1、2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 学案学案 新知自解新知自解 1理解二面角，面面垂直的概念理解二面角，面面垂直的概念 2掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理 3能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题 二面角二面角 1二面角二面角 二面角二面角 定义定义 从一条直线出发的从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角所组成的图形叫作二面角 _叫作二面角的棱叫作二面角的棱_叫作二面角的面叫作二面角的面 如图， 记作：如图， 记作： _或或_或或_ 范围范围 0 180 两个半
2、平面两个半平面 这条直线这条直线 这两个半平面这两个半平面 二面角二面角l 二面角二面角PABQ 二面角二面角PlQ 2.二面角的平面角二面角的平面角 文字语言文字语言 在二面角在二面角 l 的棱的棱 l 上任取一点上任取一点 O，以点，以点 O 为垂足，在半平面为垂足，在半平面 和和 内分别作内分别作_于棱于棱 l 的的_OA 和和 OB， 则射线， 则射线 OA 和和 OB 构成的构成的_叫作二面角的平面角叫作二面角的平面角 垂直垂直 射线射线 AOB 图形语言图形语言 符号语言符号语言 l，Ol，OA，OB，_，_AOB 为二面角为二面角 l 的平面角的平面角 OAl OBl 平面与平面
3、垂直平面与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直 定定 义义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_，就说这两个平面，就说这两个平面 互相垂直，记作：互相垂直，记作：_ 画画 法法 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图： 直二面角直二面角 判判 定定 定定 理理 文字表述： 一个平面过另一个平面的文字表述： 一个平面过另一个平面的_， 则这两个平面垂直， 则这两个平面垂直 符号表示：符号表示： a _ a 垂线垂线 化解疑难化解疑难 作二面角的平面角的方法作二面角的平面角的方法 方法一方法
4、一(定义法定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂 直于棱的射线直于棱的射线 如图如图，AOB 为二面为二面角角 a 的平面角的平面角 方法二方法二(垂面法垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半 平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角. 如图如图，AOB 为二面角为二面角 l 的平面角的平面角 方法三方法三(垂线法垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足：过二面角的一个面内一
5、点作另一个平面的垂线，过垂足 作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图如图，AFE 为二面角为二面角 ABCD 的平面角的平面角. 1长方体长方体 ABCDA1B1C1D1的六个面中，与面的六个面中，与面 ABCD 垂直的面有垂直的面有( ) A1 个个 B3 个个 C4 个个 D5 个个 解析：解析： 与面与面 ABCD 垂直的面有面垂直的面有面 ABB1A1，面，面 BCC1B1，面，面 CDD1C1，面，面 DAA1D1，共，共 4 个个 答案：答案： C 2下列说法：下列说法： 两个相交平面组成的图形叫作二面角；两个
6、相交平面组成的图形叫作二面角； 两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直，则这两条异面直线所两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直，则这两条异面直线所 成的角与二面角的平面角相等或互补；成的角与二面角的平面角相等或互补； 二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个半平面内作射线所成的角；二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个半平面内作射线所成的角； 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是其中正确的是( ) A B C D 解析：解析： 由二面角的定义可知，从一条直线出发的两个半由二面角的定义可知，从一条直
7、线出发的两个半平面所组成的图平面所组成的图 形叫作二面角，所以形叫作二面角，所以不正确；由不正确；由 a，b 垂直于两个面，则垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面都垂直于二面 角的棱，故角的棱，故正确；对于正确；对于，所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故，所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不正不正 确；对于确；对于，由定义可知正确故选，由定义可知正确故选 B. 答案：答案： B 3.如图，如图，AB 是圆的直径，是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点是圆上一点(不同于不同于 A，B)且且 PAAC，则二面角，则二面角 PBCA 的大小为的大小为_ 解析：解
8、析： 由条件得：由条件得：PABC，ACBC， 又又 PAACA， BC平面平面 PAC， PCA 为二面角为二面角 PBCA 的平面角的平面角 在在 RtPAC 中，中， 由由 PAAC 得得PCA45 . 答案：答案： 45 教案教案 课堂探究课堂探究 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定多维探究型多维探究型 如图，已知如图，已知BSC90 ，BSACSA60 ，又，又 SASBSC， 求证：平面求证：平面 ABC平面平面 SBC. 解析：解析： 证法一证法一：利用定义证明：利用定义证明 BSACSA60 ，SASBSC， ASB 和和ASC 是等边三角形，则有是等边三角形，则有 SA
