1、第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录思维导图思维导图返回目录返回目录圆锥、圆柱的相关计算弧长与面积的计算与圆有关的计算圆锥圆柱弧长公式面积公式第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点精讲考点精讲【对接教材】【对接教材】人教人教：九上第二十四章九上第二十四章P111-P120；北师：北师：九下第三章九下第三章P100-P102.第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录弧长与面弧长与面积的计算积的计算圆的周长：圆的周长：C_弧长：弧长：l_面积公式面积公式弧长公式弧长公式圆的面积：圆的面积
2、：S_扇形的面积：扇形的面积：S扇形扇形 _2360n r r为圆的半径，为圆的半径，n为弧所对的圆心为弧所对的圆心角的度数，角的度数，l是扇是扇形的弧长形的弧长2r180n rr212lr第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录圆锥、圆锥、圆柱圆柱的相关的相关计算计算名称名称示意图示意图面积、周长、面积、周长、体积体积特征特征圆锥圆锥S底面圆底面圆=r2C底面圆底面圆=2rV圆锥圆锥 r2h1.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线母线l、底面圆的半径、底面圆的半径r和圆锥的高和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系为这三个
3、量之间的数量关系为r2+h2=l2；2.圆锥的侧面展开图是扇形；圆锥的侧面展开图是扇形；3.圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长即扇形的弧长即2r=；4.圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径的半径13180n l第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录圆锥、圆锥、圆柱圆柱的相关的相关计算计算名称名称示意图示意图面积、周长、体积面积、周长、体积特征特征圆柱圆柱S圆柱圆柱侧侧=_S圆柱全圆柱全=2rh2r2V圆柱圆柱r2h侧面展开图为矩形侧面展开图为矩形2rh第三节第三节 与圆有关的计
4、算与圆有关的计算返回目录返回目录全国视野全国视野 核心素养提升核心素养提升第1题图1.（2019资阳）如图，直径为资阳）如图，直径为2cm的圆在直线的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为面积为()()A.5 B.6 C.20 D.24A第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录第2题图2.如图，用一个半径为如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了旋转了108，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()()A.cm B.2c
5、m C.3cm D.5cmC第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录第3题图3.（数学文化）（数学文化）（2020昆明五华区一模）如图所示，分别以等边三角形的每个顶昆明五华区一模）如图所示，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为若等边三角形的边长为a,则勒洛三角形的周长为则勒洛三角形的周长为_.a第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录第4题图4.（数学文化）（数学文化）（2019
6、湘潭）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，湘潭）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 (弦矢弦矢+矢矢2).).弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦弦”指圆弧所指圆弧所对弦长，对弦长，“矢矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC弦弦AB时，时，OC平分平分AB）可以求解）可以求解.现已知弦现已知弦AB=8米，半径等于米，半径等于5米的弧田，米
7、的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为按照上述公式计算出弧田的面积为_平方米平方米.1210第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录玩转云南玩转云南8年中考真题年中考真题弧长与扇形的相关计算弧长与扇形的相关计算（省卷省卷2考考，昆明卷，昆明卷2考考）命题点命题点11.（2014省卷省卷7题题3分分）已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为45，半径长为，半径长为12，则该扇形的弧长，则该扇形的弧长为（为（）A.B.2 C.3 D.1234C2.(.(2015省卷省卷8题题3分分)若扇形的面积为若扇形的面积为3,圆心角为圆心角为60,则该扇形的半径为则该扇形的半径为()()A.3
