1、 中考数学（湖南专用）6.2图形的相似A组20162020年湖南中考题组考点一相似与位似1.(2019湖南邵阳,8,3分)如图,以点O为位似中心,把ABC的各边放大为原图形的2倍得到ABC,以下说法中错误的是()A.ABCABCB.点C、点O、点C三点在同一直线上C.AO AA=1 2D.ABAB答案答案C以点O为位似中心,把ABC的各边放大为原图形的2倍得到ABC,ABCABC,点C、点O、点C三点在同一直线上,ABAB,AO OA=1 2,故选项C错误.故选C.思路分析思路分析直接利用位似图形的性质得出答案.解题关键解题关键此题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的性质是解题关键.2.(2
2、018湖南邵阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作ABx轴于点B.将AOB以坐标原点O为位似中心,各边缩小为原图形的,得到COD,则CD的长度是()A.2B.1C.4D.2.512答案答案A点A(2,4),过点A作ABx轴于点B,将AOB以坐标原点O为位似中心,各边缩小为原图形的,得到COD,C(1,2),则CD的长度是2.故选A.123.(2020湖南娄底,15,3分)若=(ac),则=.badc12-b da c答案答案12解析解析=(ac),=.badc12-b da c124.(2020湖南郴州,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,将AOB以点O为位
3、似中心,为位似比在第一象限作位似变换,得到A1OB1,已知A(2,3),则点A1的坐标是.23答案答案4,23解析解析由题意得点A1的坐标是,即A1.222,3334,235.(2017湖南长沙,16,3分)如图,ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形的各边缩小为原来的,可以得到ABO,已知点B的坐标是(3,0),则点A的坐标是.12答案答案(1,2)解析解析点A的坐标为(2,4),以原点O为位似中心,把这个三角形的各边缩小为原来的,得到ABO,点A的坐标是,即(1,2),故答案为(1,2).12112,422解题关键解题关键本题考
4、查的是位似变换的性质,掌握平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的横、纵坐标的比等于k或-k是解题的关键.考点二相似三角形的判定与性质1.(2017湖南张家界,5,3分)如图,D,E分别是ABC的边AB,AC上的中点,如果ADE的周长是6,则ABC的周长是()A.6B.12C.18D.24答案答案B根据三角形中位线定理得到DEBC,DE=BC,ADEABC,=,相似三角形的周长比等于相似比,ABC的周长为26=12.故选B.12DEBC122.(2019湖南常德,7,3分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面
5、积为1,ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是()A.20B.22C.24D.26答案答案D如图,根据题意得AFHADE,=.设SAFH=9x,x0,则SADE=16x,16x-9x=7,解得x=1,SADE=16,S四边形DBCE=42-16=26.故选D.2FHDE234916思路分析思路分析利用AFHADE得到=,设SAFH=9x(x0),则SADE=16x,由16x-9x=7,解得x=1,从而得SADE=16,由S四边形DBCE=SABC-SADE求出所求.2FHDE9163.(2020湖南郴州,8,3分)在平面直角坐标系中,点A是双曲线y1=(x0)上任意一点,连接AO,过点O
6、作AO的垂线与双曲线y2=(x0)上的点,点B是双曲线y2=(x0)上的点,SAOD=|k1|=k1,SBOE=|k2|=-k2.AOB=90,BOE+AOD=90,AOD+OAD=90,BOE=OAD,又BEO=ODA=90,BOEOAD,1kx2kx12121212=,=22,=-4.故选B.AODBOESS2OAOB12121-2kk12kk思路分析思路分析作ADx轴于D,BEx轴于E,根据反比例函数系数k的几何意义得出SAOD=k1,SBOE=-k2,然后通过证明BOEOAD即可得到答案.12124.(2018湖南娄底,17,3分)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都
7、相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AEBE=.答案答案1解析解析如图,连接OE.半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,OEAB,ADCD,BCCD,OAD=OAE,OBC=OBE,ADBC,DAB+ABC=180,OAB+OBA=90,AOB=90,OAE+AOE=90,AOE+BOE=90,EAO=EOB,AEO=OEB=90,AEOOEB,=,AEBE=OE2=1,故答案为1.AEOEOEBE5.(2019湖南张家界,17,5分)如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G.(1
8、)求证:BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,E=FDC,EBF=DCF,又AB=BE,BE=CD,EBF DCF,BF=CF.(2)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,FGCDGA,=,即=,解得FG=2.FGDGFCAD4FG12B组20162020年全国中考题组考点一相似与位似1.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是()A.2B.3C.4D.5答案答案CABOCDO,=.OB=6,OD=3,CD=2,=,AB=4,故选C.ABCDOBOD2AB6
