1、 第第 四四 章章 圆与方程圆与方程 知能整合提升知能整合提升 1明确圆的两种方程，掌握待定系数法明确圆的两种方程，掌握待定系数法 (1)圆的标准方程：圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中，圆心是，其中，圆心是 C(a，b)，半径长，半径长 是是 r. 圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，其中，圆心是，其中，圆心是 D 2 ，E 2 ，半径长是，半径长是1 2 D2E24F. 注意：二元二次方程表示圆的条件是注意：二元二次方程表示圆的条件是 x2和和 y2的的系数相等，且没有系数相等，且没有 xy 项项 (2)圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量圆的
2、标准方程和一般方程中都含有三个参变量(a，b，r 或或 D，E，F)求求 圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的 值即可值即可 (3)解题时选用圆的标准方程或一般方程的一般原则是： 如果已知圆心或半解题时选用圆的标准方程或一般方程的一般原则是： 如果已知圆心或半 径长或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，径长或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点， 通常可用圆的一般方程通常可用圆的一般方程 求圆的方程时，注意运用圆的几何性质，简化运算求圆的方程时，
3、注意运用圆的几何性质，简化运算 2点与圆的相关位置关系，注意判断方法点与圆的相关位置关系，注意判断方法 (1)点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外可通过点点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外可通过点 到圆心的距离与半到圆心的距离与半径长的大小关系来判断径长的大小关系来判断 (2)直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切其判断方法有两种：直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切其判断方法有两种： 代数法代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几、几 何法何法(由圆心到直线的距离
4、由圆心到直线的距离 d 与半径长与半径长 r 的大小关系来判断的大小关系来判断) (3)圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含其判断方圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含其判断方 法有两种：代数法法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、 几何法几何法(由两圆的圆心距由两圆的圆心距 d 与半径长与半径长 r，R 的大小关系来判断的大小关系来判断) 3牢记圆的切线求法，细解弦长问题牢记圆的切线求法，细解弦长问题 (1)圆的切线的求法：圆的切线的求法：设切线斜率，得到切线方程，与圆联立设切线斜
5、率，得到切线方程，与圆联立化为一元二化为一元二 次方程，依据判别式为次方程，依据判别式为 0 求解；求解；设切线斜率，得到切线方程，利用圆心到切设切线斜率，得到切线方程，利用圆心到切 线的距离等于圆的半径长求解线的距离等于圆的半径长求解 解题时，注意切线斜率不存在的情况解题时，注意切线斜率不存在的情况 (2)当直线与圆相交时， 圆的半径长、 弦心距、 弦长的一半构成直角三角形当直线与圆相交时， 圆的半径长、 弦心距、 弦长的一半构成直角三角形 (3)求相交两圆的公共弦长时， 可通过两圆方程相减求出两圆公共弦所在的求相交两圆的公共弦长时， 可通过两圆方程相减求出两圆公共弦所在的 直线方程，进而求
6、出其中一圆心到直线的距离及该圆的半径长，利用勾股定理直线方程，进而求出其中一圆心到直线的距离及该圆的半径长，利用勾股定理 求出弦长的一半，从而求得弦长求出弦长的一半，从而求得弦长 过圆过圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 的的 交点的直线方程为交点的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. 4明晰空间直角坐标系的建立法则，直击距离公式明晰空间直角坐标系的建立法则，直击距离公式 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则， 空间上的任意一点都与有序实建立的空间直角坐标系要遵循右手法则， 空间上的任意一点都与有序实 数组数组(x，y，z)一一对
