1、 第第 二二 章章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 知能整合提升知能整合提升 1线线关系线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种 两直线垂直有两直线垂直有“相交垂直相交垂直”与与“异面垂直异面垂直”两种情况两种情况 (1)证明线线平行的方法证明线线平行的方法 线线平行的定义；线线平行的定义； 公理公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；：平行于同一条直线的两条直线互相平行； 线面平行的性质定理：线面平行的性质定理：a，a，bab； 线面垂直的性质定理：线面垂直的性质定理：a，bab. 面面平行
2、的性质定理：面面平行的性质定理：，a，bab. (2)证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角 时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； 线面垂直的性质结论：线面垂直的性质结论：a，bab； 线面垂直的性质结论：线面垂直的性质结论：a，bab. 2线面关系线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 (1)证明直线与平面平行的方法证明直线与平面平行的方法 线
3、线面平行的定义；面平行的定义； 线面平行的判定定理：线面平行的判定定理：a ，b，aba； 面面平行的性质：面面平行的性质：，aa. (2)证明直线与平面垂直的方法证明直线与平面垂直的方法 线面垂直的定义；线面垂直的定义； 线面垂直的判定定理：线面垂直的判定定理： m，n，mnA lm，ln l； 平行线垂直平面的传递性：平行线垂直平面的传递性：ab，ab； 面面平行的性质结论：面面平行的性质结论：，aa； 面面垂直的性质定理：面面垂直的性质定理：，l，a，ala. 3面面关系面面关系 两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种有且只有平行、相交两种 (1)证明面面平行
4、的方法证明面面平行的方法 面面平行的定义；面面平行的定义； 面面平行的判定定理：面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA； 线面垂直的性质结论：垂直于同一条直线的两个平面平行，即线面垂直的性质结论：垂直于同一条直线的两个平面平行，即 a，a ； 公理公理 4 的推广： 平行于同一平面的两个平面平行， 即的推广： 平行于同一平面的两个平面平行， 即 ，. (2)证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； 面面垂直的判定定理：面面垂直的判定定理：a，a. 4平行关系与垂直关系的转化平行关系与垂直关
5、系的转化 解题时需把握原则：由已知想性质，由求证想判定解题时需把握原则：由已知想性质，由求证想判定并注意适当添加辅助并注意适当添加辅助 线线(或辅助面或辅助面)实现转化实现转化 5空间角的计算问题空间角的计算问题 (1)异面直线所成的角：通过作其中一条直线的平行线，转化为相交直线所异面直线所成的角：通过作其中一条直线的平行线，转化为相交直线所 成的角，范围是成的角，范围是(0 ，90 (2)直线与平面所成的角：依据线面垂直，确定斜线在平面上的射影，则斜直线与平面所成的角：依据线面垂直，确定斜线在平面上的射影，则斜 线与射影所成的角即为所求，范围是线与射影所成的角即为所求，范围是0 ，90 (3
6、)二面角： 过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直二面角： 过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直 线，二者的夹角即为二面角的平面角，范围是线，二者的夹角即为二面角的平面角，范围是0 ，180 空间角的计算步骤：一作、二证、三计算空间角的计算步骤：一作、二证、三计算 热点考点例析热点考点例析 公理的应用及空间中公理的应用及空间中的位置关系的位置关系 1公理的应用公理的应用 (1)证明共面问题证明共面问题的方法一般有两种：一是由某些元素确定证明共面问题证明共面问题的方法一般有两种：一是由某些元素确定 一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干
7、个平一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平 面，再证明这些平面重合面，再证明这些平面重合 (2)证明三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定证明三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定 出其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，出其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点， 则第三点必然在这两个平面的交线上则第三点必然在这两个平面的交线上 (3)证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过
