1、 第第 三三 章章 概率概率 知能整合提升知能整合提升 一、随机事件的概率一、随机事件的概率 1.有关事件的概念有关事件的概念 (1)必然事件：我们把在条件必然事件：我们把在条件 S 下下，一定会发生的事件一定会发生的事件，叫做相对于条件叫做相对于条件 S 的必然事件的必然事件，简称必然事件简称必然事件. (2)不可能事件：在条件不可能事件：在条件 S 下下，一定不会发生的事件一定不会发生的事件，叫做相对于条件叫做相对于条件 S 的的 不可能事件不可能事件，简称不可能事件简称不可能事件. (3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的
2、确定事件的确定事件，简简 称确定事件称确定事件. (4)随机事件： 在条件随机事件： 在条件 S 下可能发生也可下可能发生也可能不发生的事件能不发生的事件， 叫做相对于条件叫做相对于条件 S 的随机事件的随机事件，简称随机事件简称随机事件. (5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母 A，B，C，表表 示示. 2.对于概率的定义应注意以下几点对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验. (2)只有当频率在某个常数附近摆动时只有当频率在某个常数附近摆动
3、时，这个常数才叫做事件这个常数才叫做事件 A 的概率的概率. (3)概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值，而频率是概率的近而频率是概率的近似值似值. (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小概率反映了随机事件发生的可能性的大小. (5)必然事件的概率为必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为不可能事件的概率为 0，故故 0P(A)1. 二、互斥事件与对立事件二、互斥事件与对立事件 1.互斥事件互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或称互不相容事不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或称互不相容事 件件.从集合的角度看从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不是指这两个事件所含
4、的结果组成的集合不 相交相交，即即 AB ，如右图所示如右图所示.易知易知，必然事件与不可能事件必然事件与不可能事件 是互斥的；任何两个基本事件都是互斥的是互斥的；任何两个基本事件都是互斥的，如果如果 A1，A2，An中的任何两个都中的任何两个都 是互斥事件是互斥事件，那么我们就说事件那么我们就说事件 A1，A2，An彼此互斥彼此互斥.从集合的角度看从集合的角度看，n 个个 事件彼此互斥事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合两两相交为空集是指由各个事件所含的结果组成的集合两两相交为空集. 2.对立事件对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事不能同时发生且必有一个发
5、生的两个事件叫做互为对立事 件件.从集合的角度看从集合的角度看，由事件由事件 B 所含的结果组成的集合所含的结果组成的集合，是全集是全集 中由事件中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集所含的结果组成的集合的补集，如图所示如图所示.即即 AB 且且 ABI. 3.互斥事件概率的求法互斥事件概率的求法 (1)若若 A1， A2， ， An互斥互斥， 则则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). (2)利用这一公式求概率的步骤是：利用这一公式求概率的步骤是：要确定这些事件彼此互斥；要确定这些事件彼此互斥；这些事这些事 件中有一个发生；件中有一个发生；先求出这些事件分别发生的概率先求出这
6、些事件分别发生的概率，再求和再求和.值得注意的是：值得注意的是： 、两点是公式的使用条件两点是公式的使用条件，不符合这两点不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法是不能运用互斥事件的概率加法 公式的公式的. 4.对立事件概率的求法对立事件概率的求法 P()P(AA)P(A)P(A)1，由公式可得由公式可得 P(A)1P(A)，这个公式很这个公式很 有用有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转化为求其对立事件的概率可先转化为求其对立事件的概率， 从而大大地简化求某些事件概率的计算从而大大地简化求某些事件概率的计算. 三、古典概型三、古典概型 1.古典概型的
