1、比例线段的相关概念及性质平行线分线段成比例相似三角形（含位似）相似三角形的判定与性质图形的位似相似多边形比例线段和比例中项黄金分割比例的性质基本事实推论判定性质概念性质概念作图步骤性质【课标要求】【课标要求】了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；解黄金分割；掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；了解相似三角形的性质定理和判定定理；了解相似三角形的性质定理和判定定理；通过具体实例认识图形的相似，了解相似
2、多边形的相似比；通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形的相似比；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小【对接教材】【对接教材】冀教：九上第二十五章冀教：九上第二十五章P57P102；人教：九下第二十七章人教：九下第二十七章P23P55；北师：九上第四章北师：九上第四章P75P123.2_b 线段线段的比的比两条线段的比是两条线段的长度之比两条线段的比是两条线段的长度之比比例比例中项中项如果如果 ，即，即 ,我们就把我们就把b叫做叫做a、c的比例中
3、项的比例中项考点考点1比例线段的相关概念及性质比例线段的相关概念及性质1.1.比例线段和比例中项比例线段和比例中项acabbc=_acabbdb _(0)acbc bdbd 、基本基本性质性质合比合比性质性质等比等比性质性质2.比例的性质比例的性质=(+0)acmb dnbdn 图示图示合比合比性质性质如图，点如图，点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC，如果，如果 ，那么称线那么称线段段AB被点被点C黄黄金分割，点金分割，点C叫做线段叫做线段AB的黄金分割点，的黄金分割点，AC和和AB的比叫做的比叫做黄金比，即黄金比，即 或或AC0.618AB，0.3823.黄金分割黄金分
4、割ACBCABAC 512ACAB BCAB【提分要点】【提分要点】(1)一条线段上有两个黄金分割点一条线段上有两个黄金分割点(2)黄金分割在生活问题中的体现，如：黄金分割在生活问题中的体现，如：a.古希腊著名的古希腊著名的“断臂维纳斯断臂维纳斯”的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是是 ；b.某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，相邻两片叶子之间成某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，相邻两片叶子之间成137.5的夹角，二者恰好将水平面的夹角，二者恰好将水平面360分成分成1 0.618(0.618)的两部分，的两部分，植物
5、的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利；植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利；c.黄金矩形的宽与长之比为黄金矩形的宽与长之比为512 137.5360137.5 512 图示图示基本基本事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，两条直线两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，两条直线AC，DF被三条互相平行的直线被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则所截，则余弦余弦平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对应线段，所得的对应线段成比例，如图，在成比例，如图，在ABC中，
6、因为中，因为DEBC，所以，所以 ，也可以说，也可以说考点考点2平行线分线段成比例平行线分线段成比例图图ABDEBCEF ADAEDBEC ADDBAEEC 判定判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线或它们的延长线)相交，所截得的三角相交，所截得的三角形与原三角形相似；形与原三角形相似；2.三边三边_的两个三角形相似；的两个三角形相似；3.两边对应成比例且两边对应成比例且_相等的两个三角形相似；相等的两个三角形相似；4._分别相等的两个三角形相似；分别相等的两个三角形相似；5.直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似直角边和斜边对应成比例的两