8、这点，把问题转化为证明点在直线上的问题再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题 2空间中的点、空间中的点、线、面位置关系的判定线、面位置关系的判定 (1)首先清楚线线、线面、面面的位置关系及分类标准，其次在判定时不但首先清楚线线、线面、面面的位置关系及分类标准，其次在判定时不但 要根据位置关系的定义，还要根据具体的题目条件与线线、线面、面面的判定要根据位置关系的定义，还要根据具体的题目条件与线线、线面、面面的判定 及性质定理及性质定理 (2)在判定点、线、面的位置关系时，要特别注意思维的严谨性，要注意线在判定点、线、面的位置关系时，要特别注意思维的严谨性，要注意线 线、线面、
9、面面判定及性质定理应用的前提条件线、线面、面面判定及性质定理应用的前提条件 如图所示，空间四边形如图所示，空间四边形 ABCD 中，中，E，F 分别为分别为 AB，AD 的中点，的中点， G，H 分别在分别在 BC，CD 上，且上，且 BGGCDHHC12.求证：求证： (1)E，F，G，H 四点共面；四点共面； (2)EG 与与 HF 的交点在直线的交点在直线 AC 上上 规范解答规范解答 (1)BGGCDHHC， GHBD. 又又 EFBD，EFGH， E，F，G，H 四点共面四点共面 (2)G，H 不是不是 BC，CD 的中点，的中点， EFGH，且，且 EFGH， EG 与与 FH 必
10、相交必相交 设交点为设交点为 M，而，而 EG平面平面 ABC，HF平面平面 ACD， M平面平面 ABC，且，且 M平面平面 ACD， MAC， 即即 GE 与与 HF 的交点在直线的交点在直线 AC 上上 1已知：正方体已知：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 8 cm，M，N，P 分别是分别是 AB， A1D1，BB1的中点的中点 (1)画出过画出过 M， N， P 三点的平面与平面三点的平面与平面 A1B1C1D1的交线以及与平的交线以及与平面面 BB1C1C 的交线；的交线； (2)设过设过 M，N，P 三点的平面与三点的平面与 B1C1交于一点，求交于一点，求 P 与
11、该点连线段的长与该点连线段的长 解析：解析： (1)如图，设如图，设 M，N，P 三点确定的平面为三点确定的平面为 ， 则则 与平面与平面 AB1交于交于 MP. 设设 MPA1B1R， 则则 RN 是是 与平面与平面 A1B1C1D1的交线的交线 设设 RNB1C1Q， 则则 PQ 是是 与平面与平面 BB1C1C 的交线的交线 (2)由正方体的棱长为由正方体的棱长为 8 cm，M，P 分别为分别为 AB，BB1的中点，的中点， B1RBM4 cm. 在在RA1N 中，中，B1Q A1N RB1 RA1， ， B1Q 4 12 44 3(cm) 在在 RtPB1Q 中，中， PB14 cm，
12、B1Q4 3 cm， ， PQ42 4 3 2 4 3 10(cm) PQ 的长为的长为4 3 10 cm. 平行、垂直关系的判定与性质平行、垂直关系的判定与性质 1平行、垂直关系的相互转化平行、垂直关系的相互转化 2核心问题分析核心问题分析 “线面垂直线面垂直”是核心内容是核心内容，原因一：立体图形中的，原因一：立体图形中的“平行的平行的”直观上看仍直观上看仍 然然“平行平行”，而，而“垂直的垂直的”却不然，认知上有难度原因二：由上面的却不然，认知上有难度原因二：由上面的“转化转化 图图”知线面垂直是认识图形的切入口，又是解决线面位置关系的枢纽知线面垂直是认识图形的切入口，又是解决线面位置关
13、系的枢纽 3证明空间线面平行或垂直需注意三点：证明空间线面平行或垂直需注意三点： (1)由已知想性质，由求证想判定由已知想性质，由求证想判定 (2)适当添加辅助线适当添加辅助线(或面或面)是解题的常用方法之一是解题的常用方法之一 (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论 特别提醒特别提醒 若题目条件中有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平若题目条件中有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平 面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直 如图，已知三棱柱如图，已知三棱柱 A
14、BCA1B1C1中，侧面中，侧面 ACC1A1与底面垂直，且与底面垂直，且 ABAC，CC1BC1，BAC90 ，BCC160 . (1)求证：求证：BC1AC； (2)若若 N 为为 A1C1的中点，问侧棱的中点，问侧棱 BB1上是否存在一点上是否存在一点 M，使，使 MN平面平面 ABC1？请说明理由？请说明理由 规范解答规范解答 (1)证明：由题意，侧面证明：由题意，侧面 ACC1A1底面底面 BAC，且，且 ABAC， AB平面平面 ACC1A1，ABAC1. CC1BC1，且，且BCC160 ， BCC1为等边三角形，为等边三角形， BCBC1，ABCABC1，ACAC1. 又又 C