8、B.9 C.23 D.32D第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录3.(.(2016昆明卷昆明卷12题题4分分)如图，如图，AB为为O的直径，的直径，AB=6,AB弦弦CD,垂足为垂足为G，EF切切O于点于点B，A=30,连接连接AD,OC,BC.下列结论不正确的是下列结论不正确的是()()A.EFCD B.COB是等边三角形是等边三角形 C.CG=DG D.的长为的长为 第3题图BC32D第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录4.（2020昆明卷昆明卷5题题3分）如图，边长为分）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点的正六边形螺帽，中心为点O,O
9、A垂直平分边垂直平分边CD,垂足为垂足为B,AB=17cm,用扳手拧动螺帽旋转用扳手拧动螺帽旋转90，则点，则点A在该过程在该过程中所经过的路径长为中所经过的路径长为_cm.第4题图103第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录圆锥的相关计算圆锥的相关计算（省卷省卷3考，昆明卷考，昆明卷2013.13）命题点命题点25.(.(2017昆明卷昆明卷13题题3分分源于人教九上源于人教九上P116第第10题题)如图如图,从直径为从直径为4cm的圆形纸的圆形纸片中片中,剪出一个圆心角为剪出一个圆心角为90的扇形的扇形OAB,且点且点O，A，B在圆周上在圆周上,把它围成一个圆把它围成一
10、个圆锥锥,则圆锥的底面圆的半径是则圆锥的底面圆的半径是_cm.第5题图226.（2019省卷省卷11题题4分）一个圆锥的侧面展开图分）一个圆锥的侧面展开图是半径为是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是的半圆，则该圆锥的全面积是()()A.48 B.45 C.36 D.32A第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录7.（2020省卷省卷13题题4分）如图，正方形分）如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，以点，以点A为圆心，为圆心，AD 为半为半径画圆弧径画圆弧DE得到扇形得到扇形DAE(阴影部分，点阴影部分，点E在对角线在对角线AC上上).).若扇形若扇形DAE正好是一正好是一
11、个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()()A.B.1 C.D.21222第7题图D第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录8.(2017省卷省卷13题题4分分)正如我们小学学过的圆锥体积公式正如我们小学学过的圆锥体积公式V r2h(表示圆周率，表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到一样，许多几何量的计算都要用到.祖冲之祖冲之是世界上第一个把是世界上第一个把计算到小数点后第计算到小数点后第7位的中国古代科学家，创造了当时世界上位的中国古代科学家，创造了
12、当时世界上的最高水平，差不多过了的最高水平，差不多过了1000年，才有人把年，才有人把计算得更精确计算得更精确.在辉煌成就的背后，我在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数位数字反复进行字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹拉
13、伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习.13第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于体积等于9 ，则这个圆锥的高等于，则这个圆锥的高等于()()A.5 B.5 C.3 D.3 3333D圆柱的相关计算圆柱的相关计算（省卷省卷2016.16）命题点
14、命题点39.(.(2016省卷省卷6题题3分分)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6、16的的长方形长方形，那么这个圆柱的体积等于那么这个圆柱的体积等于_.384或或1443第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录阴影部分面积的相关计算阴影部分面积的相关计算（省卷省卷4考，昆明卷考，昆明卷4考考）命题点命题点410.(2017省卷省卷5题题3分分)如图，边长为如图，边长为4的正方形的正方形ABCD外切于外切于O,切点分别为切点分别为E,F,G,H，则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为_.第10题图2+4第三节第三节 与圆有关的
15、计算与圆有关的计算返回目录返回目录11.（2018昆明卷昆明卷6题题3分）如图，正六边形分）如图，正六边形ABCDEF的边长为的边长为1，以点，以点A为圆心，为圆心，AB的长为半径，作扇形的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为_.（结果保留根（结果保留根号和号和）第11题图3 323p p-第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录12.(.(2019省卷省卷13题题4分分)如图，如图，ABC的内切圆的内切圆O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分（即四边形，则阴影部分（即四边形
16、AEOF）的面积是）的面积是()()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9第12题图A第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录13.(2016昆明卷昆明卷22题题8分分)如图如图,在在ABC中中,ABC=90,D是边是边AC上的一点上的一点,连接连接BD,使使A=21,E是是BC上的一点上的一点,以以BE为直径的为直径的O经过点经过点D.(1)求证求证:AC是是O的切线的切线;第13题图13.(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，(1分分)OBOD，1ODB，DOC1ODB21，又又A21，DOCA，ABC90，CA90，DOCCAC90，ODC90，(4分分)即