7、个直角三角形相似性质性质1.相似三角形的相似三角形的_相等；相等；2.相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；3.相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于_，面积比等于，面积比等于_考点考点3相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质对应成比例对应成比例夹角夹角两角两角对应角对应角相似比相似比相似比的平方相似比的平方【提分要点】判定思路：【提分要点】判定思路：1.1.有平行截线有平行截线用平行线的性质，找等角用平行线的性质，找等角2.2.有一对等角，找有一对等角，找3.3.有两边对应成比例，找
8、有两边对应成比例，找 另另一一对对等等角角该该角角的的两两边边对对应应成成比比例例 夹夹角角相相等等第第三三边边也也对对应应成成比比例例概念概念对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比对应边的比叫做它们的相似比性质性质1.相似多边形的对应角相似多边形的对应角_；2.相似多边形的对应边相似多边形的对应边_；3.相似多边形的周长比相似多边形的周长比_相似比，面积比等相似比，面积比等_考点考点4相似多边形相似多边形相等相等成比例成比例等于等于相似比的平方相似比的平方概念概念如果两个图形不仅相
9、似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，对应顶点所在平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比性质性质1.1.两个图形必须是两个图形必须是_图形；图形；2.2.对应点的连线都经过同一点；对应点的连线都经过同一点；3.3.对应边平行或在同一直线上对应边平行或在同一直线上作图作图步骤步骤1.1.确定位似中心；确定位似中心；2.2.确定原图形中各顶点关于位似中心位似的对应点；
10、确定原图形中各顶点关于位似中心位似的对应点；3.3.描出新图形描出新图形考点考点5图形的位似图形的位似相似相似模型一模型一 A 字型字型模型模型展示展示1.正正A字型：当有一组对应边平行字型：当有一组对应边平行(DEBC)时，根据同位角相等可得到另外一时，根据同位角相等可得到另外一组对应角相等，得这两个三角形相似，为正组对应角相等，得这两个三角形相似，为正A字型字型模型分析模型分析线簇型：线簇型：DEBC模模型型展展示示2.斜斜A字型：当字型：当对对应边都不平行应边都不平行(DE与与BC不平行不平行)时，根据条件找另外一组对时，根据条件找另外一组对应角相等或者公共角的两边对应成比例，得这两个三
11、角形相似，为斜应角相等或者公共角的两边对应成比例，得这两个三角形相似，为斜A字型字型图图图图(双垂直共角共线型，双垂直共角共线型，也称射影定理型也称射影定理型)模型模型特点特点两个三角形有一个公共角两个三角形有一个公共角BAC结论结论1.通用结论：通用结论：ADEABC或或ADEACB；2.共角共边特殊结论：如图、，共角共边特殊结论：如图、，AC2ADAB；3.双垂直共角共线型特殊结论：如图，双垂直共角共线型特殊结论：如图，BCDBAC，BC2BDBA注：注：A字型中，当没有说明对应角的关系时，需分字型中，当没有说明对应角的关系时，需分AEDB或或AEDC两种情况讨论两种情况讨论.例例1如图，
12、在如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，上的点，AE4，AB6，AD AC2 3，ABC的角平分线的角平分线AF交交DE于点于点G，交，交BC于点于点F.则则 _例1题图2AGGF模型二模型二8字型字型模型模型展示展示1.正正8字型：当有一组对应边平行字型：当有一组对应边平行(ABCD)时，根据内错角相等可得到另时，根据内错角相等可得到另外一组对应角相等，得这两个三角形相似，为正外一组对应角相等，得这两个三角形相似，为正8字型字型模型分析模型分析线簇型：线簇型：ABCD模型模型展示展示2.斜斜8字型字型(蝴蝶型蝴蝶型)：当对应边都不平行：当对应边都不平行(AB与与CD不平行
13、不平行)时，根据条件找另外时，根据条件找另外一组对应角相等或者对顶角的两边对应成比例，得这两个三角形相似，为斜一组对应角相等或者对顶角的两边对应成比例，得这两个三角形相似，为斜8字型字型模型模型特点特点有一组角为对顶角有一组角为对顶角结论结论1AOBDOC；2ABODCO，AEODFO，BEOCFO注：注：8字型中，当没有说明对应角的关系时，需分字型中，当没有说明对应角的关系时，需分BC或或BD两种两种情况讨论情况讨论.例例2如图，如图，ABCD的对角线的对角线AC、BD交于点交于点O，点，点E为为BC的中点，连接的中点，连接AE交交BD于点于点F，若，若OF1，则，则BF的长为的长为()A.