9、32.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OA OA=2 3,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为()A.4 9B.2 5C.2 3D.23答案答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.ABABOAOA23 ABCDABCDSS四边形四边形2 ABAB493.(2020河北,8,3分)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是()A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR答案答案A根据“两个位似图形一定是相似图形”以及四边形ABCD是菱形可知选A.4.(2020重庆A卷,8,4分
10、)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相似比为2 1,则线段DF的长度为()A.B.2C.4D.255答案答案D由题可知:AB=1,BC=2,AC=,因为DEF与ABC成位似图形,且相似比为2 1,则DF=2AC=2,故选D.22ABBC221255考点二相似三角形的判定与性质1.(2019辽宁营口,6,3分)如图,在ABC中,DEBC,=,则的值是()A.B.1C.D.ADAB23452349答案答案ADEBC,ADEABC,=,=,故选A.2ADAB49452.(20
11、20广西北部湾经济区,9,3分)如图,在ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为()A.15B.20C.25D.30答案答案B在正方形EFGH中,EFHG,EF=EH,易证ANEF,所以EH=ND,令AN=x,则EF=EH=ND=60-x,由EFHG可得AEFABC,故=,即=,解得x=20,故选B.ANADEFBC60 x60-120 x3.(2019吉林长春,13,3分)如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将AEF沿
12、EF翻折,AF与BC相交于点G,则GCF的周长为.答案答案4+22解析解析第一次折叠后,可得AD=DF=6,FC=AB-AD=8-6=2.第二次翻折后,易得ABGFCG,AB=AD-BE=6-2=4.所以AB FC=2 1,则可得BG CG=2 1,CG=2.在直角三角形FCG中,由勾股定理可得FG=2,所以FCG的周长为FC+CG+FG=4+2.224.(2020广东广州,15,3分)如图,正方形ABCD中,ABC绕点A逆时针旋转到ABC,AB,AC分别交对角线BD于点E,F,若AE=4,则EFED的值为.答案答案16解析解析四边形ABCD为正方形,BAC=ADB=45.ABC由ABC旋转所
13、得,BAC=BAC=45.EAF=ADE=45.又AEF=DEA,AEFDEA,=,EFDE=EA2,AE=4,EFED=EA2=16.EFEAAEDE思路分析思路分析由题不能直接求出EF,ED的长度,可由已知条件证出AEFDEA,可得=,即EA2=EFDE,将EA=4代入,便可求出EFDE的值.EFEAAEDE一题多解一题多解特殊值法.本题只有一个确定数值AE=4,设正方形对角线交点为O,不妨设旋转角为45,则此时E点和O点重合,F点和D点重合,即EFED=OD2,AE=AO=DO=4,所以EFED=16.5.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为
14、ABC内部一点,且APB=BPC=135.(1)求证:PABPBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:=h2h3.21h证明证明(1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45,又ABC为等腰直角三角形,ABC=45,即ABP+CBP=45,BAP=CBP.又APB=BPC=135,PABPBC.(4分)(2)证法一:由(1)知PABPBC,=.=2,即PA=2PC.(9分)证法二:APB=BPC=135,APC=90,CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取点D,使AD=CP.PAPBPBPCABBC2PAPCPA
15、PBPBPCCAD+PAB=45,且PBA+PAB=45,CAD=PBA,又CBP+BCP=CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADC CPB,ADC=CPB=135,CDP=45,PDC为等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP,PA=2PC.(9分)(3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中,=tanPCR=tanCAP=,=,即h3=2h2.又PABPBC,且=,=,即h1=h2,于是=h2h3.(14分)PRCRCPAP1223hh12ABBC212hh2221h思路分析思路分析
16、(1)结合题意易得ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合APB=BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利用(1)中的相似得到=,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使得AD=CP,然后证明CAD=BCP,从而证明ADC CPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问题解决;(3)h1,h2分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1=h2.在RtCPR中,CR=h3,=tanPCR=tanCAP=.易证=h2h3.PAPBPBPCABBC