7、应一一对应 (2) 空 间 中空 间 中P1(x1， y1， z1) ， P2(x2， y2， z2) 之 间 的 距 离之 间 的 距 离 |P1P2| x1x2 2 y1y2 2 z1z2 2. (3)可利用可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直的方法来求空间直 角坐标系下的对称点角坐标系下的对称点 热点考点例析热点考点例析 求圆的方程求圆的方程 求圆的方程主要是根据圆的标准方求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，程和一般方程，利用待定系数法求解， 采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：采用待定系数法求圆
8、的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式；第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：由题意得第二步：由题意得 a，b，r(或或 D，E，F)的方程的方程(组组)； 第三步：解出第三步：解出 a，b，r(或或 D，E，F)； 第四步：代入圆的方程第四步：代入圆的方程 注：解题时应充分利用圆的几何性质解题途径，减少运算量，例如：圆的注：解题时应充分利用圆的几何性质解题途径，减少运算量，例如：圆的 切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连 心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等心
9、线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等 求圆心在直线求圆心在直线 y4x 上，且与直线上，且与直线 l：xy10 相切于点相切于点 P(3， 2)的圆的方程的圆的方程 规范解答规范解答 方法一：方法一：设所求圆的标准方程为设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 则有则有 b4a， 3a 2 2b 2r2， |ab1| 2 r. 解得解得 a1，b4，r2 2. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x1)2(y4)28. 方法二：方法二：过切点且与过切点且与 xy10 垂直的直线为垂直的直线为 y2x3，与，与 y4x 联立可求得圆心为联立可求得圆心为(1，4) 故半径
10、故半径 r 31 22 4 22 2， 于是所求圆的方程为于是所求圆的方程为(x1)2(y4)28. 1已知动圆已知动圆 C 经过点经过点 A(2，3)和和 B(2，5) (1)当圆当圆 C 面积最小时，求圆面积最小时，求圆 C 的方程；的方程； (2)若圆若圆 C 的圆心在直线的圆心在直线 3xy50 上，求圆上，求圆 C 的方程的方程 解析：解析： (1)要使圆要使圆 C 的面积最小，则的面积最小，则 AB 为圆为圆 C 的直径的直径 圆心圆心 C(0，4)，半径，半径 r1 2|AB| 5， 所以所求圆所以所求圆 C 的方程为的方程为 x2(y4)25. (2) 法一：法一：因为因为 k
11、AB1 2， ，AB 中点为中点为(0，4)， 所以所以 AB 中垂线方程为中垂线方程为 y42x，即，即 2xy40， 解方程组解方程组 2xy40， 3xy50 得得 x1， y2， 所以圆心所以圆心 C 为为(1，2) 根据两点间的距离公式，得半径根据两点间的距离公式，得半径 r 10， 因此，所求的圆因此，所求的圆 C 的方程为的方程为(x1)2(y2)210. 法二：法二：设所求圆设所求圆 C 的方程为的方程为(xa)2(yb)2r2， 根据已知条件得根据已知条件得 2a 2 3b 2r2， 2a 2 5b 2r2， 3ab50 a1， b2， r210， 所以所求圆所以所求圆 C
12、的方程为的方程为(x1)2(y2)210. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离dr，最小距离，最小距离d r.其中其中 d 为圆心到直线的距离为圆心到直线的距离 2当直线与圆相交时，设弦长为当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为，弦心距为 d，半径，半径为为 r，则有，则有 l 2 2 d2 r2. 3当直线与圆相交时，设弦长为当直线与圆相交时，设弦长为 AB，则，则 |AB| 1k2 AB |xA xB|； |AB| 1k2 AB |kAB| |yAyB|. 4当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：
