1、分层练透教材，多重拓展培优第一章 特殊平行四边形数学九年级上册北师过素养学科素养拓展训练专题 特殊平行四边形与图形变换专项素养拓训过素养学科素养拓展训练1.2019湖北黄石八校联考如图,在RtABC中,B=90,AC=60 cm,A=60,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动.设点D,E运动的时间是t s(0t15).过点D作DFBC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由
2、.类型1特殊平行四边形中的动点问题过素养学科素养拓展训练答案类型1特殊平行四边形中的动点问题过素养学科素养拓展训练答案类型1特殊平行四边形中的动点问题过素养学科素养拓展训练2.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)
3、中的结论还成立吗?请说明理由.类型1特殊平行四边形中的动点问题过素养学科素养拓展训练答案2.【解析】(1)AE=DF,AEDF.理由如下:四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADC=C=90.DE=CF,ADE DCF,AE=DF,DAE=CDF.CDF+ADF=90,DAE+ADF=90.APD=90,AEDF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可证AE=DF,DAE=CDF.如图,延长FD交AE于点G,则CDF+ADG=90,ADG+DAE=90,AGD=90,AEDF.类型1特殊平行四边形中的动点问题求解运动问题时,往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解.过素养学科素养拓展训
4、练3.如图,在菱形ABCD中,A=120,E是AD上的点,沿BE折叠ABE,点A恰好落在BD上的点F处,那么BFC的度数是()A.60B.70C.75D.80答案类型2特殊平行四边形中的折叠问题过素养学科素养拓展训练4.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D的位置,则重叠部分AFC的面积为()A.12B.10C.8D.6答案类型2特殊平行四边形中的折叠问题过素养学科素养拓展训练5.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把矩形沿AE折叠,使点B落在点B处.当CEB为直角三角形时,BE的长为 .答案类型2特殊平行四边形中的折叠问
5、题过素养学科素养拓展训练6.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点,将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:APB=BPH.(2)当点P在边AD上移动(不与点A、点D重合)时,PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.答案6.【解析】(1)由折叠的性质,得EPH=EBC=90,PE=BE,EBP=EPB,EPH-EPB=EBC-EBP,即PBC=BPH.ADBC,APB=PBC,APB=BPH.类型2特殊平行四边形中的折叠问题过素养学科素养拓展训练答案类型2特殊平行四边形中的折叠问题过素养学科素养拓
6、展训练类型3特殊平行四边形中的旋转问题过素养学科素养拓展训练答案7.【解析】(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,AD=AB,DAG=BAE=90,AG=AE,ADG ABE,AGD=AEB.如图1,延长EB交DG于点H.在ADG中,AGD+ADG=90,AEB+ADG=90,DHE=180-(AEB+ADG)=90,DGBE.(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,AD=AB,DAB=GAE=90,AG=AE,DAB+BAG=GAE+BAG,DAG=BAE,又AD=AB,AG=AE,ADG ABE,DG=BE.类型3特殊平行四边形中的旋转问题过素养学科素养拓展训练答案类型3特殊
7、平行四边形中的旋转问题过素养学科素养拓展训练8.已知:正方形ABCD中,MAN=45,将MAN绕点A接顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN.(2)当MAN绕点A旋转到BMDN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是.(3)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明.类型3特殊平行四边形中的旋转问题过素养学科素养拓展训练答案8.【解析】(1)如图1,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE.易证ABE ADN,BAE=D
8、AN,AE=AN,EAN=BAE+BAN=DAN+BAN=90,MAN=45,EAM=MAN,又AM=AM,AEM ANM,ME=MN,即BM+BE=MN,BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN类型3特殊平行四边形中的旋转问题过素养学科素养拓展训练答案(3)DN-BM=MN.理由如下:如图2,在DC上截取DE=BM,连接AE.易证ADE ABM,DAE=BAM,AE=AM,EAM=BAM+BAE=DAE+BAE=90,MAN=45,EAN=MAN,又AN=AN,MAN EAN,EN=MN,即DN-DE=MN,DN-BM=MN.类型3特殊平行四边形中的旋转问题综合素养拓训过素养学科素养拓展训练
9、发展核心素养,有助于学会用数学的眼光观察现实世界,所谓数学的眼光,就是数学抽象,而数学抽象中就包括几何直观.第1题在探究线段之间的数量关系时,注重对比训练,研究正方形中的解题思路在菱形中是否仍然适用,关注核心素养中的逻辑推理;第2题研究运动过程中的恒等关系,在直观想象中蕴含着抽象、推理,表明核心素养不是相互独立的,而是相互“渗透”的.过素养学科素养拓展训练1.与正方形有关的探究性问题如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,连接PA,PC,PE,且PA=PE,PE交CD于点F.(1)证明:PC=PE.(2)求CPF的度数.(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形A
10、BCD,其他条件不变,当ABC=120时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.过素养学科素养拓展训练答案1.【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=BC,ABP=CBP=45,在ABP和CBP中,AB=CB,ABP=CBP,PB=PB,ABP CBP,PA=PC.PA=PE,PC=PE.(2)由(1)知ABP CBP,BAP=BCP,DAP=DCP.PA=PE,DAP=E,DCP=E.CFP=EFD,180-PFC-PCF=180-DFE-E,CPF=EDF=90.过素养学科素养拓展训练答案(3)AP=CE.理由如下:在菱形ABCD中,AB=CB,ABP=CBP=60,B