9、SBSCABAC，令其值，令其值 为为 a，则，则ABC 和和SBC 为共底边为共底边 BC 的等腰三角形的等腰三角形 如图，取如图，取 BC 的中点的中点 D，连接，连接 AD，SD， 则则 ADBC，SDBC， ADS 为二面角为二面角 ABCS 的平面角的平面角 在在 RtBSC 中，中， SBSCa， SD 2 2 a，BDBC 2 2 2 a. 在在 RtABD 中，中，AD 2 2 a. 在在ADS 中，中，SD2AD2SA2， ADS90 ， 即二面角即二面角 ABCS 为直二面角，为直二面角， 故平面故平面 ABC平面平面 SBC. 证法二：证法二：利用判定定理利用判定定理 S
10、AABAC， 点点 A 在平面在平面 SBC 上的射影为上的射影为SBC 的外心的外心 BSC 为直角三角形，为直角三角形， A 在在BSC 上的射影上的射影 D 为为斜边斜边 BC 的中点的中点 AD平面平面 SBC. 又又平面平面 ABC 过过 AD， 平面平面 ABC平面平面 SBC. 归纳升华归纳升华 1.对平面与平面垂直的判定定理的认识：对平面与平面垂直的判定定理的认识： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平 面与平面垂直，通常我们将其记为面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直线
11、面垂直，则面面垂直”因此，处理面因此，处理面 面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题 2证明平面与平面垂直的方法：证明平面与平面垂直的方法： 根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角 的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂垂 直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中直的常用方法，即要证面面垂直，只要转
12、证线面垂直，其关键与难点是在其中 一个平面内寻找一直线与另一平面垂直一个平面内寻找一直线与另一平面垂直. 1在四面体在四面体 ABCD 中，中，CBCD，ADBD，且，且 E，F 分别是分别是 AB，BD 的的 中点中点 求证：求证：(1)直线直线 EF平面平面 ACD. (2)平面平面 EFC平面平面 BCD. 证明：证明： (1)因为因为 E，F 分别是分别是 AB，BD 的中点，的中点， 所以所以 EF 是是ABD 的中位线，所以的中位线，所以 EFAD. 因为因为 EF 平面平面 ACD，AD平面平面 ACD， 所以直线所以直线 EF平面平面 ACD. (2)因为因为 ADBD，EFA
13、D，所以，所以 EFBD.因为因为 CBCD，F 是是 BD 的中的中 点，所以点，所以 CFBD. 又又 EFCFF，所以，所以 BD平面平面 EFC. 因为因为 BD平面平面 BCD， 所以平面所以平面 EFC平面平面 BCD. 二面角二面角分层深化型分层深化型 已知已知 RtABC，斜边，斜边 BC，点，点 A ，AO，O 为垂足，为垂足，ABO 30 ，ACO45 ，求二面角，求二面角 ABCO 的大小的大小 解析：解析： 如图所示，在平面如图所示，在平面 内，过内，过 O 作作 ODBC，垂足为，垂足为 D，连接，连接 AD. 设设 OCa，AO，BC， AOBC.又又 AOODO，
14、BC平面平面 AOD. 而而 AD平面平面 AOD， ADBC.ADO 是二面角是二面角 ABCO 的平面角的平面角 由由 AO，OB，OC，知，知 AOOB，AOOC. 又又ABO30 ，ACO45 ， AOa，AC 2a，AB2a. 在在 RtABC 中，中，BAC90 ， BC AC2AB2 6a， ADAB AC BC 2a2a 6a 2 3 3 a. 在在 RtAOD 中，中，sinADOAO AD a 2 3 3 a 3 2 . ADO60 ，即二面角，即二面角 ABCO 的大小是的大小是 60 . 归纳升华归纳升华 求二面角的步骤求二面角的步骤 简称为简称为“一作二证三求一作二证
15、三求”. 同类练同类练 1矩形矩形 ABCD 的两边的两边 AB3，AD4，PA平面平面 ABCD，且，且 PA4 3 5 ， 则二面角则二面角 ABDP 的度数为的度数为( ) A30 B45 C60 D90 解析：解析： 过过 A 作作 AEBD，连接，连接 PE，则，则AEP 为所求角由为所求角由 AB3，AD 4 知知 BD5. 又又 AB ADBD AE，AE12 5 ， tanAEP 4 3 5 12 5 3 3 .AEP30 . 答案：答案： A 变式练变式练 2.如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥 VABCD 中，底面中，底面 ABCD 是边长为是边长为 2 的正方形，其的正方形
16、，其 他四个侧面都是侧棱长为他四个侧面都是侧棱长为 5的等腰三角形，求二面角的等腰三角形，求二面角 VABC 的大小的大小 解析：解析： 如图，作如图，作 VO平面平面 ABCD，垂足为，垂足为 O，则，则 VOAB，取，取 AB 中点中点 H，连接，连接 VH，OH，则，则 VHAB. VHVOV，AB平面平面 VHO，ABOH， VHO 为二面角为二面角 VABC 的平面角的平面角 易求易求 VH2VA2AH2( 5)2 1 2 4， VH2.而而 OH1 2AB 1，VHO60 . 故二面角故二面角 VABC 的大小是的大小是 60 . 拓展练拓展练 3如图，在矩形如图，在矩形 ABCD
17、 中，中，AB 2，BC2，E 为为 BC 的中点，把的中点，把ABE 和和CDE 分别沿分别沿 AE，DE 折起，使点折起，使点 B 与点与点 C 重合于点重合于点 P. (1)求证：平面求证：平面 PDE平面平面 PAD； (2)求二面角求二面角 PADE 的大小的大小 解析：解析： (1) 证明：由证明：由 ABBE，得，得 APPE，同理，同理，DPPE， 又又APDPP，PE平面平面 PAD， 又又 PE平面平面 PDE， 平面平面 PDE平面平面 PAD. (2) 如题图，取如题图，取 AD 的中点的中点 F，连接，连接 PF，EF. 则则 PFAD，EFAD， PFE 就是二面角就是二面角 PADE 的平面角，的平面角， 又又 PE平面平面 PAD，PEPF. EFAB 2，PF 2 211， cosPFEPF EF 2 2 . 二面角二面角 PADE 的大小为的大小为 45 . 谢谢观看！谢谢观看！
