1、23 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 23.1 直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定 学案学案 新知自解新知自解 1了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程 2理解线面垂直的定义以及判定定理理解线面垂直的定义以及判定定理 3能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直 直线与平面的垂直直线与平面的垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直 定义定义 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的_直线都直线都_，就说直线，就说直线 l 与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作_
2、.直线直线 l 叫作平面叫作平面 的的_，平面，平面 叫作直线叫作直线 l 的的_直线与平面垂直时，它们唯一的公共点直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫作叫作_ 所有所有 垂直垂直 l 垂线垂线 垂面垂面 垂足垂足 画法画法 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 判判定定 定定理理 文字表述：一条直线与一个平面内的文字表述：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该都垂直，则该 直线与此平面垂直直线与此平面垂直 符号表述：符号表述： la lb _ _ _ l 两条相交直线两条相交直线 abA a b 直线与平面所成的角直线与
3、平面所成的角 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 定义定义 平面的一条斜线和它在平面上的平面的一条斜线和它在平面上的_所成的所成的_，叫作这条直线和，叫作这条直线和 这个平面所成的角这个平面所成的角 当直线与平面垂直时，它们所成的角是当直线与平面垂直时，它们所成的角是 90 .当直线与平面平行或在平面当直线与平面平行或在平面 内时，它们所成的角是内时，它们所成的角是_ 射影射影 角角 0 范围范围 0 90 画法画法 如图，如图，_就是斜线就是斜线 AP 与平面与平面 所成的角所成的角 PAO 化解疑难化解疑难 1判定定理的条件中，判定定理的条件中，“平面内两条相交直线平面内两条相交直线”是
4、关键性词语，此处强是关键性词语，此处强 调相交，若两条直线不相交调相交，若两条直线不相交(即平行即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不，即使直线垂直于平面内无数条直线也不 能判断直线与平面垂直能判断直线与平面垂直 2要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两 条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这 是无关紧要的是无关紧要的. 1 若斜线段 若斜线段 AB 是它在平面是它在平面 内的射影长的内的射影长的 2 倍， 则倍，
5、 则 AB 与与 所成的角为所成的角为 ( ) A60 B45 C30 D120 解析：解析： 斜线段斜线段 AB，设斜足为，设斜足为 B，A 在平面在平面 上的射影为上的射影为 H， BH 为为 AB 在平面在平面 上的射影上的射影 ABH 为斜线段为斜线段 AB 与与 所成的角所成的角 sinABHAH AB ，又，又AB BH 2， sinABH 3 2 ， ABH 为锐角，为锐角，ABH60 . 答案：答案： A 2.如图，如图，l，点，点 A，C，点，点 B 且且 BA，CB，那么直线，那么直线 l 与直线与直线 AC 的关系是的关系是( ) A异面异面 B平行平行 C垂直垂直 D不
6、确定不确定 解析：解析： BA，l， BAl.同同理理 CBl. 而而 BACBB， l平面平面 ABC，而，而 AC平面平面 ABC， lAC. 答案：答案： C 3.如图所示，如图所示，BCA90 ，PC平面平面 ABC，则在，则在ABC，PAC 的边所的边所 在的直线中：在的直线中： (1)与与 PC 垂直的直线有垂直的直线有_； (2)与与 AP 垂直的直线有垂直的直线有_ 解析：解析： (1)因为因为 PC平面平面 ABC，AB，AC， BC平面平面 ABC， 所以与所以与 PC 垂直的直线有垂直的直线有 AB，AC，BC. (2)BCA90 ，即，即 BCAC，又，又 BCPC，A
7、CPCC，所以，所以 BC平面平面 PAC，又，又 AP平面平面 PAC，所以，所以 BCAP. 答案：答案： (1)AB，BC，AC (2)BC 教案教案 课堂探究课堂探究 线面垂直的概念与定理的理解线面垂直的概念与定理的理解自主练透型自主练透型 下列说法中正确的个数是下列说法中正确的个数是( ) 若直线若直线 l 与平面与平面 内一条直线垂直，则内一条直线垂直，则 l； 若直线若直线 l 与平面与平面 内两条直线垂直，则内两条直线垂直，则 l； 若直线若直线 l 与平面与平面 内两条相交直线垂直，则内两条相交直线垂直，则 l； 若直线若直线 l 与平面与平面 内任意一条直线垂直，则内任意一