17、2223hhCPAP1221h难点突破难点突破第(3)问的突破口是h2 h3=tanPCR=tanCAP=,结合PABPBC可证=h2h3.1221h6.(2019吉林长春,22,9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2如图23.4.4,在ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证:=.图23.4.4证明:连接ED.请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程.结论应用:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为;GECEGDAD
18、13(2)如图,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为,则平行四边形ABCD的面积为.12解析解析证明:D、E分别是BC、AB的中点,DEAC,DE=AC,DEGACG,=2,=3,=.(1).详解:易证BEFDAF,相似比为1 2,易得BF=BD,又BO=BD,OF=BD-BD=BD.易求BD=6,OF=.(2)6.12CGGEAGGDACDECGGEGEAGGDGDGECEGDAD132131212131622详解:连接OE,由(1)知BF=BD,OF=BD,=2,BEF的边BF上的高和OEF的边OF上的高相同,BEF和OEF的面积比=2,同理,CEG和OEG的面积比为2.CEG的
19、面积+BEF的面积=2(OEG的面积+OEF的面积)=2=1,BOC的面积=,S ABCD=4=6.1316BFOFBFOF123232C组教师专用题组考点一相似与位似1.(2020四川成都,9,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为()A.2B.3C.4D.103答案答案Dl1l2l3,由平行线分线段成比例可得=,AB=5,BC=6,EF=4,=,DE=4=,故选D.DEEFABBC4DE56561032.(2019吉林,13,3分)在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m,则
20、这栋楼的高度为m.答案答案54解析解析设这栋楼的高度为xm,则=,解得x=54.1.8390 x3.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知:CBAD,EDAD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.解析解析CBAD,EDAD,ABC=ADE=90.BAC=DAE,ABCADE,=.BC=1m,D
21、E=1.5m,BD=8.5m,=,AB=17m.河宽AB为17m.ABADBCDE8.5ABAB11.5思路分析思路分析首先根据ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根据相似三角形的性质得出=,进而可求得AB的值.ABADBCDE方法指导方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.审题:结合图形通读题干,第一时间锁定采用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数解题.如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关键.构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造,如果题
22、干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添加辅助线;若未给出图形,则需要通过中获取的信息构造几何图形进行解题.4.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.解析解析(1)线段A1B1如图所示.(2)线段A2
23、B1如图所示.(3)20.提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2)2=20(个平方单位).224255考点二相似三角形的判定与性质1.(2020辽宁营口,6,3分)如图,在ABC中,DEAB,且=,则的值为()A.B.C.D.CDBD32CECA35234532答案答案A=,设CD=3x,BD=2x(x0).DEAB,=.故选A.CDBD32CECACDCB332xxx352.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则DEO与BCD的面积的比等于
24、()A.B.C.D.12141618答案答案B在 ABCD中,BO=DO,E是CD的中点,OEBC,OE=BC,DOEDBC,=.故选B.122OEBC143.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为()A.3.6B.4C.4.8D.5答案答案B解法一:如图,作DNCA交AB于点N,ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC.=.EF=EG,DN=DC.DNCA,=,=,解得DC=4,故选B.解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N.E
