1、 第第 三三 章章 直线与方程直线与方程 知能整合提升知能整合提升 1牢记直线的斜率公式，明晰倾斜角与斜率关系牢记直线的斜率公式，明晰倾斜角与斜率关系 (1)倾倾斜角的定义斜角的定义 直线的倾斜角即直线的倾斜角即 x 轴正向与直线向上方向之间所成的角倾斜角的范围为轴正向与直线向上方向之间所成的角倾斜角的范围为 0 180 ，其中与，其中与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为轴平行或重合的直线的倾斜角为 0 . (2)斜率公式斜率公式 经过两点经过两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率的直线的斜率 kAB y2y1 x2x1.当 当 x1x2 时，直线的斜率不存在；当时，
2、直线的斜率不存在；当 y1y2时，直线的斜率为时，直线的斜率为 0. (3)倾斜角与斜率的关系倾斜角与斜率的关系 当直线的倾斜角当直线的倾斜角 不是不是 90 时，直线的斜率时，直线的斜率 ktan .当当 0 时，时，k0； 当当 (0 ，90 )时，时，k0，且，且 k 随随 的增大而增大；当的增大而增大；当 (90 ，180 )时，时，k 0，且，且 k 随随 的增大而增大的增大而增大 2把握直线的五种方程，辨析适用条件把握直线的五种方程，辨析适用条件 名称名称 方程方程 常数的几何意义常数的几何意义 适用条件适用条件 点斜式点斜式 yy0k(xx0) (x0，y0)是直线上的一个定是直
3、线上的一个定 点，点，k 是斜率是斜率 直线不垂直于直线不垂直于 x 轴轴 斜截式斜截式 ykxb k 是斜率，是斜率，b 是直线在是直线在 y 轴上的截距轴上的截距 直线不垂直于直线不垂直于 x 轴轴 两点式两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上是直线上 的两个定点的两个定点 直线不垂直于直线不垂直于 x轴和轴和 y 轴轴 截距式截距式 x a y b 1 a，b 分别是直线在分别是直线在 x 轴和轴和 y 轴上的非零截距轴上的非零截距 直线不垂直于直线不垂直于 x轴和轴和 y 轴，且不过原点轴，且不过原点 一般式一般式 AxByC0(A， B 不
4、同时为不同时为 0) A，B，C 为系数为系数 任何情况任何情况 特殊直线特殊直线 xa (y 轴：轴：x0) 垂直于垂直于 x 轴且过点轴且过点(a,0) 斜率不存在斜率不存在 yb (x 轴：轴：y0) 垂直于垂直于 y 轴且过点轴且过点(0，b) 斜率斜率 k0 3.理解直线的平行与垂直，应用斜率关系设方程理解直线的平行与垂直，应用斜率关系设方程 (1)平行、垂直的等价条件平行、垂直的等价条件 直线方程直线方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2y C20 平行的平行的等等 价条件价条件 l1l2k1k2，且且 b1b2 l1l2A1B2A
5、2B10，且且 B1C2 B2C10 垂直的垂直的等等 价条件价条件 l1l2k1k21 l1l2A1A2B1B20 (2)依据平行、垂直关系设方程依据平行、垂直关系设方程 平行于直线平行于直线 AxByC0 的直线方程可设为的直线方程可设为 AxBym0(m 是参数，是参数， 且且 mC)； 垂直于直线垂直于直线 AxByC0 的直线方程可设为的直线方程可设为 BxAym0(m 是参数是参数) 4解方程组定直线交解方程组定直线交点，巧解直线过定点问题点，巧解直线过定点问题 (1)直线直线 A1xB1yC10 与与 A2xB2yC20 的交点坐标即为方程组的交点坐标即为方程组 A1xB1yC1
6、0， A2xB2yC20 的解的解 方程组有一组解，则两直线相交；方程组无解，则两直线平行；方程组有方程组有一组解，则两直线相交；方程组无解，则两直线平行；方程组有 无数组解，则两直线重合无数组解，则两直线重合 (2)过直线过直线 A1xB1yC10 与与 A2xB2yC20的交点的直线方程可设为的交点的直线方程可设为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0( 为参数为参数)注意此方程中不包括直线注意此方程中不包括直线 A2x B2yC20，在解题时要验证该直线是否符合题意，在解题时要验证该直线是否符合题意 (3)直线过定点问题，一般将方程整理为直线过定点问题，一般将方程整理为 A1xB1yC