7、概率公式古典概型的概率公式 P(A)事件 事件A包含的基本事件数包含的基本事件数 试验的基本事件总数试验的基本事件总数 2.古典概型的特点：等可能性和有限性古典概型的特点：等可能性和有限性. 3.从集合角度认识古典概型从集合角度认识古典概型 在一次在一次试验中，等可能出现的试验中，等可能出现的 n 个结果组成一个集合个结果组成一个集合 ，这这 n 个结果就是个结果就是 集合集合 的的 n 个元素个元素.各基本事件均对应于集合各基本事件均对应于集合 的含有的含有 1 个元素的子集个元素的子集， 包含包含 m 个结果的事件个结果的事件 A 对应于对应于 的含有的含有 m 个元素的子集个元素的子集
8、A.因此从集合角度看因此从集合角度看， 事件事件 A 的概率是的概率是子集子集 A 的元素个数与集合的元素个数与集合 的元素个数的比值的元素个数的比值，即即 P(A)m n . 四、几何概型四、几何概型 1.几何概型的计算公式几何概型的计算公式 P(A) 构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 2.与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型 (1)确定几何度量；确定几何度量； (2)计算试验对应的几何度量计算试验对应的几何度量 u()和所求事件对应几何度量和所求事件对应几何度量
9、u(A)； (3)代入公式可求解代入公式可求解. 3.与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型，求解的关键有二：一是确定几何度量为体积求解的关键有二：一是确定几何度量为体积，二二 是准确计算几何体的体积是准确计算几何体的体积. 热点考点例析热点考点例析 互斥事件与对互斥事件与对立事件的概念及应用立事件的概念及应用 1.互斥事件与对立事件的联系与区别：互斥事件与对立事件的联系与区别： 不可不可能同时发生的事件称为互斥事件， 对立事件则要同时满足两个条件：一能同时发生的事件称为互斥事件， 对立事件则要同时满足两个条件：一 是不可能同时发生， 二是必有一个发生， 两个事件是对立事件的前提是互斥事件是
10、不可能同时发生， 二是必有一个发生， 两个事件是对立事件的前提是互斥事件. 在一次试验中在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生也可能只有一个发生，而两个对而两个对 立事件则必有一个发生且不可能同时发生立事件则必有一个发生且不可能同时发生. 2.互斥事件与对立事件的概率计算：互斥事件与对立事件的概率计算： (1)若事件若事件 A1，A2，An彼此互斥彼此互斥，则则 P(A1A2An)P(A1)P(A2) P(An). 设事件设事件 A 的对立事件是的对立事件是 A，则，则 P(A)1P(A)， (2)应用互斥事件的概率加法公式解题时应用互斥事件的概
11、率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是一定要注意首先确定各个事件是 否彼此互斥否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率然后求出各事件分别发生的概率，再求和再求和.对于较复杂事件的概率对于较复杂事件的概率， 可以转化为求其对立事件的概率可以转化为求其对立事件的概率. 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事 件的和；二是先求其对立事件的概率件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式然后再应用公式 P(A)1P(A)求解求解. 有有 3 个两两互斥的事件个两两互斥的事件 A，B，C，已知事件已知事
12、件 ABC 是必是必然条件，然条件， 事件事件 A 的概率是事件的概率是事件 B 的概率的的概率的 2 倍倍，事件事件 C 的概率比事件的概率比事件 B 的概率大的概率大 0.2.求求 事件事件 A，B，C 的概率的概率. 解析：解析： 设设 P(B)x，则则 P(A)2P(B)2x，P(C)P(B)0.2x0.2.故故 1 P(ABC)P(A)P(B)P(C)2xx(x0.2)4x0.2，所以所以 x0.2， 即即 P(A)0.4，P(B)0.2，P(C)0.4. 1.(1)如果事件如果事件 A，B 互斥互斥，那么那么( ) A.AB 是必然事件是必然事件 B.AB 是必然事件是必然事件 C