15、C1BC 2AC， AC2AC2 1 CC2 1， ，ACAC1. 又又 ACAB，ABAC1A， AC平面平面 ABC1， 又又 BC1平面平面 ABC1，BC1AC. (2)如图，当如图，当 M 为侧棱为侧棱 BB1的中点时，有的中点时，有 MN平面平面 ABC1. 证明如下：证明如下： 分别取分别取 AA1，BB1的中点的中点 D，M， 连接连接 DM，DN，则，则 DNAC1，DMAB. DN平面平面 ABC1，DM平面平面 ABC1， 又又 DMDND，平面平面 DMN平面平面 ABC1， 又又 MN平面平面 DMN，MN平面平面 ABC1. 2如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABC
16、D 中，底面中，底面 ABCD 为菱形，为菱形，BAD60 ，Q 为为 AD 的中点的中点 (1)若若 PAPD，求证：平面，求证：平面 PQB平面平面 PAD； (2)点点 M 在线段在线段 PC 上，上， PMtPC， 试确定实数， 试确定实数 t 的值， 使得的值， 使得 PA平面平面 MQB. 解析：解析： (1)证明：连接证明：连接 BD，四边形，四边形 ABCD 为菱形为菱形 ADAB，BAD60 ， ABD 为正三角形为正三角形 又又 Q 为为 AD 的中点，的中点， ADBQ. PAPD，Q 为为 AD 的中点，的中点， ADPQ. 又又 BQPQQ，AD平面平面 PQB. 又
17、又 AD平面平面 PAD， 平面平面 PQB平面平面 PAD. (2)当当 t1 3时，使得 时，使得 PA平面平面 MQB. 理由是：连接理由是：连接 AC 交交 BQ 于于 N，交，交 BD 于于 O， 则则 O 为为 BD 的中点，的中点， 又又BQ 为为ABD 的边的边 AD 上的中线，上的中线， N 为正三角形为正三角形 ABD 的中心的中心 令菱形令菱形 ABCD 的边长为的边长为 a， 则则 AN 3 3 a，AC 3a. PA平面平面 MQB，PA平面平面 PAC， 平面平面 PAC平面平面 MQBMN， PAMN，则，则PM PC AN AC 3 3 a 3a 1 3， ，
18、即即 PM1 3PC，故 ，故 t1 3. 空间角的求法空间角的求法 1空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面 角这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定角这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定 量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各 种角的概念和平面几何的知识熟练解题空间角的题目一般都是各种知识的交种角的概念和平面几何的知识熟练解题空间角的题目一般都是各种知识的交
19、汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视 2求异面直线所成的角常用平移求异面直线所成的角常用平移转化法转化法(转化为相交直线的夹角转化为相交直线的夹角) 3求直线与平面所成的角常用射影转化法求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影即作垂线、找射影) 4二面角的平面角的作法常有三种：二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；定义法；(2)垂线法；垂线法；(3)垂面法垂面法 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步 骤：一作、二证
20、、三计算骤：一作、二证、三计算 如如图，在正方体图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， (1)求求 BC1与平面与平面 ACC1A1所成的角；所成的角； (2)求求 A1B1与平面与平面 A1C1B 所成的角的余弦值所成的角的余弦值 规范解答规范解答 (1)A1A面面 ABCD， A1ABD. 连接连接 AC 交交 BD 于于 O，则，则 BDAC. BD平面平面 ACC1A1. 连接连接 C1O，则，则OC1B 为为 BC1与平面与平面 ACC1A1所成的角所成的角 在在 RtOC1B 中，中，sinOC1B OB BC1 1 2， ， OC1B30 . 即即 BC1与平面与平面 A
21、CC1A1所成的角为所成的角为 30 . (2)A1BC1是正三角形，且是正三角形，且 A1B1B1C1BB1， 则棱锥则棱锥 B1A1BC1是正三棱锥是正三棱锥 过过 B1作作 B1H平面平面 A1BC1，垂足为，垂足为 H， 连连 A1H，B1A1H 是是 A1B1与平面与平面 A1C1B 所成的角所成的角 设设 A1B1a，则，则 A1B 2a，得，得 A1H 6 3 a， 故故 cosB1A1H A1H A1B1 6 3 . 即即 A1B1与平面与平面 A1C1B 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 6 3 . 3 在底面是等腰梯形的四棱锥 在底面是等腰梯形的四棱锥 SABCD 中，中，