14、2 B.3 C.D.4 练习2题图A32模型三一线三等角型模型三一线三等角型(也称也称K型型)一、一线三等角基本模型一、一线三等角基本模型模型模型展示展示1.点点P在线段在线段AB上上模型分析模型分析锐角锐角钝角钝角模型模型展示展示2.点点P在线段在线段AB的延长线上的延长线上模型模型特点特点123解题解题思路思路通过三角形内外角关系、内角和、直角三角形的两锐角互余的性质找另外通过三角形内外角关系、内角和、直角三角形的两锐角互余的性质找另外一组对应角相等一组对应角相等结论结论ACPBPD.当点当点P为线段为线段AB的中点时，连接的中点时，连接CD，则，则ACPBPDPCD例例3如图，在等边如图
15、，在等边ABC中，中，P为为BC上一点，上一点，D为为AC上一点，且上一点，且APD60，BP2，CD1，则，则ABC的边长为（的边长为（）A.3 B.4 C.5 D.6例3题图B二、一线三垂直型二、一线三垂直型模型模型展展示示及结及结论论模型分析模型分析RtABDRtCEBRtAFDRtCEBRtGFBRtABDRtCEB模型模型特点特点题干条件：已知三个直角题干条件：已知三个直角图形特点：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂直图形特点：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂直解题解题思路思路判定三角形相似的关键：利用直角三角形两锐角互余的性质得一组对应角相判定
16、三角形相似的关键：利用直角三角形两锐角互余的性质得一组对应角相等等注：当直角没有确定时，应分情况讨论注：当直角没有确定时，应分情况讨论例例4如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB2，BC3，若点，若点E是边是边CD的中点，连接的中点，连接AE，过，过点点B作作BFAE于点于点F，则，则BF的长为的长为_ 例4题图3 105模型四手拉手模型模型四手拉手模型模型展示及结论模型展示及结论模型特点模型特点共顶点，等顶角，共顶点，等顶角，BD、CE为拉手线为拉手线解题思路解题思路找角相等或两边对应成比例及其夹角相等找角相等或两边对应成比例及其夹角相等模型分析模型分析ADEABCABDACEABDA
17、CEABDACE例例5如图，在如图，在ABC与与ADE中，中，ACBAED90，ABCADE，连，连接接BD、CE，若，若 ，则，则 ()A.B.C.D.例5题图A34ACBC BDCE 5343522 33练习练习1(2020营口营口)如图，在如图，在ABC中，中，DEAB，且，且 ，则，则 的值为的值为()A.B.C.D.练习1题图A32CDBD CECA35234532练习练习2(2020潍坊潍坊)如图，点如图，点E是是 ABCD的边的边AD上的一点，且上的一点，且 ，连接，连接BE并并延长交延长交CD的延长线于点的延长线于点F.若若DE3，DF4，则，则 ABCD的周长为的周长为()A
18、.21B.28C.34D.42练习2题图C12DEAE 练习3题图练习练习3如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E是是BC的中点，连接的中点，连接AE，过点，过点E作作EFAE交交DC于于点点F.若若AB4，BC6，则，则CF的长为的长为()AA.B.C.D.194332练习练习4如图，在等腰如图，在等腰RtABC中，中，BAC90，BC ，E为为AB上一点，以上一点，以CE为斜边作等腰为斜边作等腰RtCDE，连接，连接AD，若，若ACE30，则，则AD的长为的长为_.练习4题图23 266 命题点命题点1相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质(10年年11考，其中考，其中4次单独考
19、查次单独考查)1.(2017河北河北7题题3分分)若若ABC的每条边长增加各自的的每条边长增加各自的10%得得ABC，则，则B的度的度数与其对应角数与其对应角B的度数相比的度数相比()A.增加了增加了10%B.减少了减少了10%C.增加了增加了(110%)D.没有改变没有改变 D2.(2016河北河北15题题2分分)如图，如图，ABC中，中，A78，AB4，AC6.将将ABC沿图沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()C命题点命题点2与位似有关的证明与计算与位似有关的证明与计算(10年年3考考)3.(2020河北河北8题题
20、3分分)在如图所示的网格中，以点在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形为位似中心，四边形ABCD的位的位似图形是似图形是()A.四边形四边形NPMQ B.四边形四边形NPMRC.四边形四边形NHMQ D.四边形四边形NHMRA第3题图泰勒斯泰勒斯测金字塔高测金字塔高(2020山西山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推证明泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的()A.图形的平移图形的平移 B.图形的旋转图形的旋转C.图形的轴对称图形的轴对称D.图形的相似图形的相似D题图