7、1(A2xB2yC2) 0 的形式，将定点转化为直线的形式，将定点转化为直线 A1xB1yC10 与与 A2xB2yC20 的交点的交点 来解决来解决 5牢记四个重要公式，妙用解析法解题牢记四个重要公式，妙用解析法解题 (1)三个距离公式和中点坐标公式三个距离公式和中点坐标公式 类型类型 已知条件已知条件 公式公式 中点坐标中点坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2) x0x 1 x2 2 ，y0y 1 y2 2 两点间两点间的距离的距离 A(x1，y1)， B(x2，y2) d x2x1 2 y2y1 2 点到直线点到直线的距离的距离 P(x0，y0)， l：AxByC0 d|Ax 0 By
8、0C| A2B2 两条平行两条平行直线间的直线间的 距离距离 l1：AxByC10， l2：AxByC20 (A，B 不同时为不同时为 0) d |C2C1| A2B2 (2)解析法思想解析法思想 根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示相关量，利用坐根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示相关量，利用坐 标间的代数计算解决几何问题一般地，建系应利用图形的对称性标间的代数计算解决几何问题一般地，建系应利用图形的对称性 热点考点例析热点考点例析 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们
9、从“形形”与与 “数数”两个方面刻画了直线的倾斜程度 倾斜角两个方面刻画了直线的倾斜程度 倾斜角 与斜率与斜率 k 的对应关系和单调的对应关系和单调 性是做题的易错点，应引起高度重视性是做题的易错点，应引起高度重视 直线直线 l 过点过点 A(4,1)，B(3，a2)(aR)，求直线，求直线 l 的倾斜角的取值范围的倾斜角的取值范围 规范解答规范解答 直线直线 l 的斜率为的斜率为 ka 2 1 34 1a21， 当当 0k1 时，倾斜角时，倾斜角 0 45 ， 当当 k0 时，倾斜角时，倾斜角 90 180 ， 综上，直线综上，直线 l 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是0 ，45 (
10、90 ，180 ) 1已知已知 A(3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点，过点 P 的直线的直线 l 与线段与线段 AB 有公共点有公共点 (1)求直线求直线 l 的斜率的斜率 k 的取值范围；的取值范围； (2)求直线求直线 l 的倾斜角的倾斜角 的取值范围的取值范围 解析：解析： 如图所示，由题意可知如图所示，由题意可知 kPA 40 31 1，kPB2 0 31 1. (1)要使直线要使直线 l 与线段与线段 AB 有公共点， 则直线有公共点， 则直线 l 的斜率的斜率 k 的取值范围是的取值范围是k|k 1，或，或 k1 (2)由题意可知，直线由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直
11、线的倾斜角介于直线 PB 与与 PA 的倾斜角之间，又的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是的倾斜角是 45 ，PA 的倾斜角是的倾斜角是 135 ，所以，所以 的取值范围是的取值范围是45 ，135 直线方程及其应用直线方程及其应用 直线方程的几种形式及确定直线方程的几种形式及确定 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能 表示所有的直线直线方程的一般式则可以表示所有直线在解题的时候，如表示所有的直线直线方程的一般式则可以表示所有直线在解题的时候，如 果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式果没有特别说明，最