13、.A 与与 B 一定不互斥一定不互斥 D.A 与与 B 一定互斥一定互斥 (2)在在 3 路、路、6 路公共汽车的一个停靠站路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽假定这个车站只能停靠一辆公共汽 车车)，有一位乘客需在有一位乘客需在 5 分钟之内乘上公共汽车赶到厂里分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘他可乘 3 路或路或 6 路路.已已 知知 3 路车、路车、6 路车在路车在 5 分钟之内到此车站的概率分别为分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和和 0.60， 则该乘客在则该乘客在 5 分钟内能乘上所需车的概率为分钟内能乘上所需车的概率为( ) A.0.20 B.0.60 C
14、.0.80 D.0.12 解析：解析： (1)如图所示如图所示，用集合的观点发现用集合的观点发现 AB 不一定为全集不一定为全集，故选项故选项 A 错误错误.同理可以检验出选项同理可以检验出选项 B 正确正确，选项选项 C，D 错误错误. (2)因为车站只停靠一辆公共汽车因为车站只停靠一辆公共汽车，所以所以 3 路车停靠与路车停靠与 6 路车停靠为互斥事路车停靠为互斥事 件件，由互斥事件加法公式有由互斥事件加法公式有 0.200.600.80. 答案：答案： (1)B (2)C 古典概古典概型 型 古典概型综述：古典概型综述： (1)古典概型的基本特征：古典概型的基本特征：有限性；有限性；等可
15、能性等可能性. (2)古典概型的计算公式：古典概型的计算公式：P(A)m n ，其中其中 n 为试验的基本事件总数为试验的基本事件总数，m 为事为事 件件 A 包含的基本事件数包含的基本事件数. (3)古典概型问题的解题方法：古典概型问题的解题方法： 采取适当的方法采取适当的方法，按照一定的顺序按照一定的顺序，把试验的所有结果一一列举出来把试验的所有结果一一列举出来，正正 确理解基本事件与事件确理解基本事件与事件 A 的关系的关系. 应用公式应用公式 P(A)m n 计算概率计算概率. 若所求概率的事件比较复杂若所求概率的事件比较复杂， 可把它分解成若干个互斥的事件可把它分解成若干个互斥的事件
16、， 利用互斥利用互斥 事件的概率加法公式求解事件的概率加法公式求解；或利用求其对立事件，利用对立事件的概率求解；或利用求其对立事件，利用对立事件的概率求解. 从装有编号分别为从装有编号分别为 a，b 的的 2 个黄球和编号分别为个黄球和编号分别为 c，d 的的 2 个红球的个红球的 袋中无放回地摸球袋中无放回地摸球，每次任摸一球每次任摸一球，求：求： (1)第第 1 次摸到黄球的概率；次摸到黄球的概率； (2)第第 2 次摸到黄球的概率次摸到黄球的概率. 解析：解析： 从从 2 个袋每次任摸一球个袋每次任摸一球，有如下基本事件有如下基本事件(a，c)，(a，d)，(b，c)， (b，d)，(c
17、，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b). (1)第第 1 次摸到黄球的基本事件有次摸到黄球的基本事件有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)， P(A)4 8 1 2. (2)第第 2 次摸到黄球的基本事件为次摸到黄球的基本事件为(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)， P(B)4 8 1 2. 2.一个盒子里装有完全相同的一个盒子里装有完全相同的 10 个小球个小球，分别标上分别标上 1，2，3，10 这这 10 个数字个数字，现随机地取两个小球现随机地取两个小球. (1)不放回地取出小球不放回地取出小球，求两个小球上的数字为相邻整数的概率；求两个小球上的数字为相邻整数的
18、概率； (2)有放回地取出小球有放回地取出小球，求两个小求两个小球上的数字为相邻整数的概率球上的数字为相邻整数的概率. 解析：解析： 随机取出两个小球随机取出两个小球， 记事件记事件 A为为“两个小球上的数字为相邻整数两个小球上的数字为相邻整数”， 可能结果为可能结果为(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(9，10)，(10， 9)，共共 18 种种. (1)如果小球是不放回地取如果小球是不放回地取出出，按取出顺序记录结果按取出顺序记录结果(x，y)，则则 x 有有 10 种可种可 能能，y 有有 9 种可能种可能，共有共有 10990 种可能结果种可能结果
19、，因此因此 P(A)18 90 1 5. (2)如果小球是有放回地取出如果小球是有放回地取出，按取出顺序记录结果按取出顺序记录结果(x，y)，则，则 x 有有 10 种可种可 能能，y 有有 10 种可能种可能，共有共有 1010100 种可能结果种可能结果，因此因此 P(A) 18 100 9 50. 几何概型几何概型 几何概型综述：几何概型综述： (1)几何概型的基本特征：几何概型的基本特征： 基本事件的无限性；基本事件的无限性； 每个事件发生的等可能性每个事件发生的等可能性. (2)几何概型的计算公式：几何概型的计算公式： P(A) 构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（
