1、分层练透教材，多重拓展培优第二章相交线与平行线数学七年级下册北师过素养学科素养拓展训练过素养学科素养拓展训练相交线与平行线在现实生活中随处可见,同时它们又构成平面内两条直线位置的基本关系.通过本章的学习,有助于培养学生简单的推理能力、应用意识和创新意识.例如:第1题,借助辅助线,探究两平行线间角的关系,培养推理和探究能力;第2题,从实际生活中的简单场景出发,考查学生的应用意识和探究问题的能力,关注直观想象和逻辑推理.过素养学科素养拓展训练1.已知ABCD,试解决下列问题:(1)如图1,1+2的度数为;(2)如图2,1+2+3的度数为;(3)如图3,1+2+3+4的度数为;(4)如图4,1+2+
2、n的度数为.过素养学科素养拓展训练答案1.(1)180;(2)360;(3)540;(4)(n-1)180【解析】(1)因为ABCD,所以1+2=180.(2)如图1,过点E作EFAB,因为ABCD,所以ABCDEF,所以1+AEF=180,FEC+3=180,所以1+2+3=1+AEF+FEC+3=360.(3)如图2,过点E作EGAB,过点F作FHAB,因为ABCD,所以ABEGFHCD,所以1+AEG=180,GEF+EFH=180,HFC+4=180,所以1+2+3+4=1+AEG+GEF+EFH+HFC+4=540.(4)由(1)(2)(3),可知题图4中1+2+n=(n-1)180
3、.过素养学科素养拓展训练2.如图,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋的两端分别固定在A,C两点,点E是橡皮筋上的任意一点,拽动点E将橡皮筋拉紧,请你探索A,C,AEC之间的数量关系,并说明理由.答案2.【解析】分四种情况.如图1,AEC=A+C.理由如下:过点E作EFAB.因为ABCD,所以ABEFCD,所以A=1,C=2,所以1+2=A+C,所以AEC=A+C.过素养学科素养拓展训练答案如图2,A+C+AEC=360.理由如下:过点E作EGAB.因为ABCD,所以ABEGCD,所以1+A=180,2+C=180,所以1+A+2+C=360,所以A+C+AEC=360.如图3,
4、AEC=A-C.理由如下:过点E作EHAB.因为ABCD,所以ABEHCD,所以A=AEH,C=1,所以AEC=AEH-1=A-C.过素养学科素养拓展训练答案如图4,AEC=C-A.理由如下:过点E作EQAB.因为ABCD,所以ABEQCD,所以C+1=180,A+AEQ=180,所以C+1=A+AEQ,所以C-A=AEQ-1=AEC,所以AEC=C-A.过素养学科素养拓展训练3.与物理知识结合的平行线问题材料1:反射定律当入射光线AO照射到平面镜上时,将遵循平面镜反射定律,即反射角(BOM)的大小等于入射角(AOM)的大小,显然,这两个角的余角也相等,其中法线(OM)与平面镜垂直,并且满足入
5、射光线、反射光线(OB)与法线在同一个平面.材料2:平行逃逸角对于某定角AOB=(090),点P为边OB上一点,从点P发出一光线PQ(射线),BPQ=(090),当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射,当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时,称角为定角的n阶平行逃逸角,特别地,当光线PQ直接与OA平行时,称角为定角的0阶平行逃逸角.(1)已知AOB=20,如图1,若PQOA,则BPQ=,即该角为的0阶平行逃逸角;如图2,经过一次反射后的光线P1QOB,此时的BPP1为的1阶平行逃逸角,求BPP1的大小;若经过两次反射后的光线与OA平行,请补全图3,并直接写出的2阶平行逃逸角
6、为;过素养学科素养拓展训练(2)根据(1)的结论,猜想:对于任意角(090),其n(n为自然数)阶平行逃逸角=(用含n和的代数式表示).答案3.【解析】(1)20因为PQOA,所以BPQ=AOB=20.在题图2中,由反射定律,得AP1Q=PP1O.因为P1QOB,所以AP1Q=AOB=20,BPP1+QP1P=180,又因为AP1Q+PP1O+QP1P=180,所以BPP1=AP1Q+PP1O=2AOB=40.60补全图形如图所示.(2)(n+1)由(1)可知,的0阶平行逃逸角为,的1阶平行逃逸角为2,的2阶平行逃逸角为3 由此可以猜想,的n阶平行逃逸角为(n+1).过综合单元素养综合检测过综
7、合单元素养综合检测答案1.A【解析】因为ABCD,所以2+3=1=100.因为2=48,所以3=100-48=52.故选A.一、选择题1.2020广东实验中学期中如图是超市里购物车的侧面示意图,扶手AB与车底CD平行,1=100,2=48,则3的度数是()A.52B.48C.42D.62过综合单元素养综合检测答案2.C【解析】如图,因为射线PNc,所以MNP=90.因为ab,所以1=3,所以1+2=3+2=MNP=90,即1与2互余.故选C.2.2020江苏苏州吴中区期末如图,直线ab,直线c与直线a,b分别交于点M,N,射线NPc,则图中1与2一定满足的关系是()A.同位角B.相等C.互余D
8、.互补过综合单元素养综合检测答案3.B【解析】如图,由ABCD,易得1=A+C=45+60=105,2=B+D=75,所以1-2=30.故选B.3.2019四川南充模拟如图,把一副三角板放在桌面上,使两直角顶点重合,两条斜边平行,则1与2的差是()A.45B.30C.25D.20过综合单元素养综合检测答案4.D【解析】(1)作为已知条件,作为结论.如图,因为1=2,1=3,所以2=3,所以CEBD,所以C=ABD,又因为C=D,所以ABD=D,所以ACDF,所以A=F,故(1)成立.(2)作为已知条件,作为结论,如图,因为A=F,所以ACDF,所以ABD=D,又因为C=D,所以C=ABD,所以