12、后的结果都要化成一般式 确定直线的方程有两种方法：确定直线的方程有两种方法：(1)待定系数法，在设点的时候，要注意对斜待定系数法，在设点的时候，要注意对斜 率不存在的直线的讨论；率不存在的直线的讨论； (2)用轨迹的定义， 从直线的几何性质出发， 建立方程用轨迹的定义， 从直线的几何性质出发， 建立方程 已知在第一象限的已知在第一象限的ABC 中，中， A(1,1)， B(5,1)， A60 ， B45 ， 求：求： (1)AB 边的方程；边的方程； (2)AC 和和 BC 所在直线的方程所在直线的方程 规范解答规范解答 (1)如图所示，如图所示，AB 边的方程为边的方程为 y1(1x5) (
13、2)由由 ABx 轴及轴及ABC 在第一象限可知在第一象限可知 kACtan 60 3，kBCtan(180 45 )1. 由点斜式可得由点斜式可得 AC，BC 边所在直线的方程分别为边所在直线的方程分别为 y1 3(x1)，y1(x5) 即即 3xy1 30，xy60. 2直线直线 l 过点过点 P(2,2)，且斜，且斜率为直线率为直线 x3y60 的斜率的一半，求直的斜率的一半，求直 线线 l 的方程的方程 解析：解析： 由由 x3y60 得得 y1 3x 2.故直线故直线 x3y60 的斜率为的斜率为1 3，所 ，所 以直线以直线 l 的斜率为的斜率为1 6，故直线 ，故直线 l 的方程
14、为的方程为 y21 6(x 2) 3求倾斜角为直线求倾斜角为直线 y 3x1 的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的倾斜角的一半，且分别满足下列条件 的直线方程的直线方程 (1)经过点经过点(4,1)； (2)在在 y 轴上的截距为轴上的截距为10. 解析：解析： 直线直线 y 3x1 的斜率为的斜率为 3，可知此直线的倾斜角为，可知此直线的倾斜角为 120 ， 由题意知所求直线的倾斜角为由题意知所求直线的倾斜角为 60 ，所以所求直线的斜率，所以所求直线的斜率 k 3. (1)因为直线经过点因为直线经过点(4,1)，所以直线的点斜式方程为，所以直线的点斜式方程为 y1 3(x4) (2)因为直
15、线在因为直线在 y 轴上的截距为轴上的截距为10，所以直线的斜截式方程为，所以直线的斜截式方程为 y 3x 10. 平行与垂直的性质及判定平行与垂直的性质及判定 两直线平行或垂直的性质及判定两直线平行或垂直的性质及判定 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的 题型求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一题型求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行般式，知道平行 或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法： (直线直线 l1：A1xB1yC10，
16、l2：A2xB2yC20) (1)l1l2时，可令时，可令 A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排，解得参数的值后，再代入方程验证，排 除重合的情况；除重合的情况； (2)l1l2时，可利用时，可利用 A1A2B1B20 直接求参数的值直接求参数的值 特别提醒特别提醒 用斜率之间的关系求参数值时，一般要对参数进行讨论用斜率之间的关系求参数值时，一般要对参数进行讨论 已知两条直线已知两条直线 l1：axby40；l2：(a1)xyb0，求分别满，求分别满 足下列条件的足下列条件的 a，b 的值的值 (1)直线直线 l1过点过点(3，1)，并且直线，并且直线 l1与与直线直线 l2
17、垂直；垂直； (2)直线直线 l1与直线与直线 l2平行，并且坐标原点到平行，并且坐标原点到 l1，l2的距离相等的距离相等 规范解答规范解答 (1)l1l2， a(a1)(b) 10， 即即 a2ab0. 又点又点(3，1)在在 l1上，上， 3ab40. 由由解得解得 a2，b2. (2)l1l2且且 l2的斜率为的斜率为 1a， l1的斜率也存在，的斜率也存在，a b 1a，即，即 b a 1a. 故故 l1和和 l2的方程可分别表示为的方程可分别表示为 l1：(a1)xy4 a 1 a 0，l2：(a1)xy a 1a 0. 原点到原点到 l1与与 l2的距离相等，的距离相等， 4 a