20、面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）度（面积或体积）. (3)几何概型问题的解题方法：几何概型问题的解题方法： 解几何概型问题时解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系常常需要寻找不等关系.要找不等关系要找不等关系，先找等量关系先找等量关系， 再借助图形分析寻找不等关系再借助图形分析寻找不等关系，然后利用公式计算然后利用公式计算. 特别提醒特别提醒 求解几何概型问题求解几何概型问题，要特别注意基本事件的形成过程要特别注意基本事件的形成过程，要准确要准确 判断所求的概率是哪个量判断所求的概率是哪个量(长度、面积、体积或角度长度、面积、体积或角度)的
21、比值的比值. 正方体正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 a，在正方体内随机取一点在正方体内随机取一点 M. (1)求点求点 M 落在三棱锥落在三棱锥 B1A1BC1内的概率；内的概率； (2)求使四棱锥求使四棱锥 MABCD 的体积小于的体积小于1 6a 3 的概率的概率. 解析：解析： (1)棱长为棱长为 a 的正方体的体积的正方体的体积 Va3. 由正方体的性质可知由正方体的性质可知 VB1A1BC11 6a 3. 点点 M 落在三棱锥落在三棱锥 B1A1BC1内的概率为内的概率为 PVB 1 A1BC1 V 1 6. (2)设点设点 M 到平到平面面 ABCD 的距离为的距
22、离为 h， 由题意由题意，得得1 3a 2h1 6a 3， ，ha 2. 使四棱锥使四棱锥 MABCD 的体积小于的体积小于1 6a 3 的概率为的概率为1 2. 3.欧阳修卖油翁中写到：欧阳修卖油翁中写到：(翁翁)乃取一葫芦置于地乃取一葫芦置于地，以钱覆其口以钱覆其口，徐以杓徐以杓 酌油沥之酌油沥之，自钱孔入自钱孔入，而钱不湿而钱不湿.可见可见“行行出状元行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为卖油翁的技艺让人叹为 观止观止.若铜钱是直径为若铜钱是直径为 1.5 cm 的圆的圆，中中间有边长为间有边长为 0.5 cm 的正方形孔的正方形孔，若你随机若你随机 向铜钱上滴一滴油向铜钱上滴一滴油，则油则
23、油(油滴的大小忽略不计油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为正好落入孔中的概率为( ) A. 4 9 B. 9 4 C.4 9 D.9 4 解析：解析： 由题意所由题意所求的概率为求的概率为 P 0.50.5 1.5 2 2 4 9. 答案：答案： A 1.把黑、 红、 白把黑、 红、 白 3 张纸牌分给甲、 乙、 丙三人张纸牌分给甲、 乙、 丙三人， 则事件则事件“甲分得红牌甲分得红牌”与与“乙乙 分得红牌分得红牌”是是( ) A.对立事件对立事件 B.互斥但不对立事件互斥但不对立事件 C.不可能事件不可能事件 D.必然事件必然事件 解析：解析： 根据题意根据题意，把黑、红、白把黑、红、白
24、 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件事件“甲甲 分得红牌分得红牌”与与“乙分得红牌乙分得红牌”不会同时发生不会同时发生， 故两者是互斥事件故两者是互斥事件， 但除了但除了“甲分甲分 得红牌得红牌”与与“乙分得乙分得红牌红牌”之外之外，还有还有“丙分得红牌丙分得红牌” ，故两者不是对立事件，故两者不是对立事件， 所以事件所以事件“甲分得红牌甲分得红牌”与与“乙分得红牌乙分得红牌”是互斥但不对立事件是互斥但不对立事件. 答案：答案： B 2.如图如图，在一个不规则多边形内随机撒入在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒麦粒粒麦粒(麦粒落到任何位置可麦粒落到任何位置可 能性相
25、等能性相等)，恰有恰有 40 粒落入半径为粒落入半径为 1 的圆内的圆内，则该多边形的面积约为则该多边形的面积约为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：解析： P 12 S 40 200， ，S5. 答案：答案： B 3.在区间在区间3，3上任取一个实数上任取一个实数，所得实数是不等式所得实数是不等式 x2x20 的解的的解的 概率为概率为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：解析： 由由 x2x20，得得2x1，所求概率为所求概率为1（ （2） 3（3） 1 2. 答案：答案： C 4.在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中随机取点中随机取点， 则点落在