8、条直线垂直，则 l； 若直线若直线 l 与平面与平面 内无数条直线垂直，则内无数条直线垂直，则 l. A1 B2 C3 D4 解析：解析： 由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是，故选，故选 B. 答案：答案： B 归纳升华归纳升华 线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交相交”两两 字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直. 1下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是_ (1)一条直线和
9、一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 (3)如果三条共点直线两两垂直， 那么其中一条直线垂直于另两条直线确定如果三条共点直线两两垂直， 那么其中一条直线垂直于另两条直线确定 的平面的平面 (4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行 解析：解析： (1)a，b，直线，直线 a 与直线与直线 b 可能平行，也可能异面，可能平行，也可能异面，故故(1)错错 (2)一条直线垂直于三角形的两边，则该直线垂直于三角形所在的
10、平面，故该一条直线垂直于三角形的两边，则该直线垂直于三角形所在的平面，故该 直线与三角形的第三边垂直，故直线与三角形的第三边垂直，故(2)正确正确 (3)三条共点直线两两垂直，设为三条共点直线两两垂直，设为 a，b，c，且，且 a，b，c 共点于共点于 O. 因为因为 ab，ac，bcO， 所以所以 b、c 确定一平面，设为确定一平面，设为 ，则，则 a.同理可知同理可知 b 垂直于由垂直于由 a、c 确定的平确定的平 面，面，c 垂直于垂直于 a、b 确定的平面故确定的平面故(3)正确正确 (4)因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直， 所以直线也可能在平因为平面内的任意一条直线都和该
11、平面的垂线垂直， 所以直线也可能在平 面内，故面内，故(4)不正确不正确 答案：答案： (2)(3) 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定多维探究型多维探究型 (2015 唐山市高二期中唐山市高二期中)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形，侧棱是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，垂直于底面，E、F 分别是分别是 AB、PC 的中点，的中点，PAAD. 求证：求证： (1)CDPD； (2)EF平面平面 PCD. 证明：证明： (1)因为因为 PA底面底面 ABCD，CD底面底面 ABCD， 所以所以 CDPA. 又在矩形又在矩形 ABCD 中，中
12、，CDAD，且，且 ADPAA， 所以所以 CD平面平面 PAD，所以，所以 CDPD. (2)取取 PD 的中点的中点 G，连接，连接 AG，FG， 又因为又因为 F 是是 PC 的中点，的中点， 所以所以 GF 綊綊1 2CD，所以 ，所以 GF 綊綊 AE. 所以四边所以四边形形 AEFG 是平行四边形，是平行四边形， 所以所以 AGEF. 因为因为 PAAD，G 是是 PD 的中点，的中点， 所以所以 AGPD，所以，所以 EFPD， 因为因为 CD平面平面 PAD，AG平面平面 PAD. 所以所以 CDAG.所以所以 EFCD. 因为因为 PDCDD，所以，所以 EF平面平面 PCD
13、. 归纳升华归纳升华 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找 到两条相交直线，证明它们和这条直线垂直到两条相交直线，证明它们和这条直线垂直. 2.如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1中，底面中，底面 ABC 为等为等 腰直角三角形，腰直角三角形，ACB90 ，C 点到点到 AB1的距离为的距离为 CE，D 为为 AB 的中点的中点 求证：求证：(1)CDAA1；(2)AB1平面平面 CED. 证明：证明： (1)由题意，得由题意，得 AA1平面平面 ABC，CD
14、平面平面 ABC，所以，所以 CDAA1. (2)因为因为 D 是是 AB 的中点，的中点，ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ACB90 ，所以，所以 CDAB. 又又 CDAA1，ABA1AA，所以，所以 CD平面平面 A1B1BA， 因为因为 AB1平面平面 A1B1BA，所以，所以 CDAB1. 又又 CEAB1，CDCEC，所以，所以 AB1平面平面 CED. 直线与平面所成的角直线与平面所成的角分层深化型分层深化型 如图所示，已知如图所示，已知 AB 为圆为圆 O 的直径，且的直径，且 AB4，点，点 D 为线段为线段 AB 上上 一点，且一点，且 AD1 3DB，点 ，点
15、 C 为圆为圆 O 上一点，且上一点，且 BC 3AC.点点 P 在圆在圆 O 所在平所在平 面上的正投影为点面上的正投影为点 D，PDDB. (1)求证：求证：CD平面平面 PAB； (2)求直线求直线 PC 与平面与平面 PAB 所成的角所成的角 解析：解析： 法一：法一：(1)证明：连接证明：连接 CO，由，由 3ADDB 知，点知，点 D 为为 AO 的中点的中点 又因为又因为 AB 为圆为圆 O 的直径，所以的直径，所以 ACCB. 由由 3ACBC 知，知，CAB60 ， 所以所以ACO 为等边三角形故为等边三角形故 CDAO. 因为点因为点 P 在圆在圆 O 所在平面上的正投影为