25、GDNAEADEFCDDNACBDBC6DC12-12DC易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x.tanBAC=2,AM=x,EGAC,EGNAMN,=2.GN=x,MN=x,BCAC12612GNMNEGAM12xx2313易证AMNACD,=,CD=4.CDACMNAM1312xx23解题关键解题关键作平行线,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键.4.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则=.ABCD14OAOC答案答案14解析解析ABCD,A=C,B=D,AOBCOD.=.OAOCABCD145.(2019内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形A
26、BCD中,ADBC,AB=BC,BAD=90,AC交BD于点E,ABD=30,AD=,求线段AC和DE的长.31-:-()(-)ababa bababab注解析解析在RtABD中,BAD=90,ABD=30,AD=,tanABD=,即=,AB=3.ADBC,BAD+ABC=180,ABC=90.在RtABC中,AB=BC=3,AC=3.(4分)ADBC,ADECBE,=,=.设DE=x,则BE=3x,BD=DE+BE=(+3)x,=.3ADAB333AB22ABBC2DEBEADCBDEBE3333DEBD333在RtABD中,ABD=30,BD=2AD=2.DE=2,DE=3-.(8分)33
27、33336.(2018浙江杭州,19,8分)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E.(1)求证:BDECAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.解析解析(1)证明:AB=AC,B=C,又AD为BC边上的中线,ADBC,DEAB,DEB=ADC=90,BDECAD.(2)易知BD=BC=5,在RtADB中,AD=12,由(1)易得=,=,DE=.1222-AB BD2213-5BDCADEAD51312DE6013思路分析思路分析(1)由等腰三角形的性质,得B=C,ADBC,因为DEAB,所以DEB=ADC,根据相似三角形的判定定理,即可解决问题.(2)
28、利用勾股定理求出AD,再利用(1)的结论列式求解.解题关键解题关键本题考查相似三角形的判定定理和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识并灵活应用.7.(2017湖北武汉,23,10分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E.(1)如图1,若ABC=ADC=90,求证EDEA=ECEB;(2)如图2,若ABC=120,cosADC=,CD=5,AB=12,CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cosABC=cosADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).3535解析解
29、析(1)证明:ADC=90,EDC+ADC=180,EDC=90,又ABC=90,EDC=ABC,又E为公共角,EDCEBA,=,EDEA=ECEB.(2)过点C作CFAD,交AE于点F,过点A作AGEB,交EB的延长线于点G.在RtCDF中,cosFDC=,=,EDEBECEA35DFCD35又CD=5,DF=3,CF=4,又SCDE=6,EDCF=6,ED=3,EF=ED+DF=6.ABC=120,G=90,G+BAG=ABC,BAG=30,在RtABG中,BG=AB=6,AG=6,CFAD,AGEB,EFC=G=90,又E为公共角,EFCEGA,=,=,EG=9,BE=EG-BG=9-6
30、,S四边形ABCD=SABE-SCED22-CD DF1212CF1222-AB BG3EFEGCFAG6EG46 333=BEAG-6=(9-6)6-6=75-18.(3)AD=.详解:过点C作CHAD,交AE于点H,则CH=4,DH=3,EH=n+3,tanE=.过点A作AGDF,交DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,FG=FD-DG=5+n-3a,12123335(5)6nn43n由CHAD,AGDF,E=F知AFGCEH,=,=,=,a=,AD=.AGCHFGEHAGFGCHEH45-3ana43n56nn5(5)6nnA组20182020年模拟基础题组时间:30分钟分
31、值:25分一、选择题（每小题3分，共12分）1.(2019湖南邵阳一模,8)如图,在平面直角坐标系中,点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)13答案答案A由题意得,ODCOBA,相似比是,=,又OB=6,AB=3,OD=2,CD=1,点C的坐标为(2,1),故选A.13ODOBDCAB13思路分析思路分析由题意知ODCOBA,相似比是,根据已知数据可以求出点C的坐标.132.(2019湖南郴州模拟,4)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD上一点,且AE
32、=2ED,EC交对角线BD于点F,则等于()A.B.C.D.EFFC12132332答案答案B四边形ABCD为平行四边形,EDBC,BC=AD,易证得DEFBCF,=,设ED=k,则AE=2k,BC=AD=3k,=.故选B.EFCFEDBCEFCF3kk13思路分析思路分析根据题意易证得DEFBCF,则=,可设ED=k,由AE=2ED,得AE=2k,BC=3k,所以=.EFCFEDBCEFCF3kk13解题关键解题关键本题主要考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质等,得出DEFBCF是解题的关键.3.(2020湖南长沙开福一模,11)矩形ABCD中,AB=5,AD=2,点P是CD上的动