17、即ODAC，OD是是O的半径，的半径，AC是是O的切线；的切线；(5分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录第13题解图【一题多解】如解图，连接【一题多解】如解图，连接OD，(1分分)OBOD，1ODB，DOC1ODB21，又又A21，DOCA，CC，CDOCBA，ABC90，CDOCBA90，(4分分)即即ODAC，OD是是O的半径，的半径，AC是是O的切线；的切线；(5分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录(2)若若A=60,O的半径为的半径为2,求阴影部分的面积求阴影部分的面积(结果保留根号和结果保留根号和).).(2)解：解：A60，由
18、，由(1)知知DOCA，DOCA60，在在RtODC中，中，tan60 ，OD2，CDODtan60 ，SODCODC ODCD 2 ，(6分分)S扇形扇形ODE ，(7分分)S阴影阴影SODCODCS扇形扇形ODEODE -.(.(8分分)CDOD2 32 32 3121223260 23602 323第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录14.(.(2016省卷省卷20题题8分分)如图，如图，AB为为O的直径，的直径，C是是O上上一点，过点一点，过点C的直线交的直线交AB的延长线于点的延长线于点D,AEDC,垂足为垂足为E，点，点F是是AE与与O的的交点，交点，AC平分
19、平分BAE.(1)求证：求证：DE是是O的切线的切线;第14题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，(1分分)OAOC，OACOCA，又又AC平分平分BAE，OACCAE，OCACAE，OCAE，OCDE，又又AEDC，E90，OCD90，(3分分)OCDC，OC为为O的半径，的半径，DE是是O的切线；的切线；(4分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录(2)解：在解：在RtAED中，中，D30，AE6，AD2AE12，由由(1)知，知，OCD90，在，在RtOCD中，中，D30，DO2OCDBOBDBOC，DBOBOCOA AD4，DO8，(5分分)13(
20、2)设设AE=6,D=30,求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积.第14题解图CD ，(6分分)SOCD ，又又D30，OCD90，DOC90D60，S扇形扇形OBC ，(7分分)S阴影阴影SOCDS扇形扇形OBC .(.(8分分)22DO-OC228-44 32CD OC8 34 3 422360n r260 4360838 383第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录15.(.(2016昆明卷昆明卷22题题9分分)如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BAC90，四边形，四边形EBOC是平行四边形，是平行四边形，EB交交O于点于点D，连接，连接CD并延长交并延长交A
21、B的延长线于点的延长线于点F.(1)求证：求证：CF是是O的切线；的切线；第15题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，(1分分)四边形四边形EBOC是平行四边形，是平行四边形，BEOC，BEOC，OBDAOC，ODBDOC，又又ODOB，ODBOBD，DOCAOC，(2分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录在在DOC和和AOC中，中，DOAODOCAOCOCOC=DOCAOC(SAS)，(3分分)CDOCAO，CAO90，CDO90，即，即ODCF，(4分分)OD是是O的半径，的半径，CF是是O的切线；的切线；(5分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有
22、关的计算返回目录返回目录(2)若若F30,EB4,求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积(结果保留根号和结果保留根号和)(2)解：如解图，设解：如解图，设OC与与O交于点交于点G，F30，EB4，由由(1)得得OCBE4，FCA180CFACAF60，FOD60，FCOOCAF30，DOCAOC60，OA2，(6分分)在在RtOCA中，中，CAO90，由勾股定理得由勾股定理得AC ，SOAC OAAC 2 ，(7分分)S扇形扇形OAG ，(8分分)S阴影阴影2(SOACS扇形扇形OAG)2().(.(9分分)22OC-OA2 312122 32 3260 2360232 3234 343第1
23、5题解图第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录16.（2018省卷省卷22题题9分）如图，已知分）如图，已知AB是是O的直径，的直径，C是是O上的点，点上的点，点D在在AB的延长线上，的延长线上，BCD=BAC.(1)求证：求证：CD是是O的切线；的切线；第16题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，AB是是O的直径，的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OBCOCB，BCDBAC，BCDOCBBACABC90，OCCD.OC是是O的半径，的半径，CD是是O的切线；的切线；(4分分)第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录(2)若若D