11、AD=BCD.在ABP和CBP中,AB=CB,ABP=CBP,PB=PB,ABP CBP,AP=CP,BAP=BCP,DAP=DCP.AP=EP,CP=EP,DAP=AEP,DCP=AEP.CFP=EFD,180-CFP-DCP=180-EFD-AEP,CPF=EDF=180-ADC=180-120=60,EPC是等边三角形,CP=CE,AP=CE.过素养学科素养拓展训练2.正方形与图形旋转已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作EFBD交BC于点F,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG.(1)如图1,求证:EG=CG.(2)将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转45,如图2,
12、取DF的中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图1中的BEF绕点B逆时针旋转任意角度,如图3,取DF的中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)过素养学科素养拓展训练答案过综合单元素养综合检测过综合单元素养综合检测答案1.B【解析】如图,A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),OA=OC,OB=OD,四边形ABCD为平行四边形,又BDAC,四边形ABCD为菱形.故选B.一、选择题1.2019广西北海期末平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-
13、3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对过综合单元素养综合检测答案2.2019江苏常州金坛区期中如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,AEBD于点F,则线段AF的长是()A.3B.2.5C.2.4D.2过综合单元素养综合检测答案3.A【解析】四边形AEFG是正方形,AEF=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,C=BAD,EAD=180-AEC=180-90-15=75,BAD=40+75=115,C=115.故选A.3.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作正方形AEFG,若BAE=
14、40,CEF=15,则C的度数是()A.115B.105C.75D.65过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案5.C【解析】顺次连接平行四边形ABCD各边中点,利用三角形中位线性质可得,新的四边形是平行四边形.若ACBD,则利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判定新的四边形是矩形;四边形ABCD是平行四边形,AO=OC,BO=DO,ABO的周长等于CBO的周长,AB=BC,根据等腰三角形的性质可知BOAC,BDAC,同可判定新的四边形是矩形;四边形ABCD是平行四边形,CBO=ADO,DAO=CBO,ADO=DAO,AO=OD,AC=BD,可利用“有一组邻边相等的平行四边形是
15、菱形”判定新的四边形是菱形,不符合题意;在平行四边形ABCD中,DAO=BAO,易得平行四边形ABCD是菱形,ACBD,同可判定新的四边形是矩形.符合题意.故选C.5.2019上海普陀区二模如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,顺次连接平行四边形ABCD各边中点得到一个新的四边形,给出下列四个条件:ACBD;ABO的周长等于CBO的周长;DAO=CBO;DAO=BAO.如果从中选择一个条件可以使这个新的四边形成为矩形,那么这样的条件个数是()A.1B.2C.3D.4过综合单元素养综合检测答案6.如图,在矩形ABCD内有一点F,BF与CF分别平分ABC和BCD,点E为矩形ABCD外
16、一点,连接BE,CE.给出下列四个条件:BECF,CEBF;BE=CE,BE=BF;BECF,CEBE;BE=CE,CEBF.其中能判定四边形BFCE是正方形的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个过综合单元素养综合检测答案7.30【解析】四边形ABCD为菱形,BC=CD,BCA=DCA,又CE=CE,BEC DEC,EDC=1.1+2=75,EDC+2=75,AED=EDC+2=75,BED=2AED=150,3=30.二、填空题7.2019天津和平区一模如图,菱形ABCD中,点E是对角线AC上一点,BE的延长线交边CD于点F.若1+2=75,则3的度数为 .过综合单元素养综合检测答案8.
17、8.小明在探究“四边形的不稳定性”活动中,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,如图所示.扭动矩形框架,观察矩形ABCD的变化,有下列判断:四边形ABCD由矩形变为平行四边形;A,C两点之间的距离不变;四边形ABCD的面积不变;四边形ABCD的周长不变.其中正确的是 .(填序号)过综合单元素养综合检测答案9.如图,MON=90,矩形ABCD的顶点C,D分别在射线ON,OM上滑动,AB=9,BC=6,在滑动过程中,点A到点O的最大距离为 .过综合单元素养综合检测答案10.【解析】在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,连接PM,QN,若PM与QN均经过点O,则四边形MNPQ为平行四边形
18、,此时若PM=QN,则四边形MNPQ为矩形;若PMQN,则四边形MNPQ为菱形.有的矩形不存在以点M,N,P,Q为顶点的正方形.故正确的结论是.10.2019北京中考在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.过综合单元素养综合检测三、解答题11.2018新疆乌鲁木齐中考如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点
19、F.(1)求证:四边形AECD是菱形.(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案12.2019江苏无锡期中如图,边长为8的正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是AB边上一动点,MEAO,MFBO.(1)求证:四边形OEMF为矩形.(2)连接EF,求EF的最小值.过综合单元素养综合检测13.如图1,在正方形ABCD中,点E为AB上的点(不与A,B重合),ADE与FDE关于DE对称,作射线CF,与DE的延长线相交于点G,连接AG.(1)当ADE=15时,求DGC的度数;(2)若点E在AB上移动,请你判断DGC的度数是否发生变化,若不变化,
20、请证明你的结论;若会发生变化,请说明理由;(3)如图2,点F在对角线BD上,点M为DE的中点,连接AM,FM,请判断四边形AGFM的形状,并证明结论.过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测14.2019江苏南京秦淮区期末已知:如图,在 ABCD中,G,H分别是AD,BC的中点,E,O,F均是对角线BD上的四等分点,顺次连接G,E,H,F.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形.(2)当 ABCD满足条件时,四边形GEHF是菱形.(3)若BD=2AB,探究四边形GEHF的形状,并说明理由.当AB=2,ABD=120时,直接写出四边形GEHF的面积.过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案过综合单元素养综合检测答案
