. 解得 D8， E2， F12. 即ABC的外接圆方程为x2y28x2y120. (2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.
5、 解 由(1)知，ABC的外接圆方程为x2y28x2y120， 点M(a,2)在ABC的外接圆上， a2228a22120， 即a28a120， 解得a2或6. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 求经过点A(2，4)且与直线x3y260相切于点B(8,6) 的圆的方程. 解 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由题意得 解析答案 2a24b2r2， 8a26b2r2， b6 a8 1 31， 解得 a11 2 ， b3 2， r5 10 2 . 圆的方程为(x11 2 )2(y3 2) 2125 2 . 类型三 与圆有关的轨迹方程 例3 已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求
6、线段OP的中 点M的轨迹方程. 解析答案 反思与感悟 返回 跟踪训练3 已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的 中点P的轨迹. 解析答案 1 2 3 达标检测 4 5 解析答案 1.圆x2y22x4y0的圆心坐标为( ) A.(1,2) B.(1，2) C.(1,2) D.(1，2) 解析 将圆的方程化为标准方程：(x1)2(y2)25，可知其圆心 坐标是(1，2). B 1 2 3 4 5 解析答案 2.将圆x2y22x4y10平分的直线是( ) A.xy10 B.xy30 C.xy10 D.xy30 解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. C
7、1 2 3 4 5 3.方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是( ) A.m2 B.m1 2 C.m2 D.m 1 2 解析 由D2E24F0， 得(1)2124m0， B 即 m1 2. 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆 心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程. 2 1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24 上运动，求线段AB的端点B的轨迹. 规律与方法 1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2E24F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F. 3.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点. 返回