24、=30，BD=2，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积.(2)解：解：D30，由，由(1)知，知，OCCD，BOC60，AOC120.在在RtODC中，中，D30，OD2OCOBBD，OCOBBD2，如解图，过点如解图，过点O作作OEAC于点于点E，则则AECE，COE60，OE1，CE ，(6分分)AC2CE ，S阴影阴影S扇形扇形AOCSOAC ACOE -1=-.(-.(9分分)32 3432360n r3第16题解图122120 2360122 3第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录教材改编题教材改编题教材母题教材母题1.（人教九上（人教九上P98练习第练习
25、第1题）如图题）如图,AB是是O的直径的直径,ABT=45,AT=AB.求证求证:AT是是O的切线的切线.第1题图证明：证明：ATAB，ABT45，TABT45，BAT90.又又AB为为O的直径，的直径，AT是是O的切线的切线第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录增加设问：求长度增加设问：求长度母 题 变 式母 题 变 式第2题图2.（2019南充）如图，在南充）如图，在ABC中，以中，以AC为直径的为直径的O交交AB于点于点D，连接，连接CD,BCD=A.(1)求证：求证：BC是是O的切线；的切线；(1)证明：证明：AC是是O的直径，的直径，ADC90，AACD90.BC
26、DA，BCDACDACB90，OCBC.又又OC为为O的半径，的半径，BC是是O的切线；的切线；第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录(2)若若BC5,BD3,求点求点O到到CD的距离的距离解：如解图，过点解：如解图，过点O作作OECD于点于点E.在在RtBCD中，中，BC5，BD3，CD4.ADCCDB90，BCDA，RtBDCRtCDA，AD .OECD，OAOC，E为为CD的中点的中点OE AD .CDADBDCD1638312E第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录改变图形：直角三角形斜边过圆心改变图形：直角三角形斜边过圆心对 接 中 考对 接
27、中 考第3题图3.如图，如图，AB为为O的直径，的直径，C是是O上一点，过点上一点，过点C的直线交的直线交AB的延长线的延长线于点于点D,AEDC,垂足为垂足为E,F是是AE与与O的交点，的交点，AC平分平分BAE.（1）求证：）求证：DE是是O的切线；的切线；(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，OAOC，OACOCA.AC平分平分BAE，OACCAE，OCACAE，OCAE，OCDE.AEDE，E90，OCD90，OCCD.点点C在在O上，上，OC为为O的半径，的半径，DE是是O的切线；的切线；第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录（2）若）若DC=,D=30
28、，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积.2 3(2)解：如解图，连接解：如解图，连接OF、CF，在在RtCDO中，中，D30，DC2 ，OD4，OC2，BOC60，由由(1)知，知，OCAE，DAEBOC60.在在AOF中，中，OAOF，DAE60，AOF为等边三角形，为等边三角形，AOF60，COF60.又又OCOF，COF为等边三角形，为等边三角形，FCE30，第3题图3第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录EFCFsinFCE2sin301，CECFcos30 ，S阴影阴影CEFS梯形梯形EFOCS扇形扇形OCF(12)-，S阴影阴影BDCSCODS扇形扇形OB
29、C 2 .S总阴影总阴影S阴影阴影BDCS阴影阴影CEF .3312260 2360233 32122 3260 23602 323233 32237 322 343第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录改变图形：直角三角形斜边与圆相切改变图形：直角三角形斜边与圆相切第4题图4.如图，在如图，在RtABC中，中，BAC90，CD平分平分ACB，交，交AB于点于点D，以点，以点D为为圆心，圆心，DA为半径的圆与为半径的圆与AB B交于点交于点E，与，与CD交于点交于点F（1）求证：）求证：BC是是D的切线；的切线；(1)证明：如解图，过点证明：如解图，过点D作作DGBC于点于
30、点G，BAC90，CD平分平分ACB，DAAC，ACDBCD.CDCD，ADCGDC(AAS)DGDA，DG为为D的半径，的半径，BC是是D的切线；的切线；G第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录(2)若若EFBC，且，且BC6，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积(2)解：如解图，连接解：如解图，连接EF，EFBC，由，由(1)知知DGBC，DGEF，BDGCDG.由由(1)知知ADCGDC，CDGADC，CDGADCBDG60.EGFG第4题解图G第三节第三节 与圆有关的计算与圆有关的计算返回目录返回目录EFBC，DEFB，DFEDCB，在在D中，中，DEDF，DFEDEF，BDCB，DBDC.DGBC，CG BC3.在在RtDCG中，中，DG .S阴影阴影SDGCS扇形扇形GDF 3 .123 3CG123()26033603 322
