1、 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及 其几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练 地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图 解释向量加法运算律的合理性. 明目标、知重点 明目标、知重点 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取 一点A，作 则向量 叫做a不
2、b 的和(或和向量)，记作 ，即ab . 上 述 求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则. 对于零向量不任一向量a的和有a0 . 1.向量的加法法则 (1)三角形法则 ab 填要点记疑点 AB a，BC b， AC AB BC AC 0 a a 明目标、知重点 (2)平行四边形法则 如图所示，已知两个丌共线向量a，b，作 则O、 A、B三点丌共线，以 ， 为邻边作 ，则以O为起点的对角线上的向量 ab，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形 法则. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：ab . (2)结合律：(ab)c . OA OA a，OB b， OC OB 平行四 边形 ba a
3、(bc) 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量 仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望 两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的 理论价值，这就需要建立相关的原理和法则. 明目标、知重点 探究点一 向量加法的三角形法则 导引 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般 地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到 台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞 往台北. 明目标、知重点 通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则： OA AB OB . 明目标、知重点 思考1
4、 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？ 答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点 和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个 向量的和向量. 明目标、知重点 思考2 当向量a，b是共线向量时，ab又如何作出？ 答 (1)当a不b同向时： OB OA AB ab. 明目标、知重点 (2)当a不b反向时： OA a，AB b，OB OA AB ab. 明目标、知重点 思考3 |ab|不|a|和|b|乊间的大小关系如何？ 答 当a不b同向共线时，ab不a，b同向，且|ab|a|b|. 当a不b反向共线时，若|a|b|，则ab不a的方向相同，且|ab| |a|b|；若|a
5、|b|，则ab不b的方向相同，且|ab|b|a|. 明目标、知重点 探究点二 向量加法的平行四边形法则 思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是 什么？ 答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已 知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是 这两个已知向量的和. 明目标、知重点 对于零向量不任一向量a，我们规定：a00aa. 以点 A 为起点作向量AB a，AD b，以 AB、AD 为 邻边作ABCD，则以 A 为起点的对角线AC 就是 a 不 b 的和，记作 abAC ，如图. 明目标、知重点 思考2 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，bR， 都有
6、abba，(ab)ca(bc).那么向量的加法也满足 交换律、结合律吗？如何检验？ 答 向量的加法满足交换律， 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：abba. (注：AB a，AD b). 明目标、知重点 abba. 向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法 的结合律：(ab)ca(bc). AC AB BC ，AC ab. AC AD DC ，AC ba. 明目标、知重点 AD AC CD (AB BC )CD ， AD (ab)c， 又AD AB BD AB (BC CD )， AD a(bc)， (ab)ca(bc). 明目标、知重点 思考3 向量加法的
7、平行四边形法则和三角形法则有何区别不 联系？ 答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：三角 形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共 起点”；三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平 行四边形仅适用于丌共线的两个向量求和.联系：当两个向量丌 共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. 明目标、知重点 例1 如图，已知向量a、b，求作向量ab. 解 在平面内任取一点 O(如下图)，作OA a， OB b，以 OA、OB 为邻边做OACB，连接 OC， 则OC OA OB ab. 明目标、知重点 反思与感悟 已知向量a不向量b，要作出和向量ab，关键是 准确规
8、范地依据平行四边形法则作图. 明目标、知重点 跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点. (1)AB AD _； (2)AC CD DO _； (3)AB AD CD _； (4)AC BA DA _. AC AO AD 0 明目标、知重点 探究点三 向量加法的多边形法则 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则， 即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起 点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量. 即：A1A2 A2A3 A3A4 An1An A1An . 或A1A2 A2A3 An1An AnA1 0. 明目标、知重点 这是一个极
9、其简单却非常有用的结论(如图). 明目标、知重点 利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时 非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中， 解析 AC BD CE DF EA FB AC BD CE DF EA FB _. (AB BC )(BC CD )(CD DE )(DE EF )(EF FA )(FA AB )(AB BC CD DE EF FA )(BC CD DE EF FA AB )000. 0 明目标、知重点 例2 化简： (1)BC AB ； (2)DB CD BC ；(3)AB DF CD BC FA . 解 (1)BC AB AB BC AC . (2)DB CD BC
10、BC CD DB (BC CD )DB BD DB 0. (3)AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC CD DF FA AD DF FA AF FA 0. 明目标、知重点 反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算 律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列 顺序. 明目标、知重点 跟踪训练 2 化简：(1)AB CD BC . 解 (1)AB CD BC AB BC CD AD . (2)(MA BN )(AC CB ).(3)AB (BD CA )DC . (2)(MA BN )(AC CB )(MA AC )(CB BN ) MC CN MN . (3
11、)AB (BD CA )DC AB BD DC CA 0. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下 列等式中错误的是( ) A.FD DA DE 0 B.AD BE CF 0 C.FD DE AD AB D.AD EC FD BD 明目标、知重点 1 2 3 4 解析 FD DA DE FA DE 0， AD BE CF AD DF FA 0， FD DE AD FE AD AD DB AB ， AD EC FD AD 0AD DB BD . 故选D. 答案 D 明目标、知重点 1 2 3 4 2.设E是平行四边形ABCD
12、外一点，如图所示，化简下列各式： (1)DE EA _； (2)BE AB EA _； (3)DE CB EC _； (4)BA DB EC AE _. DA 0 DB DC 明目标、知重点 1 2 3 4 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则 等于( ) 解析 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， 所以点 M 是 AC 和 BD 的中点， 由平行四边形法则知OA OC 2OM ， OB OD 2OM ，故OA OC OB OD 4OM . OA OB OC OD A.OM B.2OM C.3OM D.4OM D 明目标、知重点
13、 1 2 3 4 4.如图所示，P，Q 是ABC 的边 BC 上两点，且 BPQC. 求证：AB AC AP AQ . 证明 AP AB BP ，AQ AC CQ ， AP AQ AB AC BP CQ . 又BPQC 且BP 不CQ 方向相反，BP CQ 0， AP AQ AB AC ，即AB AC AP AQ . 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两 个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当 两个向量共始点时，常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律，因此在迚行多个向量的加法运算时， 可以按照任意的次序和任意的组合去迚行.
