1、第第2323讲与圆有关的位置关系讲与圆有关的位置关系第六单元第六单元内容索引考点梳理整合考点梳理整合安徽真题体验安徽真题体验考法互动研析考法互动研析安徽真题体验安徽真题体验命题点1切线的性质1.提示:见第22讲第3题.2.(2018安徽,12,5分)如图,在菱形ABOC中AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=_.答案 60 命题点2直线与圆的位置关系3.(2012安徽,9,4分)如图,A点在半径为2的O上,过线段OA上的一点P作直线l,与O过A点的切线交于点B,且APB=60,设OP=x,则PAB的面积y关于x的函数图象大致是()答案 D 命题点3三角形的外接圆4.(
2、2013安徽,10,4分)如图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形B.当APC是等腰三角形时,POACC.当POAC时,ACP=30D.当ACP=30时,BPC是直角三角形答案 C 解析 考点梳理整合考点梳理整合 K考点清单考点清单考点一与圆有关的位置关系(低频考点)1.点与圆的位置关系.点和圆的位置关系有三种,分别是:点在圆外、点在圆上和点在圆内.设圆的半径为r,平面内任意一点到圆心的距离为d,则(1)点在圆外dr,如点A;(2)点在圆上d=r,如点B;(3)点在圆内drd=rdr考点二切线的性质与判定(高频考点)1.切线
3、的定义:直线与圆只有一个公共点,这时称直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意:(1)若题目中明确了为切线的直线与圆有交点,则连接这个交点和圆心即得半径,应用切线的判定定理证明半径与这条直线垂直即可.(2)当直线和圆的公共点没有确定时,具体操作过程为,过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.3.切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.注意:(1)圆的切线与圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.(3)“有切线,连半径,得垂直”,这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法.考点三三角形的外
4、接圆与内切圆(低频考点)图形内心、外心性质外接圆三边垂直平分线的交点叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等内切圆三条内角平分线的交点叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等考法互动研析考法互动研析考法1与圆有关的位置关系例1(2019安徽合肥长丰二模)如图,直线y=x+2与x轴,y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是()A.2B.3C.4D.5答案 B 方法总结 直线与圆的位置关系:圆心到直线的距离大于圆的半径,直线与圆相离;圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与圆相
5、切;圆心到直线的距离小于圆的半径,直线与圆相交,反之也成立.对应练1(2020安徽模拟)若A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),那么点P的位置为()A.在A内B.在A上C.在A外D.不能确定答案 A 对应练2(2020广东广州)如图,在RtABC中,C=90,AB=5,cosA=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定答案 B 考法2切线性质与判定例2(2020安徽合肥三模)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的O交AC于点E,O的切线DE交BC于点F,交AB的延长线于点D.(1)若BD=2
6、,DE=4,求O的半径;(2)求证:BF=CF.(1)解 如图,连接OE,DE为O的切线,OEF=90.设O半径为x,则OB=OE=x,BD=2,OD=OB+BD=x+2.在RtDEO中,OE2+DE2=OD2,x2+42=(x+2)2,解得x=3,即O的半径为3.(2)证明 连接BE,如图,AB为O的直径,AEB=90,CEB=90,CBE+C=90,CEF+FEB=90.ABC=90,BC为O的切线.DE为O的切线,BF=EF,CBE=BEF.C=CEF,CF=EF,BF=CF.方法总结(1)过切点作半径,把切线条件转化为垂直条件.(2)用过交点的半径与直线的位置关系来判断:如果已知直线和
7、圆有公共点,过该点作半径,判断该半径与直线是否垂直,若垂直,则相切;若不垂直,则相交.(3)通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断:如果不知道直线和圆有无公共点,则过圆心作直线的垂线,根据该垂线段的长与半径长的大小关系判定即可.(4)用直线与圆的交点个数来判断:如果直线与圆只有一个公共点,则直线与圆相切;如果直线与圆有两个公共点,则直线与圆相交,如果直线与圆没有公共点,则直线与圆相离.对应练3(2020四川凉山州)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分BAC交半圆于点D,过点D作DHAC与AC的延长线交于点H.(1)求证:DH是半圆的切线;(1)证明 连接OD,OA=OD
8、,DAO=ADO.AD平分BAC,CAD=OAD,CAD=ADO,AHOD.DHAC,ODDH,DH是半圆的切线.(2)解 连接BC交OD于E,AB是半圆AOB的直径,ACB=90.ANODODBC,H=HCE=DEC=90,四边形CEDH是矩形.AB=12,即半圆的直径为12.考法3三角形的外接圆与内切圆例3(2020四川达州)已知ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+a2-8a=,则ABC的内切圆半径=_.答案 1 对应练4(2020安徽芜湖二模)如图,ABC内接于O,BDAC于点E,连接AD,OFAD于点F,D=45.若OF=1,则BE的长为_.对应练5(2020安徽合肥肥东县一模)
9、如图,P为等腰ABC内一点,AB=BC,BPC=108,D为AC中点,BD与PC相交于点E,已知P为ABE的内心.(1)求证:PEB=60;(2)求PAC的度数.(1)证明 因为点P为ABE内心,所以PB,PE,PA分别是ABE,AEB,BAE的角平分线,即PBE+PEB+PAE=90.又BPC=108,所以PBE+PEB=72,所以PAE=18,BAE=36.因为AB=BC,且D是AC中点,所以ABE=CBE.又BE=BE,AB=CB,所以ABE CBE(SAS),即BCE=36.又BPC=108,所以CBP=36.又CBE=ABE=2PBE,所以CBE=24,所以PEB=BCE+CBE=60.(2)解 由(1)ABE CBE,所以BEC=BEA.易知CED=AED=PEB=60,所以EAD=30,所以PAC=30+18=48.