18、1 a a 1a ，a2 或或 a2 3. 因此因此 a2， b2 或或 a2 3， ， b2. 4已知直线已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求，求 m 的值，使的值，使 得：得：(1)l1与与 l2相交；相交；(2)l1l2；(3)l1l2. 解析：解析： (1)当当 m3 时，时，l1与与 l2重合；重合； 当当 m1 时，时，l1l2； 当当 m1 且且 m3 时，时，l1与与 l2相交相交 (2)l1l2， 1(m2)m30， 解得解得 m1 2. (3)l1l2， 1 m2 m 3 6 2m， ， m1. 距离问题距离问题 解读距离问题解读距离问题 距离问题包含
19、两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离，牢距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离，牢 记各类距离的公式并能直接应用解决距离问题时，往往将代数运算与几何图记各类距离的公式并能直接应用解决距离问题时，往往将代数运算与几何图 形的直观分析相结合这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填形的直观分析相结合这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填 空题出现，主要考查距离公式以及思维能力空题出现，主要考查距离公式以及思维能力 特别提醒特别提醒 应用距离公式时，应注意距离公式的适用条件，如两条平行应用距离公式时，应注意距离公式的适用条件，如两条平行 直线间的距离
20、公式应用时应将两条直线方程的直线间的距离公式应用时应将两条直线方程的 x，y 的系数化成对应相同的系数化成对应相同 已知正方形中心为点已知正方形中心为点 M(1,0)， 一条边所在的直线方程是， 一条边所在的直线方程是 x3y5 0，求其他三边所在直线的方程，求其他三边所在直线的方程 规 范 解 答规 范 解 答 正 方 形 中 心 到 直 线正 方 形 中 心 到 直 线 x 3y 5 0 的 距 离的 距 离 d |11305| 1232 6 10 . 设与直线设与直线 x3y50 平行的直线方程为平行的直线方程为 x3yC10， 由正方形的性质可得由正方形的性质可得| 1C1| 1232
21、 6 10，解得 ，解得 C15(舍舍)或或 C17. 所以与直线所以与直线 x3y50 相对的边所在的直线方程为相对的边所在的直线方程为 x3y70. 设与直线设与直线 x3y50 垂直的边所在的直线方程为垂直的边所在的直线方程为 3xyC20， 由题意由题意| 1301C2| 3212 6 10 . 解得解得 C29 或或 C23. 所以另两边所在直线的方程为所以另两边所在直线的方程为 3xy90 和和 3xy30. 5求过直线求过直线 4x2y10 与直线与直线 x2y50 的交点，且与的交点，且与 P1(0，4)， P2(2,0)两点距离相等的直线的方程两点距离相等的直线的方程 解析：
22、解析： 方法一：方法一：由由 4x2y10， x2y50， 解得两直线交点为解得两直线交点为 P 2，7 2 . 设所求直线为设所求直线为 l：y7 2 k(x2)，即，即 2kx2y4k70. 因为因为 P1，P2到到 l 的距离相等，的距离相等， 所以所以| 244k7| 2k 2 2 2 |2k 24k7| 2k 2 2 2 ， 解得解得 k3 2或 或 k2. 故所求直线方程为故所求直线方程为 3x2y10 或或 4x2y150. 方法二：方法二：由平面几何知识知所求直线过由平面几何知识知所求直线过 P1P2的中点或与的中点或与 P1P2平行平行 设所求直线为设所求直线为 l：(4x2
23、y1)(x2y5)0， 即即(4)x2(1)y(51)0. (1)当当 l 过过 P1P2的中点时，的中点时， 因为因为 P1P2的中点为的中点为(1,2)， 所以所以(41221)(1225)0， 解得解得 1 2，于是有 ，于是有 3x2y10. (2)当当 lP1P2时，因为时，因为 kkP1P20 4 20 2， 所以所以 4 2 1 2，解得，解得 8 5， ， 于是有于是有 4x2y150. 综上可知，所求直线综上可知，所求直线 l 的方程为的方程为 3x2y10 或或 4x2y150. 一、选择题一、选择题 1若直线过点若直线过点(1,2)，(4,2 3)，则此直线的倾斜角是，则
