1、 中考数学（安徽专用）第三章 函数与图象3.4二次函数考点一二次函数的图象与性质 20162020年全国中考题组1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为()A.y=x2+2B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2D.y=(x-1)2+3答案答案 C根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为y=(x-1)-12+2=(x-2)2+2,故选C.解题关键解题关键本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”.2.(2020山
2、西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m答案答案 C由已知可得v0=20m/s,h0=1.5m,则h=-5t2+20t+1.5(t0),其图象的对称轴方程为t=-=2,图象开口向下,当t=2时,h最大,为-522+202+1.5=21.5,故选C.202(-5)3.(2020四川成都,1
3、0,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案 D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y的最小值为-9,故D正确.224.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(
4、-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()A.-2B.-4C.2D.4答案答案 B抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,解得故选B.-4-24,-1644,nbnb2,-4.bn一题多解一题多解抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2,n=-(-2)2+2(-2)+4=-4.-2422b5.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y30,抛物线的
5、开口向上.抛物线过A(m,n)和C(3-m,n),抛物线的对称轴为直线x=.作出二次函数的大致图象,如图.由图可知y2y30,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C关于对称轴对称,由此得到对称轴为直线x=.根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象,由图象比较大小.3-2mm326.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()答案答案 D直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D.解题关键解题关键得到
6、直线y=ax+a恒过点(-1,0)是解本题的关键.7.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是()A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大7D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点14答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,
7、ymin=a-9,故B中说法正确.当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.=(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a,当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.1414141414148.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x-2-1012y=ax2+bx+ctm-2-2n且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论:abc0;-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称
8、性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C.0121212122ba121214121412831283203解后反思解后反思本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题
9、的关键.9.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是.答案答案 a1或a-1解析解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a).分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1.综上,实数a的取值范围是a1或a-1.解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都
10、在x轴的下方,令y=x-a+10,解得xa-1.令y=x2-2ax0时,解得0 x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1;当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1.-1,02xaxa-1,20 xaax思路分析思路分析考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可.2-10,-20 x axax 难点突破难点突破根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破
11、口.10.(2016安徽,22,12分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.解析解析(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得解得(5分)(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F.二次函数表达式为y=-x2+3x.SOAD=ODAD=24=4,424,3660,abab1-,23.ab121212SACD=ADCE=4
12、(x-2)=2x-4,SBCD=BDCF=4=-x2+6x,(8分)则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x.所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6).(10分)因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形OACB的面积S取最大值,最大值为16.(12分)1212121221-32xx思路分析思路分析(1)将A,B的坐标代入二次函数的解析式,解方程组即可;(2)利用割补思想将四边形OACB分割成三个三角形,求出S关于x的函数表达式,最后求S的最大值.方法指导方法指导求不规则四边形的面积往往采用割补思想将原图形的面积转化为我们所熟悉
13、的三角形或平行四边形的面积求解.11.(2018云南昆明,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y0时,自变量x的取值范围;(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PABA时,求PAB的面积.解析解析(1)解法一:抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴为直线x=2,(1分)解之得(2分)抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分)抛物线过原点,对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得A(4,0),由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0 x4.(4分)解法二:抛物线y=
