1、第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 1.了解点到直线距离公式的推导方法了解点到直线距离公式的推导方法； 2.掌握点到直线距离公式掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题并能灵活应用于求平行线间的距离等问题； 3.初步掌握用初步掌握用解析解析法研究几何问题法研究几何问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 点到直线的距离 思考1 如图，点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为0)的距 离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？ 答案 答案 d|PR|PS
2、| |RS| . 思考2 根据思考1的思路，点P到直线 AxByC0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？ 答案 d|Ax 0By0C| A2B2 . 思考3 点到直线的距离公式对于A0或B0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， 当A0，B0时，直线l的方程为ByC0， 答案 即 yC B，d|y0 C B| |By0C| |B| ，适合公式. 当B0，A0时，直线l的方程为AxC0， xC A，d|x0 C A| |Ax0C| |A| ，适合公式. 答案 1.定义：点到直线的 的长度. 2.图示： 垂线段 d|Ax 0By0C| A2B2 3.公式： . 知识点二 两条平行直线间的距
3、离 思考 直线l1：xy10上有A(1,0)、B(0,1)、C(1,2)三点，直线l2： xy10与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？ 有什么规律吗？ 答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为 规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等. 答案 2、 2、 2. 1.定义：夹在两平行线间的 的长. 2.图示： 3.求法：转化为点到直线的距离. 4.公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间 的距离 d |C1C2| A2B2. 公垂线段 答案 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 点到直线的距离 例1 (1)求点P
4、(2，3)到下列直线的距离. y 4 3x 1 3； 解 y4 3x 1 3可化为 4x3y10， 点 P(2，3)到该直线的距离|42331| 4232 18 5 ； 3y4； 解 3y4可化为3y40， 由点到直线的距离公式得|334| 0232 13 3 ； 解析答案 x3. 解 x3可化为x30， 由点到直线的距离公式得|23| 1 1. 解析答案 (2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取 值范围是_. 解析答案 解析 由题意知 |443a| 423
5、23， 得1 3a 31 3 ， 故 a 的取值范围为1 3， 31 3 . 1 3， 31 3 (2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的 方程为_. 解析答案 解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A、B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y4k(x3)， 即kxy43k0， 由已知得：|2k243k| 1k2 |4k243k| 1k2 ， k2 或 k2 3， 所求直线l的方程为2x3y180或2xy20. 2xy20或2x3y180 类型二 两平行线间的距离 例2 (1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离 为_.
6、将直线3xy30化为6x2y60， 解析答案 解析 由题意得6 3 m 1 ，m2， 由两平行线间距离公式得：|16| 6222 5 40 10 4 . 10 4 (2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等， 则l的方程为_. 解析 设直线l的方程为2xyc0， 解析答案 反思与感悟 由题意知： |3c| 2212 |c1| 2212， 得c1， 直线l的方程为2xy10. 2xy10 跟踪训练2 (1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线 方程； 解析答案 解析答案 (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5
7、，求两直 线方程. 解 依题意，两直线的斜率存在， 设l1：yk(x1)，即kxyk0， l2：ykx5，即kxy50. 因为 l1与 l2距离为 5，所以|k5| k21 5， 解得 k0 或 5 12. 所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600. 类型三 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x8y10，则 的最小值 为_. 解析答案 x2y22y1 解析 x2y22y1 x02y12， 上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离， S|MN|的最小值应为点N到直线l的距
8、离， 即|MN|mind |81| 6282 7 10. 7 10 (2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着 点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. 求d的取值范围； 解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2， 解析答案 反思与感悟 显然当 l1AB l2AB 时，l1和 l2的距离最大， 且最大值为|AB|3621223 10， d 的取值范围为(0,3 10； 求当d取最大值时，两条直线的方程. 解 由知 dmax3 10，此时 k3， 两直线的方程分别为3xy200或3xy100. 跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|
9、OP|最 小时P点的坐标； 解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离， 此时OP垂直于已知直线，则kOP1， OP所在直线方程为yx， 解析答案 由 yx， xy40， 解得 x2， y2. P点坐标为(2,2). (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. 解 由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大， kOP2， 解析答案 所求直线方程为 y21 2(x1)， 即x2y50. 类型四 对称问题 解析答案 反思与感悟 例4 求点P(5,13)关于直线l：2x3y30的对称点P的坐标. 返回 跟踪训练4 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射 后通
10、过点P(4,3)，求反射光线的方程. 解析答案 1 2 3 达标检测 4 5 解析答案 1.已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为( ) A.1 B.1 C. 2 D. 2 解析 由题意知|a11| 1212 1， 即|a| 2，a 2. D 1 2 3 4 5 解析答案 2.两条平行线l1：3x4y20，l2：9x12y100间的距离等( ) 解析 l1的方程可化为9x12y60， A.7 5 B. 7 15 C. 4 15 D. 2 3 由平行线间的距离公式得 d|610| 92122 4 15. C 1 2 3 4 5 3.光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B
11、(2,10)，则光线从A 到B的距离为( ) A.5 2 B.2 5 C.5 10 D.10 5 解析 点A关于x轴的对称点A(3，5)， |AB| 32251025 10， 由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离. C 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d， 则ad_. 10 解析 由两直线平行知，a8，d|155| 5 2， ad10. 1 2 3 4 5 解析答案 5.在直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_. 解析 由题意知过点P作直线3x4y270的垂线， 设垂足为M，则|MP|为最小， (5，3)
12、直线 MP 的方程为 y14 3(x2)， 解方程组 3x4y270， y14 3x2， 得 x5， y3 所求点的坐标为(5，3). 规律与方法 1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的 距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可 直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合， 使问题更清晰. 3.已知两平行直线，其距离可利用公式d 求解，也可在已知直线上 取一点，转化为点到直线的距离. 4.对称问题 最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平 分两条件列方程组可求解对称点坐标. |C1C2| A2B2 返回