24、此直线的倾斜角是( ) A30 B45 C60 D90 解析：解析： 过点过点(1,2)， (4,2 3)的直线的斜率的直线的斜率 k 2 3 2 41 3 3 ， 由， 由 ktan 得，直线的倾斜角得，直线的倾斜角 30 . 答案：答案： A 2直线直线 l 过点过点 P(1,2)，且倾斜角为，且倾斜角为 45 ，则直线，则直线 l 的方程为的方程为( ) Axy10 Bxy10 Cxy30 Dxy30 解析：解析： 直线直线 l 的斜率为的斜率为 ktan 45 1，则由直线的点斜式方程得直线，则由直线的点斜式方程得直线 l 的方程为的方程为 y21x(1)，化为一般式方程为，化为一般式
25、方程为 xy30. 答案：答案： D 3 已知直线 已知直线 l1：xy10， l2：xy10， 则， 则 l1， l2之间的距离为之间的距离为( ) A1 B. 2 C. 3 D2 解析：解析： l1与与 l2之间的距离之间的距离 d |C1C2| A2B2 |1 1 | 2 2，故选，故选 B. 答案：答案： B 4若若 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：，则下面四个结论：AB CD；ABAD；ACBD；ACBD 中正确的个数为中正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析： 由题意得由题意得 kAB 42 6 4 3 5， ，kCD12
26、 6 212 3 5， ，kAD 122 2 4 5 3， ，kAC 62 12 4 1 4， ，kBD12 4 26 4，所以，所以 ABCD，ABAD， ACBD. 答案：答案： C 二、填空题二、填空题 5斜率为斜率为2，且过两条直线，且过两条直线 3xy40 和和 xy40 交点的直线方交点的直线方 程为程为_ 解析：解析： 解方程组解方程组 3xy40， xy40， 得交点为得交点为(0,4)，所以所求的直线方程，所以所求的直线方程 为为 y2x4. 答案：答案： y2x4 6 (2015 潍坊四校联考潍坊四校联考)点点 P(3,4)关于直线关于直线 4xy10 的对称点的坐标的对称
27、点的坐标 是是_ 解析：解析： 设对称点坐标为设对称点坐标为(a，b)，则，则 b4 a3 4 1， 4 3a 2 4 b 2 10. 解得解得 a5， b2， 即所求对称点的坐标是即所求对称点的坐标是(5,2) 答案：答案： (5,2) 三、解答题三、解答题 7若点若点 A(3,4)与坐标轴上的点与坐标轴上的点 P 的距离等于的距离等于 5，试确定点，试确定点 P 的坐标的坐标 解析：解析： 若点若点 P 在在 x 轴上，设点轴上，设点 P 的坐标为的坐标为(x,0)，由点，由点 P 与点与点 A 之间的之间的 距离等于距离等于 5，得，得 x3 2 04 25，解得，解得 x0 或或 x6
28、，所以点，所以点 P 的坐标的坐标 为为(0,0)或或(6,0)； 若点若点 P 在在 y 轴上，设点轴上，设点 P 的坐标为的坐标为(0，y)，由点，由点 P 与点与点 A 之间的距离等于之间的距离等于 5， 得， 得 03 2 y4 25， 解得， 解得 y0 或或 y8， 所以点， 所以点 P 的坐标为的坐标为(0,0)或或(0,8) 故所求的点故所求的点 P 有有 3 个，个， 分别为分别为(6,0)，(0,0)，(0,8) 8已知已知ABC 的三个顶点的三个顶点 A(4,0)，B(8,10)，C(0,6) (1)求过点求过点 A 且平行于且平行于 BC 的直线方程；的直线方程； (2)求过求过 B 点且与点点且与点 A，C 距离相等的直线方程距离相等的直线方程 解析：解析： (1)kBC1 2，过 ，过 A 点且平行于点且平行于 BC 的直线方程为的直线方程为 y01 2(x 4)， 即即 x2y40. (2)设过设过 B 点的直线方程为点的直线方程为 y10k(x8)， 即即 kxy8k100， 由由|4k 08k10| 1k2 |0 68k10| 1k2 ， 即即 k7 6或 或 k3 2. 所求的直线所求的直线方程为方程为 y107 6(x 8)或或 y103 2(x 8)即即 7x6y40或或 3x2y440. 谢谢观看！谢谢观看！