14、ax2+bx过原点,对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得A(4,0),把A(4,0),B(1,-3)分别代入y=ax2+bx中,得(1分)-2,2-3,baab1,-4.ab1640,-3,abab解之得(2分)抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分)由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0 x4.(4分)(2)解法一:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=EBA=45,PABA,即PAB=90,1,-4.abPAF=45,FPA=PAF=45,PF=AF.(5分)设点P的坐标为(x,x2-4x),点P在
15、第二象限内,x0,PF=x2-4x,又AF=4-x,x2-4x=4-x,解得x1=4(不符合题意,舍去),x2=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PF=5.设直线PB的解析式为y=kx+m(k0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,得解得-5,-3,kmkm-4,1.km直线PB的解析式为y=-4x+1.(7分)当y=0时,-4x+1=0,x=,C,AC=4-=,(8分)SPAB=SPAC+SABC=5+3=15.(9分)解法二:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,设PA与y轴交于点D.141
16、,04141541215412154点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=EBA=45,且AB=3,PABA,即PAB=90,PAF=45,ODA=PAF=45,OD=OA=4,点D的坐标为(0,4),设直线PA的解析式为y=kx+m(k0),把D(0,4),A(4,0)分别代入y=kx+m中,得解得直线PA的解析式为y=-x+4.(5分)由x2-4x=-x+4解得x1=4,x2=-1,点P在第二象限内,x=-1,24,40,mkm-1,4.km当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PAF=APF=45,PF=AF=
17、5,在RtPFA中,AFP=90,由勾股定理得AP=5.(7分)在RtPAB中,PAB=90,SABP=APAB=53=15.(9分)22AFPF22552121222考点二二次函数与a、b、c的关系1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D.1522.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=
18、x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m5B.m2C.m214答案答案 A抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,所以b2-4ac0,即(-1)2-410,解得m5.故选A.1-14m3.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0;b2-4ac0时,-1x0,故错误;因为点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据图象可知,当y0时,-1x2时,M=y2;当x2时,y1y2,所以M=y1,错误;当x0,OA=OB,且
19、点A在x轴正半轴上,点A的坐标为(c,0),(2分)抛物线y=-x2+2x+c经过点A,-c2+2c+c=0,解得c1=0(舍去),c2=3,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(4分)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线顶点G的坐标为(1,4).(5分)(2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1.点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6.点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21.(8分)又点M在点N的左侧,当点M的坐标为(-2,-5)时,点N的坐标为(6,-21),-21yQ4;当点M的坐标为(4,-5)时
20、,点N的坐标为(6,-21),-21yQ-5.(10分)思路分析思路分析(1)根据OA=OB确定A点的坐标,代入解析式,即可求出c的值,得到抛物线的解析式以及点G的坐标;(2)根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴,根据点M,N到对称轴的距离,得出M,N的横坐标,进一步得出M,N的纵坐标,根据M,N的位置关系分类讨论确定yQ的取值范围.7.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0,2ba21-,-21ykxkyxx由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1=,x2=,所以x11x2.设直线AD的解析式为y=mx+n,则有解得22-42kk2242kk10,-1,mnmxn
21、111-,-11,-1mxnx所以直线AD的解析式为y=-x+.因为y2-=(x2-1)2+=0,即y2=-x2+,所以点C(x2,y2)在直线AD上.故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.11-1x11-1x21111-1-1xxx21-1-1xx2121(-1)(-1)(-1)1-1xxxx2221-44(-1)122-1kkkkxx11-1x11-1x考点三二次函数的实际应用 1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线)
22、在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型钢拱的函数表达式为()图1图2A.y=x2B.y=-x22667526675C.y=x2D.y=-x2131350131350答案答案 B设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2,将B(45,-78)代入得-78=a452,a=-,抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2,故选B.2667526675思路分析思路分析根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.方法指导方法指导
23、 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下:步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入所设表达式,写出表达式.2.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为
24、()A.10mB.15mC.20mD.22.5m答案答案 B根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9),则解得所以x=-=-=15.故该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为15m.故选B.54.0,16004046.2,4002057.9,cabcabc-0.0195,0.585,54.0,abc2ba0.5852(-0.0195)3.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.32答案答案24解析解析 y