22、ADBC，AB2CD2SD， DAB60 ，SD底面底面 ABCD.求：求： (1)侧面侧面 SAB 与底面与底面 ABCD 所成二面角的平面角的正切值；所成二面角的平面角的正切值； (2)侧棱侧棱 SB 与底面与底面 ABCD 所成的角所成的角 解析：解析： (1)如图所示，作如图所示，作 SEAB 交交 AB 于于 E，连接，连接 DE. 因为因为 SD面面 ABCD，所以，所以 ABSD， 则则 AB面面 SDE， 所以所以 DEAB，则，则DES 即为所求二面角的平面角即为所求二面角的平面角 设设 SDCDa，所以，所以 AB2a，AEa 2， ， 所以所以 DEa 2 tan 60
23、3 2 a. 所以所以 tanDES DS DE 2 3 2 3 3 . 即二面角的平面角的正切值为即二面角的平面角的正切值为2 3 3 . (2)连接连接 DB，则，则SBD 即为直线即为直线 SB 与平面与平面 ABCD 所所成的角成的角 因为因为 BD DE2BE2 3a， 所以所以 tanSBD SD BD 3 3 ，所以，所以SBD30 . 即侧棱即侧棱 SB 与底面与底面 ABCD 所成角为所成角为 30 . 折叠问题中的线、面位置关系折叠问题中的线、面位置关系 平面图形沿着某一直线翻折成为空间图形的题目在立体几何中是很常见平面图形沿着某一直线翻折成为空间图形的题目在立体几何中是很
24、常见 的对于这类问题，关键是要注意折叠前后的变量与不变量，抓住了折叠前后的对于这类问题，关键是要注意折叠前后的变量与不变量，抓住了折叠前后 的变量与不变量，也就抓住了解折叠问题的要害折叠前后，同一半平面内的的变量与不变量，也就抓住了解折叠问题的要害折叠前后，同一半平面内的 数量关系与位置关系均不数量关系与位置关系均不发生改变发生改变 在平面四边形在平面四边形 ABCD 中，已知中，已知 ABBCCDa，ABC90 ， BCD135 ，沿，沿 AC 将四边形折成直二面角将四边形折成直二面角 BACD. (1)求证：平面求证：平面 ABC平面平面 BCD； (2)求平面求平面 ABD 与平面与平面
25、 ACD 所成的角所成的角 规范解答规范解答 如图，其中如图，其中(1)是平面四边形，是平面四边形，(2)是折后的立体图形是折后的立体图形 (1)证明：证明：平面平面 ABC平面平面 ACD，交线为，交线为 AC， 在平面图形中在平面图形中 ABBC，ABC90 ， BCD135 ， ACD90 ，CDAC. CD平面平面 ABC. 又又CD平面平面 BCD， 平面平面 ABC平平面面 BCD. (2)过点过点 B 作作 BEAC，E 为垂足，为垂足， 则则 BE平面平面 ACD. 又过点又过点 E 在平面在平面 ACD 内作内作 EFAD，F 为垂足，连接为垂足，连接 BF. 由已知可得由已
26、知可得 BFAD. BFE 是二面角是二面角 BADC 的平面角的平面角 点点 E 为为 AC 中点，中点，AE1 2AC 2 2 a. 又又 sinDACCD AD 3 3 ，EF 3 3 AE， EF 2 2 a 3 3 6 6 a，tanBFEBE EF 3. BFE60 ， 即平面即平面 ABD 与平面与平面 ACD 所成的二面角为所成的二面角为 60 . 4如图所示，在矩形如图所示，在矩形 ABCD 中，中，AB 2，BC2，E 为为 BC 的中点把的中点把 ABE，CDE 分别沿分别沿 AE，DE 向上折起，使向上折起，使 B，C 重合于点重合于点 P，求二面角，求二面角 P AD
27、E 的大小的大小 解析：解析： 取取 AD 的中点的中点 F，连接，连接 EF，PF. 在矩形在矩形 ABCD 中，中，E 为为 BC 的中点，的中点， AEDE，则，则 EFAD. APDP，PFAD， PFE 为二面角为二面角 PADE 的平面角的平面角 折叠前折叠前 ABBE，CDCE， 折叠后折叠后 APPE，DPPE， 又又 DPAPP，PE平面平面 APD. PF平面平面 APD，PEPF. 在在 RtPEF 中，中，PE1 2BC 1，EFAB 2， sinPFEPE EF 2 2 ， PFE45 ，即二面角，即二面角 PADE 的大小是的大小是 45 . 一、选择题一、选择题
28、1分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( ) A相交相交 B异异面面 C平行平行 D相交或异面相交或异面 解析：解析： 当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合 情况时，异面情况时，异面 答案：答案： D 2.如图，如图，PA矩形矩形 ABCD，下列结论中不正确的是，下列结论中不正确的是( ) APDBD BPDCD CPBBC DPABD 解析：解析： PA面面 ABCD， PABD，故，故 D 正确；正确； BCAB，BC面面 PAB， BCPB，故，故 C 正确；正