33、点,当APB=90时,DP的长是()A.1B.3C.1或3D.1或4答案答案D设PC=x,则PD=5-x,四边形ABCD是矩形,D=C=90,DAP+APD=90,APB=90,APD+BPC=90,DAP=CPB,ADPPCB,=,即=,解得x=1或4.故选D.ADPCDPCB2x5-2x解题关键解题关键本题主要考查相似三角形的判定与性质及矩形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.4.(2020湖南永州一模,8)如图,在ABC中,点D是边AB上的一点,ADC=ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()A.2B.4C.6D.8答案答案BA=A,ADC=ACB,ADCACB,=
34、,AC2=ADAB=2(6+2)=16,AC=4.故选B.ACABADAC解题关键解题关键本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形,属于中考常考题型.二、填空题（共3分）5.(2019湖南郴州模拟,14)如图,已知D,E分别是ABC的AB,AC边上的点,DEBC,且SADE SABC=1 9,那么=.AEEC答案答案12解析解析D、E分别是ABC的AB,AC边上的点,DEBC,ADEABC.SADE SABC=1 9,AE AC=1 3,AE EC=1 2,即=.AEEC12思路分析思路分析根据已知条件可得ADEABC,再根据面积的比等于相似比的平方解答即可.三、解答题（
35、共10分）6.(2020湖南长沙周南集团联考,24)如图,ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,设运动的时间为t秒.(1)用含t的代数式表示:AP=,AQ=;(2)当以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似时,求运动时间是多少?解析解析(1)AP=2t;AQ=16-3t.(2)PAQ=BAC,当=时,APQABC,即=,解得t=;当=时,APQACB,即=,解得t=4.运动时间为秒或4秒.APABAQAC28t16-316t167APACAQAB216t16-
36、38t167B组20182020年模拟提升题组时间:30分钟分值:20分一、选择题（每小题3分，共6分）1.(2020湖南长沙雨花三模,5)如图所示,给出下列条件:B=ACD;ADC=ACB;=;AC2=ADAB.其中能够单独判定ABCACD的条件个数为()A.1B.2C.3D.4ACCDABBC答案答案CB=ACD,再加上A为公共角,可以根据有两角分别相等的两个三角形相似来判定;ADC=ACB,再加上A为公共角,可以根据有两角分别相等的两个三角形相似来判定;A不是已知的比例线段的夹角,不正确;A是ABC与ACD的公共角,可以根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定.故选C.2.(2
37、020湖南长沙岳麓校级三模,12)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,P是AD边上一动点(不含端点A,D),连接PC,E是AB边上一点,设BE=a,若存在唯一点P,使EPC=90,则a的值是()A.B.C.3D.6103116答案答案BEPC=90,APE+DPC=90.四边形ABCD是矩形,D=90,DCP+DPC=90,APE=DCP,又A=D=90,APEDCP,=,设AP=x,AE=y,可得x(10-x)=6y,x2-10 x+6y=0,由题意知=0,100-24y=0,y=,BE=AB-AE=6-=,故选B.APDCAEDP256256116解题关键解题关键本题考查的是矩形
38、的性质、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根的判别式,掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键.二、填空题（共3分）3.(2020湖南长沙一中集团模拟,18)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BC为半径作弧,分别交AC、AB于点D,E,连接DE,若DE=DC,AE=4,AD=5,则=.答案答案817解析解析连接BD.DE=DC,=,CBD=DBE,BE=BD=BC,在BDE和BDC中,BDE BDC(SAS),BED=BDE=BDC=BCD,DEDC,BDBDDBEDBCBEBC AED+BED=180,ADB+BDC=180,AED=ADB,A=A,AEDADB,=,=,AB=,BE=
39、AB-AE=,SAED SBED=4=16 9,SAED S四边形BCDE=16 18,SAED SABC=16(16+18)=8 17.故答案为.AEADADAB455AB2549494817三、解答题（共11分）4.(2020湖南衡阳模拟,22)如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H.(1)求证:AF=DE;(2)求证:DP2=PHPB;(3)求tanDBE的值.解析解析(1)证明:BPC是等边三角形,BP=PC=BC,PBC=PCB=BPC=60,在正方形ABCD中,AB=BC=CD,A=ADC=BCD=
40、90,ABE=DCF=30,ABE DCF,AE=DF,AE-EF=DF-EF,AF=DE.(2)证明:由(1)知,PC=CD,DCF=30,PDC=75,BDC=45,PDH=PCD=30,DPH=CPD,DPHCPD,=,PD2=PHCP,PB=PC,PD2=PHPB.(3)如图,过点P作PMCD于M,PNBC于N,设正方形的边长为4a(a0),BPC是等边三角形,PDCPPHPDPBC=PCB=60,PB=PC=BC=4a,PCD=30,CM=PN=PBsin60=2a,PM=PCsin30=2a,DEPM,EDP=DPM,EDP=EBD=15,DBE=DPM,tanDBE=tanDPM=2-.3DMPM4-2 32aaa3