9、CEBD,所以2=3,又因为1=3,所以1=2,故(2)成立.(3)作为已知条件,作为结论.如图,因为1=3,1=2,所以2=3,所以CEBD,所以C=ABD.因为A=F,所以ACDF,所以D=ABD,所以C=D,故(3)成立.故选D.4.2019四川成都七中实验学校模拟如图,1=2;C=D;A=F.从三个条件中选出两个作为已知条件,剩余一个作为结论,其中成立的个数为()A.0B.1C.2D.3过综合单元素养综合检测5.2020河北邢台一模下面是黑板上出示的尺规作图题,则符号代表的内容正确的是()A.表示点EB.表示PQC.表示OQD.表示射线EF如图,已知AOB.求作:DEF,使DEF=AO
10、B.作法:(1)以为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;(2)作射线EG,并以点E为圆心,长为半径画弧,交EG于点D;(3)以点D为圆心,长为半径画弧,交第(2)步中所画弧于点F;(4)作,DEF即所求作的角.答案5.D过综合单元素养综合检测6.2020山西大同期末学习平行线后,张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,他是通过折一张半透明的纸得到的.观察图1图4,经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即过点P与已知直线a平行的直线.由操作过程可知张明画平行线的依据有()同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.A
11、.B.C.D.答案6.D【解析】由操作过程可知,aAB,CDAB,所以可以利用同位角相等,两直线平行或内错角相等,两直线平行或同旁内角互补,两直线平行,判定CDa.故选D.过综合单元素养综合检测答案7.10【解析】如图,因为AEBD,所以BAE+ABD=180.因为BAE=40,DBC=50,所以ABC=90,所以CBAB,所以BC的长即点C到直线AB的距离,所以点C到直线AB的距离为10m.二、填空题7.2019江苏苏州期末如图,点B在点A北偏东40方向,点C在点B北偏西50方向,BC=10m,则点C到直线AB的距离为m.过综合单元素养综合检测答案8.115【解析】因为EOCD,所以COE=
12、90,所以AOC+BOE=90,又因为BOE AOC=4 5,所以AOC=50,又因为OF平分AOC,所以COF=25,所以EOF=COF+COE=25+90=115.8.2019河南模拟如图,直线AB与CD相交于点O,EOCD于点O,OF平分AOC.若BOE AOC=4 5,则EOF为.过综合单元素养综合检测答案9.100【解析】如图,3=100,当4=3=100时,可得CDEF.因为1=120,所以5=60.因为2=5=60,所以ABCD,所以ABEF.9.2020山东济南章丘区期末如图,1=120,2=60,3=100,则4=时,ABEF.过综合单元素养综合检测答案10.146【解析】因
13、为l1l2,所以BAD+ABC=180.因为BAD=136,所以ABC=44.因为BD平分ABC,所以DBC=22.因为l1l2,所以ADB=DBC=22,ADC+BCD=180.因为BDCD,所以BDC=90,所以BCD=180-ADC=180-(ADB+BDC)=68.因为CE平分DCB,所以ECB=34.因为l1l2,所以AEC+ECB=180,所以AEC=146.10.如图,l1l2,点A,E,D在直线l1上,点B,C在直线l2上,并且满足BD平分ABC,BDCD,CE平分DCB,若BAD=136,则AEC=.过综合单元素养综合检测三、解答题11.2020辽宁沈阳沈河区期末把下面的说明
14、过程补充完整.已知:如图,1+2=180,3=B.试判断AED与4的关系,并说明理由.解:AED=4.理由如下:因为1+BDF=180(),1+2=180(已知),所以2=BDF(),所以EFAB(),所以3=ADE().因为3=B(已知),所以B=,所以DEBC(),所以AED=ACB(),又因为ACB=4(),所以AED=4.过综合单元素养综合检测答案11.【解析】平角的定义同角的补角相等内错角相等,两直线平行两直线平行,内错角相等ADE同位角相等,两直线平行两直线平行,同位角相等对顶角相等过综合单元素养综合检测过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案13.【解析】(1)因为A
15、MBN,所以ABN+A=180,又因为A=60,所以ABN=180-60=120,即ABP+PBN=120.因为BC,BD分别平分ABP和PBN,所以ABP=2CBP,PBN=2DBP,13.2019湖南衡阳一中模拟如图,已知AMBN,A=60,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分ABP和PBN,交射线AM于点C,D.(1)求CBD的度数.(2)当点P运动时,APB ADB的值是否随之变化?若不变,请求出这个值;若变化,请找出变化规律.(3)当点P运动到使ACB=ABD时,求ABC的度数.过综合单元素养综合检测答案所以2CBP+2DBP=120,所以CBD=CBP+DBP=60.(2)不变.因为AMBN,所以APB=PBN,ADB=DBN.因为BD平分PBN,所以PBN=2DBN,所以APB=2ADB,所以APB ADB=2.(3)因为AMBN,所以ACB=CBN.当ACB=ABD时,ABD=CBN.因为ABD=ABC+CBD,CBN=CBD+DBN,所以ABC=DBN.由(1)可知ABN=120,CBD=60,所以ABC+DBN=ABN-CBD=60,所以ABC=30.