13、当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种： (1)若点若点(x0，y0)在圆在圆 x2y2r2上，则切线方程为上，则切线方程为 x0xy0yr2. 若点若点(x0，y0)在圆在圆(xa)2(yb)2r2上，则上，则切线方程为切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)r2. (2)斜率为斜率为 k 且与圆且与圆 x2y2r2相切的切线方程为相切的切线方程为 ykx r 1k2. 斜率为斜率为 k 且与圆且与圆(xa)2(yb)2r2相切的切线方程的求法，可以设切线相切的切线方程的求法，可以设切线 为为 ykxm，然后变成一般式，然后变成一般式 kxym0，利用圆心到切线的距离等于半，利用圆心
14、到切线的距离等于半 径列出方程，求径列出方程，求 m. (3)若点若点(x0，y0)在圆在圆(xa)2(yb)2r2外，则设切线方程为外，则设切线方程为 yy0k(x x0)， 变成一般式， 变成一般式 kxyy0kx00.因为直线与圆相切， 所以有因为直线与圆相切， 所以有|ka by0kx0| k21 r.由此解出由此解出 k，若此方程有一个实根，则还有一条斜率不存在的切线，务必，若此方程有一个实根，则还有一条斜率不存在的切线，务必 要补上要补上 已知直线已知直线 l：2mxy8m30 和圆和圆 C：x2y26x12y200. (1)mR 时，证明时，证明 l 与与 C 总相交；总相交；
15、(2)m 取何值时，取何值时，l 被被 C 截得的弦长最短，求此弦长截得的弦长最短，求此弦长 规范解答规范解答 (1) 证明：证明：直线的方程可化为直线的方程可化为 y32m(x4)， 由点斜式可知，直线过点由点斜式可知，直线过点 P(4，3) 由于由于 42(3)26412(3)20150， 所以点所以点 P 在圆内，故直线在圆内，故直线 l 与圆与圆 C 总相总相交交 (2)如图，当圆心如图，当圆心 C(3，6)到直线到直线 l 的距离最大时，线段的距离最大时，线段 AB 的长度最短的长度最短 此时此时 PCl，所以直线，所以直线 l 的斜率为的斜率为1 3，所以 ，所以 m1 6. 在在
16、APC 中，中，|PC| 10，|AC|r5，AP2AC2PC2251015， AP 15，|AB|2 15， 即最短弦长为即最短弦长为 2 15. 2已知圆已知圆 M：(x1)2(y1)24，直线，直线 l 过点过点 P(2,3)且与圆且与圆 M 交于交于 A， B 两点，且两点，且|AB|2 3，求直线，求直线 l 的方程的方程 解析：解析： 当直线当直线 l 存在斜率时，设直线存在斜率时，设直线 l 的方程为的方程为 y3k(x2)， 即即 kxy32k0. 作示意图如图，作作示意图如图，作 MCAB 于于 C. 在在 RtMBC 中，中，|BC| 3，|MB|2， 故故|MC| |MB
17、|2|BC|21， 由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得|k 132k| k21 1， 解得解得 k3 4. 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 3x4y60. 当直线当直线 l 的斜率不存在时，其方程为的斜率不存在时，其方程为 x2， 且且|AB|2 3，所以适合题意，所以适合题意 综上所述，直线综上所述，直线 l 的方程为的方程为 3x4y60 或或 x2. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1平面上两圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含可平面上两圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含可 以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断以从两圆的圆心距与两圆