29、确； 又又 CD面面 PAD， PDCD，故，故 B 正确，只有正确，只有 A 不正确不正确 答案：答案： A 3.如图，如图，BC 是是 RtABC 的斜边，的斜边，PA平面平面 ABC，PDBC 于于 D 点，则点，则 图中共有直角三角形的个数是图中共有直角三角形的个数是( ) A8 个个 B7 个个 C6 个个 D5 个个 解析：解析： 因为因为 PA平面平面 ABC， 所以所以 PABC， 因为因为 PDBC，PAPDP， 所以所以 BC平面平面 PAD，所以，所以 ADBC， 图中直角三角形有图中直角三角形有PAC，PAD，PAB，ABC，PDC，PDB， ADC，ADB，共，共 8
30、 个个 答案：答案： A 4 正方体 正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， BB1与平面与平面 ACD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.2 3 D. 6 3 解析：解析： 画出图形画出图形(如图所示如图所示)，BB1与平面与平面 ACD1所成的角等于所成的角等于 DD1与平与平 面面 ACD1所成的角在三棱锥所成的角在三棱锥 DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底在底 面面 ACD1内的射影为等边三角形内的射影为等边三角形 ACD1的垂心即中心的垂心即中心 H，连接，连接 D1H，DH，则，则 DD1H为为 DD1与
31、平面与平面 ACD1所成的角 设正方体的棱长为所成的角 设正方体的棱长为 a， 则， 则 cosDD1H 6 3 a a 6 3 . 答案：答案： D 二、填空题二、填空题 5已知平面已知平面 平面平面 ，l，在，在 l 上取上取线段线段 AB4，AC，BD 分别在分别在 平面平面 和平面和平面 内，且内，且 ACAB，DBAB，AC3，BD12，则，则 CD 的长度的长度 为为_ 解析：解析： 如图，连接如图，连接 AD. ，AC，DB， 在在 RtABD 中，中， AD AB2BD2 42122 160. 在在 RtCAD 中，中，CD AC2AD2 3216013. 答案：答案： 13
32、6如图，二面角如图，二面角 l 的大小是的大小是 60 ，线段，线段 AB，Bl，AB 与与 l 所所 成的角为成的角为 30 ，则，则 AB 与平面与平面 所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是_ 解析：解析： 如图，过点如图，过点 A 作平面作平面 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 C，在平面，在平面 内过内过 C 作作 l 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 D，连接，连接 AD，由线面垂直判定定理可知，由线面垂直判定定理可知 l平面平面 ACD，则，则 l AD， 故故ADC 为二面角为二面角 l 的平面角，即的平面角，即ADC60 . 连接连接 CB，显然，显然，ABC 为为 AB 与平面与平面
33、 所成的角所成的角 设设 AD2，则，则 AC 3，CD1，AB AD sin 30 4， sinABCAC AB 3 4 . 答案：答案： 3 4 三、解答题三、解答题 7.已知已知 P 是是 ABCD 所在平面外一点，所在平面外一点，E，F，G 分别是分别是 PB，AB，BC 的中的中 点求证：平面点求证：平面 PAC平面平面 EFG. 证明：证明： 因为因为 EF 是是PAB 的中位线，的中位线， 所以所以 EFPA. 又又 EF 平面平面 PAC，PA平面平面 PAC，所以，所以 EF平面平面 PAC. 同理得同理得 EG平面平面 PAC. 又又 EF平面平面 EFG，EG平面平面 E
34、FG， EFEGE，所以平面，所以平面 PAC平面平面 EFG. 8.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形，的正方形，E、F 分别为分别为 PC、BD 的中点，侧面的中点，侧面 PAD底底面面 ABCD，且，且 PAPD 2 2 AD. (1)求证：求证：EF平面平面 PAD； (2)求三棱锥求三棱锥 CPBD 的体积的体积 解析：解析： (1)证明：连接证明：连接 AC，如图所示，如图所示， 则则 F 是是 AC 的中点，又的中点，又 E 为为 PC 的中点，的中点，EFPA. 又又PA平面平面 PAD， EF 平面平面 PAD， EF平面平面 PAD. (2)取取 AD 的中点的中点 N，连接，连接 PN，如图所示，如图所示 PAPD，PNAD. 又平面又平面 PAD平面平面 ABCD， 平面平面 PAD平面平面 ABCDAD，PN平面平面 PAD， PN平面平面 ABCD，即，即 PN 是三棱锥是三棱锥 PBCD 的高的高 又又PAPD 2 2 AD 2 2 a，PN1 2AD 1 2a， ， VC PBDVPBCD1 3S BCD PN 1 3 1 2a a 1 2a a3 12. 谢谢观看！谢谢观看！