26、四棱锥则点落在四棱锥 OABCD 内内(O 为正方体的对角线的交点为正方体的对角线的交点)的概率是的概率是( ) A.1 3 B.1 6 C.1 2 D.1 4 解解析：析： 设正方体的体积为设正方体的体积为 V，则四棱锥则四棱锥 OABCD 的体积为的体积为V 6 ，所求概率所求概率 为为 V 6 V 1 6. 答案：答案： B 5.给出以下四个说法：给出以下四个说法：将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次，设事件设事件 A：“两次都出现正两次都出现正 面面”，事件事件 B：“两次都出现反面两次都出现反面”，则事件则事件 A 与与 B 是对立事件；是对立事件； 在命题在命题中中，事件事件 A
27、与与 B 是互斥事件；是互斥事件； 在在 10 件产品中有件产品中有 3 件是次品件是次品，从中任取从中任取 3 件件.事件事件 A：“所取所取 3 件中最多件中最多 有有 2 件是次品件是次品”，事件事件 B：“所取所取 3 件中至少有件中至少有 2 件是次品件是次品”，则事件则事件 A 与与 B 是互斥事件；是互斥事件； 两个事件对立必然互斥两个事件对立必然互斥，反之反之不成立不成立. 则正确说法的序号为则正确说法的序号为 . 解析：解析： 不正确不正确，正确正确. 答案：答案： 6.点点 A 为周长等于为周长等于 3 的圆周上的一个定点的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点若在该圆周
28、上随机取一点 B，则则 劣弧劣弧AB 的长度小于的长度小于 1 的概率为的概率为 . 解析：解析： 设事件设事件 M 为为“劣弧劣弧AB 的长度小于的长度小于 1”， 则满足事件则满足事件 M 的点的点 B 在定在定 点点 A 的两侧与定点的两侧与定点 A 构成的弧长小于构成的弧长小于 1 的弧上的弧上， 由几何概型的概率公式得：由几何概型的概率公式得： P(M) 2 3. 答案：答案： 2 3 7.已知集合已知集合 A9，7，5，3，1，0，2，4，6，8，在平面直角在平面直角 坐标系中坐标系中，点点(x，y)的坐标的坐标 xA，yA，且且 xy，计算：计算： (1)点点(x，y)不在不在
29、x 轴上的概率；轴上的概率； (2)点点(x，y)正好在第二象限的概率正好在第二象限的概率. 解析：解析： 点点(x，y)中中，xA，yA，且且 xy，基本事件有：基本事件有：(9，7)，( 9，5)，(9，3)，(9，1)，(9，0)，(9，2)，(9，4)，(9，6)，( 9，8)，( (7，9)，(7，5)，(7，3)，(7，1)，(7，0)，(7，2)， (7，4)，(7，6)，(7，8)，(8，9)，(8，7)，(8，6)共有共有 90 个个，且每一种结果出现的可能性相等且每一种结果出现的可能性相等. (1)设事件设事件 A 为为“点点(x，y)不在不在 x 轴上轴上”，不符合要求的
30、有不符合要求的有(9，0)，(7， 0)，(5，0)，(3，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)共共 9 种种，所所 以符合要求的有以符合要求的有 90981 个个，即事件即事件 A 包含的基本事件个数为包含的基本事件个数为 81.因此因此，事件事件 A 的概率是的概率是 P(A)81 90 0.9. (2)设事件设事件 B 为为“点点(x，y)正好在第二象限正好在第二象限”，则则 x0，则符合要求的则符合要求的 基本事件为：基本事件为：(9，2)，(9，4)，(9，6)，(9，8)，(7，2)，(7，4)，( 7，6)，(7，8)，(1，2)，(1，4)，(1，6
31、)，(1，8)共共 20 个个，即即 事件事件 B 包含的基本事件个数为包含的基本事件个数为 20.因此因此，事件事件 B 的概率是的概率是 P(B)20 90 2 9. 8.平面上一平面上一长为长为 12 厘米厘米，宽为宽为 10 厘米的矩形内有一个半径为厘米的矩形内有一个半径为 1 厘米的圆厘米的圆， 圆心在矩形的对角线的交点圆心在矩形的对角线的交点 O 上上，把一枚半径为把一枚半径为 1 厘米的硬币随机地抛在矩形厘米的硬币随机地抛在矩形 内内(硬币完全落在矩形内硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆相碰的概率求硬币不与圆相碰的概率. 解析：解析： 要使硬要使硬币完全落在矩形内部币完全落在矩形内部，则硬币的圆心应则硬币的圆心应 在矩形内且与矩形的四条边距离不小于在矩形内且与矩形的四条边距离不小于 1 厘米的虚线矩形区厘米的虚线矩形区 域内域内，所以可能构成的区域面积为所以可能构成的区域面积为 10880. 要使硬币与圆要使硬币与圆 O 不相碰不相碰，则硬币的圆心应在图中虚线圆的外部则硬币的圆心应在图中虚线圆的外部，所以所求所以所求 事件的可能情况所构成区域的面积应为事件的可能情况所构成区域的面积应为 8022804. 所以硬币不与圆相碰的概率为所以硬币不与圆相碰的概率为 P80 4 80 1 20. 谢谢观看！谢谢观看！