18、半径的数量关系来判断 设设O1的半径为的半径为 r1，O2的半径为的半径为 r2，两圆的圆心距为，两圆的圆心距为 d. 当当|r1r2|dr1r2时，两圆相交，如图时，两圆相交，如图(1)所示；所示； 当当 r1r2d 时，两圆外切，如图时，两圆外切，如图(2)所示；所示； 当当 r1r2d 时，两圆相离，如图时，两圆相离，如图(3)所示；所示； 当当|r1r2|d 时，两圆内切，如图时，两圆内切，如图(4)所示；所示； 当当|r1r2|d 时，两圆内含，如图时，两圆内含，如图(5)所示所示 2公共弦问题公共弦问题 (1)公共弦长的求法：公共弦长的求法： 代数法， 即将两圆的方程联立， 解出两
19、交点的坐标，代数法， 即将两圆的方程联立， 解出两交点的坐标， 利用两点间的距离公式求其长；利用两点间的距离公式求其长；几何法，即求出公共弦所在直线的方程，利几何法，即求出公共弦所在直线的方程，利 用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，用勾股定理求出弦长用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，用勾股定理求出弦长 (2)公共弦所在直线方程的求法：用两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程的求法：用两圆方程相减，所得直线方程即为两圆 公共弦所在直线方程公共弦所在直线方程 (3)重要结论：两圆圆心连线是两圆公共弦的垂直平分线重要结论：两圆圆心连线是两圆公共弦的垂直平分线 已知圆
20、已知圆 C1：x2y24x4y50 与圆与圆 C2：x2y28x4y70. (1)证明圆证明圆 C1与圆与圆 C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点求过点(2,3)且与两圆相切于且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程中切点的圆的方程 规范解答规范解答 (1)证明：把圆证明：把圆 C1与圆与圆 C2都化为标准方程形式，得都化为标准方程形式，得(x2)2 (y2)213，(x4)2(y2)213. 圆心与半径长分别为圆心与半径长分别为 C1(2,2)，r1 13； C2(4，2)，r2 13. 因为因为|C1C2| 24 2 22 22 13r1r
21、2， 所以圆所以圆 C1与圆与圆 C2相切相切 由由 x2y24x4y50， x2y28x4y70， 得得 12x8y120， 即即 3x2y30，这就是过切点的两圆公切线的方程，这就是过切点的两圆公切线的方程 (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2y24x4y5(3x2y3) 0. 点点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得在此圆上，将点坐标代入方程解得 4 3. 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为 x2y24x4y54 3(3x 2y3)0， 即， 即 x2y28x 20 3 y90. 3求圆心在直线求圆心在直线 xy0 上，且过两圆上，且过两圆 x2
22、y22x10y240，x2y2 2x2y80 交点的圆的方程交点的圆的方程 解析：解析： 设所求圆的方程为设所求圆的方程为 x2y22x10y24(x2y22x2y8) 0(1)， 即即 x2y22 1 1 x2 5 1 y8 3 1 0， 可知圆心坐标为可知圆心坐标为 1 1， ，5 1 . 因为圆心在直线因为圆心在直线 xy0 上，上， 所以所以1 1 5 1 0，解得，解得 2. 将将 2 代入所设方程并化简，代入所设方程并化简， 可得所求圆的方程为可得所求圆的方程为 x2y26x6y80. 一、选择题一、选择题 1圆心坐标为圆心坐标为(1，1)，半径长为，半径长为 2 的圆的标准方程是
23、的圆的标准方程是( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 解析：解析： 由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 答案：答案： C 2点点 A(3，2,4)关于点关于点(0,1，3)的对称点的坐标为的对称点的坐标为( ) A(3,4，10) B(3,2，4) C. 3 2， ，1 2， ，1 2 D(6，5,11) 解析：解析： 设对称点设对称点 P(x，y，z)， 则则 3x 2 0， 2y 2 1， 4z 2 3， x3， y4， z10， 故故 P(3,4，10)
24、 答案：答案： A 3若直线若直线 l：axby1 与圆与圆 C：x2y21 有两个不同交点，则点有两个不同交点，则点 P(a， b)与圆与圆 C 的位置关系是的位置关系是( ) A点在圆上点在圆上 B点在圆内点在圆内 C点在圆外点在圆外 D不能确定不能确定 解析：解析： 由题意，圆心由题意，圆心(0,0)到直线到直线 l 的距离的距离 d 1 a2b2 1，即点，即点 P(a，b)在圆在圆 C 外外 答案：答案： C 4半径为半径为 6 的圆与的圆与 x 轴相切，且与圆轴相切，且与圆 x2(y3)21 内切，则此圆的方程内切，则此圆的方程 为为( ) A(x4)2(y6)26 B(x 4)2