25、=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=6016-162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.3232324.(2020河北,23,9分)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.(1)求W与x的函数关系式;(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.求Q与x的
26、函数关系式;x为何值时,Q是W薄的3倍?注:(1)及(2)中的不必写x的取值范围解析解析(1)设W=kx2(k0),把x=3,W=3代入,得3=9k,解得k=.W=x2.(2)Q=(6-x)2-x2=x2-4x+12-x2=-4x+12.由题意,得-4x+12=3x2,解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去).x=2.131313131313135.(2020内蒙古呼和浩特,24,12分)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1t1),且每小时可获得利润60元.(1)某人将每小时获得的利润设为y元,发现t=1时,y=180,所以得出结论:每小时获得的利润最少是180元
27、.他是依据什么得出该结论的?用你所学数学知识帮他进行分析说明;(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产,则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克?(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.5-31tt解析解析(1)依据一次函数和反比例函数的性质得出结论.由已知得y=60,当t=1时,y=180,当0.1t1时,随t的增大而减小,-3t也随t的增大而减小,-3t+的值随t的增大而减小,y=60随t的增大而减小,当t=1时,y有最小值,为180,他的结论正确.(2)由题意可得602=1800,整理得-3t2-14t+5=0,5-
28、31tt5t5t5-31tt5-31tt解得t=或t=-5(舍),经检验,t=是原方程的解且符合题意.故该厂以小时/千克的速度匀速生产产品,则1天(按8小时计算)可生产该产品8=24千克.(3)由题意知生产680千克该产品,需要680t小时,设生产680千克该产品获得的利润为w元,则w=680t60,整理得w=40800(-3t2+t+5),当t=时,w有最大值,为207400.故该厂应该选取小时/千克的生产速度,最大利润为207400元.131313135-31tt16166.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是1
29、60元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?解析解析(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60 x+8000,W2=100-(50+x)19=(50-x)19=-19x+950.(2)W=W1+W2=-2x2+41x+
30、8950=-2+.x取整数,当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9160元.241-4x732818思路分析思路分析(1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据x取整数及二次函数的性质求出W的最大值.7.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x(元)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润
31、=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?解析解析(1)设y=kx+b(k0).由题意,得解得所求函数表达式为y=-2x+200.(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8000.(7分)(3)W=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40 x80.-20,当40 x70时,W随x的增大而增大;当700;b2-4ac0;8a+c0,正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案答案 B根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a0.又抛物线的对称轴是直线x
32、=-=1,b=-2a0,abc0,故正确.观察题图发现当x=-2时,y=4a-2b+c0.又b=-2a,8a+c0,当x=-1时,y=a-b+c0,两式相加,得5a+b+2c0,故正确.故选B.2ba2.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是()A.ab时,y10,根据对称轴在y轴右侧可知-0,b0,所以ab0,A选项结论正确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在
33、2和3之间,B选项结论正确;易知x=-=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,-2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=,C选项结论正确;易证当t=时,y1=y2;当ty2,当t时,点P2距离对称轴较远,y10;3a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=;0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2.1213122-44baca其中正确的结论有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案答案 C抛物线开口向下,a0,对称轴为直线x=-,-=-,b=a0,ab
34、c0,正确.抛物线经过点(-3,0),9a-3b+c=0,又b=a,c=-6a,3a+c=3a-6a=-3a0,正确.抛物线开口向下,对称轴为直线x=-,当x-时,y随x的增大而减小,错误.b=a,c=-6a,一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=,正确.抛物线与x轴有2个交点,b2-4ac0,0,正确.点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0),y=a(x+3)(x-2),方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2,正确.1213122-44baca12故
35、选C.解后反思解后反思本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐标等都是解题的突破口.4.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m、n的值为()A.m=,n=-B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=1,n=-257187答案答案 D若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点,即-+=0,n=2m-4,解
36、得m=1,n=-2,故选D.2-12m32mn解题关键解题关键本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点是解题关键.5.(2017陕西,10,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条抛物线上,则点M的坐标为()A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)答案答案 Cy=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C.
