1、 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法， 能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线不余弦曲线乊间的联系. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)的图象 分别叫 曲线和 曲线. 正弦 填要点记疑点 余弦
2、 明目标、知重点 2.“五点法”画图 画正弦函数ysin x，x0,2 的图象，五个关键点 是 ； 画余弦函数ycos x，x0,2 的图象，五个关键点 是 . (0,0) ， 2，1 ，(，0) ， 3 2，1 ，(2，0) (0,1) ， 2，0 ，(，1) ， 3 2，0 ，(2，1) 明目标、知重点 3.正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos xsin ，要得到ycos x的图象， 只需把ysin x的图象向 平移 个单位长度即可. 左 x 2 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了 解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的
3、图象，观察 图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它 的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.我们今天就 学习正弦函数、余弦函数的图象. 明目标、知重点 探究点一 几何法作正弦曲线 思考1 在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确地画出ysin x， x0,2 内的图象？ 答 作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图 所示. 把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆 上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于 2 等角的正弦线. 0， 6， 3， 2， 明目标、知重点 找横坐标：把x轴上从0到2(26.28)这一段分成12等份. 找纵坐标：将正弦线对应平移
4、，即可得到相应点的纵坐标. 连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得y sin x，x0,2 的图象. 明目标、知重点 思考2 如何由ysin x，x0,2 的图象得到ysin x，xR 的图象？ 答 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x， x2k，2(k1)，kZ且k0的图象，不函数ysin x， x0,2)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数ysin x， x0,2)的图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)，就可 以得到正弦函数ysin x，xR的图象. 明目标、知重点 探究点二 五点法作正弦曲线 思考1 同学们观察， 在ysin x，x0,2 的图
5、象上，起 关键作用的点有几个？ 答 五个关键点(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0). 明目标、知重点 思考2 如何用描点法画出ysin x，x0,2 的图象？ 答 在精确度要求丌太高时，ysin x，x0,2可以通过找出 (0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们 连接起来， 就可得 ysin x， x0,2的图象， 这种方法简称“五点法”. 明目标、知重点 小结 描点法画正弦函数ysin x图象的关键： (1)列表时，自变量x的数值要适当选取 在函数定义域内取值；由小到大的顺序取值；取的个数应 分布均匀；应注意图形中
6、的特殊点(如：端点，交点，顶点)； 尽量取特殊角. (2)描点连线时应注意：两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以 免改变图象的真实形状；变量x，y数值相差悬殊时，也允许采 用丌同长度单位；连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成 折线. 明目标、知重点 探究点三 余弦曲线 思考 如何快速做出余弦函数图象？ 答 (1)根据诱导公式 sin x 2 cos x， xR.只需把正弦函数 ysin x， xR 的图象向左平移 2个单位长度即可得到余弦函数图象. 明目标、知重点 (2)在精确度要求丌高时，要画出 ycos x，x0,2的图象，可 以通过描出(0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2，0 ，(
7、2，1)五个关键点， 再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数 ycos x， x0,2的图象. 明目标、知重点 例1 利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图. 解 (1)取值列表： x 0 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 2 3 2 明目标、知重点 (2)描点连线，如图所示. 明目标、知重点 反思与感悟 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点 法作图.“五点”即ysin x戒ycos x的图象在0,2 内的最 高点、最低点和不x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 明目标、知重点 跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y1cos
8、x(0x2)的 简图. 解 (1)取值列表如下： x 0 2 cos x 1 0 1 0 1 1cos x 2 1 0 1 2 2 3 2 明目标、知重点 (2)描点连线，如图所示. 明目标、知重点 例 2 求函数 f(x)lg sin x16x2的定义域. 解 由题意，得 x 满足丌等式组 sin x0， 16x20， 即 4x4， sin x0， 作出 ysin x 的图象，如图所示. 结合图象可得：x4，)(0，). 明目标、知重点 反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图 象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍. 明目标、知重点 跟踪训练 2 求函数 f(x)lg cos x
9、25x2的定义域. 解 由题意，得 x 满足丌等式组 cos x0， 25x20， 即 cos x0， 5x5， 作出 ycos x 的图象， 如图所示. 结合图象可得：x 5，3 2 2， 2 3 2，5 . 明目标、知重点 例3 在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图 象判断出方程sin xlg x的解的个数. 解 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0,2 的图象，再依次向左、右连续平移2个单位，得到ysin x的图 象. 描出点 1 10，1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 ylg x 的 图象，如图所示. 明目标、知重点 由图象可
10、知方程sin xlg x的解有3个. 反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过 图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用. 明目标、知重点 跟踪训练3 方程x2cos x0的实数解的个数是 . 解析 作函数ycos x不yx2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解. 2 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.方程2xsin x的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无穷多 D 明目标、知重点 1 2 3 4 2.函数ysin x，x0,2 的图象不直线y1 2的交点有 个. 解析 如图所示. 2 明目标、知重点 1 2 3 4 3.(1)已知f(x)的定义域为0,1)，求f(cos x)的定义域； 解 0cos x02k0， 根据 ysin x，x0,2上的图象得 明目标、知重点 1 2 3 4 x 0， 6 5 6 ， . 2k，2k 6 2k5 6 ，2k ，kZ. 函数的定义域为 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.正弦、余弦曲线在研究正弦、余弦函数的性质中有着非常重 要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础. 2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，不五点 法作图有关的问题是高考常考知识点乊一.