25、(y6)26 C(x4)2(y6)236 D(x 4)2(y6)236 解析：解析： 由题意知，半径为由题意知，半径为 6 的圆与的圆与 x 轴相切，且圆心在轴相切，且圆心在 x 轴上方轴上方 设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 则则 b6， 再由再由 a2325，可以解得，可以解得 a 4， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x 4)2(y6)236. 故选故选 D. 答案：答案： D 二、填空题二、填空题 5圆圆 C：x2y22x4y40 的圆心到直线的圆心到直线 l：3x4y40 的距离的距离 d _. 解析：解析： 圆圆 C：x2y22x4y40 的圆心为的圆心为 C
26、(1，2) 故圆心故圆心 C 到直线到直线 l 的距离为的距离为|3 1424| 3242 15 5 3. 答案：答案： 3 6船前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面船前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 9 米，拱圈内水面宽米，拱圈内水面宽 22 米一只船顶部宽米一只船顶部宽 4 米，行驶时露在水面以上部分高米，行驶时露在水面以上部分高 6.5 米，如图但是近日水位上涨了米，如图但是近日水位上涨了 2.7 米，船已经不能通过桥洞了，船员必须加米，船已经不能通过桥洞了，船员必须加 重船载，降低船身重船载，降低船身在水面以上的高度，船才能安全驶过桥洞船身必
27、须降低在水面以上的高度，船才能安全驶过桥洞船身必须降低 _才能通过桥洞才能通过桥洞(精确到精确到 0.01 米米)? 解析：解析： 以正常水位时，水面与桥横截面的交线所在直线为以正常水位时，水面与桥横截面的交线所在直线为 x 轴，以过最轴，以过最 高点且与水面垂直的直线为高点且与水面垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示轴，建立平面直角坐标系，如图所示 则则 A，B，D 三点的坐标分别为三点的坐标分别为 A(11，0)，B(11,0)，D(0,9) 又圆心又圆心 C 在在 y 轴上，故可设轴上，故可设 C(0，b) 因为因为|CD|CB|，所以，所以 9b 112b2. 解得解得
28、b20 9 ，所以，所以|CD|920 9 101 9 . 所以圆拱所在圆的方程为所以圆拱所在圆的方程为 x2 y20 9 2 101 9 2. 当当 x2 时，求得时，求得 y8.820，即桥拱宽为，即桥拱宽为 4 米的地方距正常水位时的水面米的地方距正常水位时的水面 约约 8.820 米，距涨水后的水面约米，距涨水后的水面约 6.120 米米 所以船身必须降低所以船身必须降低 6.56.1200.38 米才能通过桥洞米才能通过桥洞 答案：答案： 0.38米米 三、解答题三、解答题 7求过直线求过直线 xy40 与圆与圆 x2y24x2y40 的交点且与的交点且与 yx 相相 切的圆的方程切
29、的圆的方程 解析：解析： 设所求的圆的方程为设所求的圆的方程为 x2y24x2y4(xy4)0， 联立方程组得联立方程组得 yx x2y24x2y4 xy4 0 得得 x2(1)x2(1)0， 因为圆与因为圆与 yx 相切，所以相切，所以 0， 即即(1)28(1)0，则，则 3， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2y27xy80. 8(2015 杭州高一检测杭州高一检测)求圆心在直线求圆心在直线 xy10 上，且经过圆上，且经过圆 x2y2 6x40 与圆与圆 x2y26y280 的交点的圆的方程的交点的圆的方程 解析：解析： 设圆设圆 x2y26x40 与圆与圆 x2y26y280 的交点为的交点为 A，B，解方程组：，解方程组： x2y26x40， x2y26y280， x1， y3， 或或 x6， y2， 不妨设不妨设 A(1,3)，B(6，2)， 因此直线因此直线 AB 的垂直平分线方程为：的垂直平分线方程为：xy30.xy10 与与 xy3 0 联立，解得：联立，解得：x2，y1，即所求圆心，即所求圆心 C 为为(2，1)，半径，半径 r|AC| 17. 故所求圆故所求圆 C 的方程为：的方程为：(x2)2(y1)217. 谢谢观看！谢谢观看！