37、6.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是()A.b8B.b-8C.b8D.b-8答案答案 D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.2(-3)-1,2,yxyxb7.(2020内蒙古包头,19,3分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点,将抛物线y=x2+bx+1
38、向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n的最小值为.答案答案4解析解析抛物线过点A(-1,m),B(5,m),(-1)2-b+1=52+5b+1,解得b=-4,y=x2-4x+1=(x-2)2-3,抛物线的顶点坐标为(2,-3).将抛物线y=(x-2)2-3向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n3.n的最小值为4.8.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;将抛物线C1沿这两个
39、定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.备用图解析解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分)令y=0,则x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分)对称轴为直线x=2.(3分)(2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0),可得其对称轴为直线x=-=2.(4分)令x=0,得y=-5.抛物线C1过定点(0,-5).(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两
40、个定点(0,-5)和(4,-5).(6分)y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).(7分)提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(0,-5)的坐标代入求出b即可.(3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,-42aa当x=2时,y=4a-5,抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),(8分)|4a-5|=2,解得a1=,a2=.(9分)74349.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的
41、距离是2,求点P的坐标.解析解析(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,x=-=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.(2分)当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.k=-3.(4分)(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.(6分)点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分)2-62kk易错警示易错警示(1)抛物线y=ax2+bx
42、+c(a0)的对称轴为x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.2ba10.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.(1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;(3)点Q在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值.1,2Qby233 24解析解析(1)抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),1+b+c=0,即c=-b-1,当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-
43、4,抛物线的顶点坐标为(1,-4).(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1,点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,yD=b2-bb-b-1=-b-1.由b0,得b0,-b-1c时,求证:直线y=kx+4与抛物线y=ax2-bx+c一定还有另一个异于点A的交点;(3)当cc,即a-2a,a0,(3a+2)20,4-20,ababc2-24,-2,yxyax axa方程ax2+(2-a)x-(2a+4)=0有两个相异的实数根,y=-2x+4与y=ax2-ax-2a的图象有两个不同的交点,又其中一个交点为A(2,0),一定还有另一个异于A的交点.(3)设点B的横坐标为x
44、2,ax2+(2-a)x-(2a+4)=(x-2)(ax+a+2)=0,x2=-1-,另外一个交点B的坐标为.又M,N,MN=3+,2a24-1-,6aa19,-24a1,3294aSAMN=,SBMN=,S=3a-+,由cac+3可知0a1,当0a1时,S随a的增大而增大,当a=1时,S取得最大值,且Smax=.25925912934a322512934a12934a1212a 12934a322a934a4 1-3 a3a7474思路分析思路分析(1)把(2,0)代入两函数解析式,再由a=b,可得结论;(2)联立直线方程与抛物线解析式,转化为以x为未知数的一元二次方程,根据恒大于0可知两函
45、数图象有两个不同的交点,结论成立;(3)由一元二次方程得B点横坐标,进而得B,根据题意得M,N,进而表示出SAMN,SBMN,得S=3a-+,当0a1时,由函数的性质求出S的最大值.24-1-,6aa19,-24a1,322593a7412.(2016吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过O,A,B三点.(1)当m=2时,a=,当m=3时,a=;(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;(3)如图,在图的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P,Q两点,PQ的长度为2
46、n,当APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为;(4)利用(2),(3)中的结论,求AOB与APQ的面积比.解析解析(1)-;(1分)-.(2分)(2)猜想:a=-.(3分)证明:等边三角形OAB的边长为2m,点A的坐标为A(m,m).(4分)点A为抛物线l的顶点,可设抛物线l:y=a(x-m)2+m.把O(0,0)代入,得am2+m=0.a=-.(6分)(3)a=-.(8分)32333m3333m1n(4)SAOB=2mm=m2,SAPQ=2nn=n2,(9分)a=-,a=-,m=n.=3.AOB与APQ的面积比为3 1.(10分)1233123m1n3AOBAPQSS223mn223(3
47、)nn33考点二二次函数与a、b、c 的关系1.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最
48、小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.2.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b0),则PD=2t,因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以下两种情况讨论:i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(
49、-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分)解得t1=2,t2=-3(舍去),PE=2.(7分)ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t),9-30,420.bcbc1,-6,bc则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分)解得t1=,t2=(舍去),PE=.(9分)综上所述,PE的长为2或.(10分)33323-33233323332存在点P,使得ACP=OCB.当x=0时,y=-6,C(0,-6),OC=6.在RtAOC中,AC=3,22OAOC22365过点A作AHAC,交直线CP于点H,则CAH=COB,又ACP=OCB,CAHCOB,
50、=,(11分)过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC,MAH+OAC=90,OAC+OCA=90,MAH=OCA,HMAAOC,=,即=,MH=1,MA=2.(12分)i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1),AHACOBOC2613MHOAMAOCAHAC3MH6MA13图3由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6,于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0(舍去),点P的坐标为(-2,-4).(13分)ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1),图4由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式