16、点所在平面上的正投影为点 D， 所以所以 PD平面平面 ABC， 又又 CD平面平面 ABC，所以，所以 PDCD， 由由 PD平面平面 PAB，AO平面平面 PAB，且，且 PDAOD， 得得 CD平面平面 PAB. (2)由由(1)知知CPD 是直线是直线 PC 与平面与平面 PAB 所成的角，所成的角， 又又AOC 是边长为是边长为 2 的正三角形，所以的正三角形，所以 CD 3. 在在 RtPCD 中，中，PDDB3，CD 3， 所以所以 tanCPDCD PD 3 3 ，CPD30 ， 即直线即直线 PC 与平面与平面 PAB 所成的角为所成的角为 30 . 法二：法二：(1)证明：
17、因为证明：因为 AB 为圆为圆 O 的直径，所以的直径，所以 ACCB. 在在 RtABC 中，由中，由 AB4,3ADDB， 3ACBC 得，得， DB3，BC2 3，所以，所以BD BC BC AB 3 2 ， 则则BDCBCA，所以，所以BCABDC，即，即 CDAO. 因为点因为点 P 在圆在圆 O 所在平面上的正投影为点所在平面上的正投影为点 D， 所以所以 PD平面平面 ABC. 又又 CD平面平面 ABC，所以，所以 PDCD. 由由 PD平面平面 PAB，AO平面平面 PAB， 且且 PDAOD，得，得 CD平面平面 PAB. (2)由由(1)知知CPD 是直线是直线 PC 与
18、平面与平面 PAB 所成的所成的角角 在在 RtPCD 中，中，PDBD3，CD BC2BD2 3， 所以所以 tanCPDCD PD 3 3 ，CPD30 ， 即直线即直线 PC 与平面与平面 PAB 所成的角为所成的角为 30 . 归纳升华归纳升华 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤： (1)确定斜线与平面的交点确定斜线与平面的交点(斜足斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平通过斜线上除斜足以外的某一点作平 面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐
19、 角即为所求的角；角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 同类练同类练 1如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥 PABC 中，中，PAC 和和ABC 都是边长为都是边长为 a 的正的正 三角形，三角形，D 为为 AC 的中点，的中点，PD平面平面 ABC，求，求 PB 与平面与平面 ABC 所成的角所成的角 解析：解析： 在三棱锥在三棱锥 PABC 中，连接中，连接 BD. PD平面平面 ABC， PBD 是是 PB 与平面与平面 ABC 所成的角所成的角 PAC 和和ABC 都是边长为都是边长为 a 的正三角形，的正三角形，D 为
20、为 AC 的中点，的中点， BDPD 3 2 AB 3 2 a， BD平面平面 ABC， PDBD. 在等腰在等腰 RtPBD 中，中，PBD45 ， 即直线即直线 PB 与平面与平面 ABC 所成的角是所成的角是 45 . 变式练变式练 2.如图所示，如图所示，AB 是圆柱的母线，是圆柱的母线，BD 是圆柱底面圆的直径，是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周是底面圆周 上一点，且上一点，且 ABBC2，CBD45 . (1)求证：求证：CD平面平面 ABC； (2)求直线求直线 BD 与平面与平面 ACD 所成角的大小所成角的大小 解析：解析： (1) 证明：因为证明：因为 BD 是底面圆的直径
21、，是底面圆的直径， 所以所以 CDBC. 又又 AB平面平面 BCD，CD平面平面 BCD， 所以所以 ABCD. 因为因为 ABBCC，所以，所以 CD平面平面 ABC. (2) 取取 AC 的中点的中点 E，连接，连接 DE， 由由(1)知知 BECD，又，又 E 是是 AC 的中点，的中点，ABBC2，ABC90 ，所以，所以 BEAC， 所以所以 BE平面平面 ACD，所以直线，所以直线 BD 与平面与平面 ACD 所成的角为所成的角为BDE. 而而 BE平面平面 ACD，则，则 BEED， 即即BED 为直角三角形为直角三角形 又又 ABBC2，CBD45 ，则，则 BD2 2，BE
22、 2， 所以所以 sinBDEBE BD 1 2，所以 ，所以BDE30 . 拓展练拓展练 3如图所示，在矩形如图所示，在矩形 ABCD 中，中，AB3 3，BC3，沿对角线，沿对角线 BD 将将 BCD 折起， 使点折起， 使点 C 移到移到 C点， 且点， 且 C点在平面点在平面 ABD 上的射影上的射影 O 恰在恰在 AB 上上 (1)求证：求证：BC平面平面 ACD； (2)求直线求直线 AB 与平面与平面 BCD 所成角的正弦值所成角的正弦值 解析：解析： (1) 证明：证明：点点 C在平面在平面 ABD 上的射影上的射影 O 在在 AB 上，上， CO平面平面 ABD，CODA.
23、又又DAAB，ABCOO， DA平面平面 ABC，DABC. 又又BCCD，BCCD. DACDD，BC平面平面 ACD. (2) 如图所示，过如图所示，过 A 作作 AECD，垂足为，垂足为 E. BC平面平面 ACD， BCAE. 又又BCCDC， AE平平面面 BCD. 连接连接 BE，则，则 BE 是是 AB 在平面在平面 BCD 上的射影，故上的射影，故ABE 就是直线就是直线 AB 与平面与平面 BCD 所成的角所成的角 DAAB，DABC， DA平面平面 ABC，DAAC. 在在 RtACB 中，中，AC AB2BC23 2. 在在 RtBCD 中，中，CDCD3 3. 在在 RtCAD 中，由面积关系，得中，由面积关系，得 AEAC AD CD 3 2 3 3 3 6. 在在 RtAEB 中，中， sinABEAE AB 6 3 3 2 3 ， 即直线即直线 AB 与平面与平面 BCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 2 3 . 谢谢观看！谢谢观看！
