1、 中考数学（安徽专用）第三章 函数与图象3.2一次函数考点一 一次函数(正比例函数)的图象与性质20162020年全国中考题组1.(2019陕西,4,3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2答案答案 A把点(a-1,4)代入y=-2x,得-2(a-1)=4,解得a=-1,故选A.2.(2018贵州贵阳,9,3分)一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐标可以为()A.(-5,3)B.(1,-3)C.(2,2)D.(5,-1)答案答案 C由于y的值随x值的增大而增大,因此k0.把(-5,3)代入函数解
2、析式得,k=-0,所以选项A不符合题意;把(1,-3)代入函数解析式得,k=-20,所以选项C符合题意;把(5,-1)代入函数解析式得,k=0,所以选项D不符合题意.故选C.45323.(2018陕西,4,3分)如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为()A.-2 B.-C.2 D.1212答案答案 B四边形AOBC是矩形,A(-2,0),B(0,1),AC=OB=1,BC=OA=2,点C的坐标为(-2,1),将(-2,1)代入y=kx,得1=-2k,解得k=-,故选B.124.(2020四川成都,12,4分)一次函数y=(2m-1)
3、x+2的值随x值的增大而增大,则常数m的取值范围为 .答案答案 m 12解析解析y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大,2m-10,解得m.125.(2019天津,16,3分)直线y=2x-1与x轴交点坐标为 .答案答案 1,02解析解析令y=0,得x=,所以直线y=2x-1与x轴交点坐标为.121,026.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 .答案答案 k3解析解析由题意得k-30,所以k1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.解析解析(1)一次函数y=
4、kx+b(k0)的图象由函数y=x的图象平移得到,k=1.(1分)一次函数y=x+b的图象过点(1,2),1+b=2,b=1.(2分)这个一次函数的解析式为y=x+1.(3分)(2)m2.(5分)详解:当x1时,函数y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m0)的图象在直线y=x+1上方,临界条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,当m2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x1时,y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值.m的取值范围为m2.考点二一次函数(正比例函数)的应用问题1.(2016黑龙江哈尔滨,10,3分)明君社区有一块空地需要绿化,某绿化组
5、承担了此项任务,绿化组工作一段时间后,提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单位:m2)与工作时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示.则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是()A.300 m2 B.150 m2C.330 m2 D.450 m2 答案答案 B设提高效率后S与t的函数解析式为S=kt+b(k0),t2,把(4,1 200)、(5,1 650)代入得解得所以提高效率后的函数解析式为S=450t-600(t2).把t=2代入解析式S=450t-600,得S=300,则绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积为3002=150 m2,故选B.41 200,51 650,k
6、bkb450,-600,kb2.(2020河南,19,9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下:方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.(1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.解析解析(1)y1=k1x+b的图象过点(0,30
7、)和点(10,180),(3分)k1的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元.(4分)b的实际意义是:每张学生暑期专享卡的价格为30元.(5分)(2)打折前的每次健身费用为150.6=25(元).k2=250.8=20.(7分)(3)k1=15,b=30,y1=15x+30.k2=20,y2=20 x,当y1=y2时,15x+30=20 x.解得x=6,所以,结合函数图象可知,小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少.(9分)130,18010.bkb115,30.kb一题多解一题多解(3)当x=8时,y1=150,y2=160,所以y1y2,所以小华暑期前往该俱乐部健身8次,
8、选择方案一所需费用更少.3.(2020内蒙古包头,23,10分)某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元;(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7 800元,已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?解析解析(1)设A种商品的销售单价为x元,B种商品的销售单价为y元.根据题意得解得答:A种商品的销售单价为140元,B种商品的销售单价为180元.(4分)(2)设A,B
9、两种商品全部售出后总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)件.根据题意得w=(140-110)a+(180-140)(60-a),化简得w=-10a+2 400.110a+140(60-a)7 800,a20.k=-10300时,y与x的函数关系式;(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2,若甲种花卉的种植面积不少于200 m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?解析解析(1)当0 x300时,y=130 x;当x300时,y=80 x+15 000.(2)甲种花卉的种植面积为x m
10、2,则乙种花卉的种植面积为(1 200-x)m2,200 x800.设甲、乙两种花卉的种植总费用为w元.当200 x300时,w=130 x+100(1 200-x)=30 x+120 000,当x=200时,wmin=126 000.当300 x800时,w=80 x+15 000+100(1 200-x)=135 000-20 x,当x=800时,wmin=119 000.119 000126 000,当x=800时,总费用最少,最少为119 000元.此时乙种花卉的种植面积为1 200-800=400 m2.200,2(1 200-),xxx答:应分配甲种花卉的种植面积为800 m2,乙
11、种花卉的种植面积为400 m2,才能使种植总费用最少,最少总费用为119 000元.6.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式;(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?1212解析解析(1)设y=kx+b(
12、k0),把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得解得y与x之间的关系式为y=-500 x+7 500.(2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=py=(-500 x+7 500)=-250(x-7)2+16 000.-2500,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案答案 A由“y随x的增大而减小”可知k0,所以b0,b0 B.k0,b0 C.k0 D.k0,b0答案答案 C由图象得,y随x的增大而减小,所以k0.4.(2017福建,9,4分)若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0k2,
13、则n的值可以是()A.3 B.4 C.5 D.6 答案答案 C由已知可得-,得k=n-4,0k2,0n-42,4n1的解集为 ()A.x0 C.x1 答案答案 D由题意画出函数y=kx+b(k0)的图象,如图.由图可知kx+b1的解集为x1.故选D.方法指导方法指导根据一次函数图象经过的点的坐标,描点画出图象,利用图象法求不等式的解集.6.(2018陕西,7,3分)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为()A.(2,0)B.(-2,0)C.(6,0)D.(-6,0)答案答案 A直线l1经过点(0,4),且l1与l2关于x轴对称,又点
14、(0,4)关于x轴对称的点为(0,-4),直线l2经过点(3,2),点(0,-4),设直线l2的解析式为y=kx+b(k0),把(0,-4)和(3,2)代入y=kx+b,得解得直线l2的解析式为y=2x-4.l1与l2关于x轴对称,l1与l2的交点即为l1,l2与x轴的交点,令2x-4=0,解得x=2,所以l1与l2的交点坐标为(2,0).故选A.-4,32,bkb-4,2,bk7.(2020宁夏,13,3分)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把AOB绕点B逆时针旋转90后得到A1O1B,则点A1的坐标是 .52答案答案 124,5解析对于y=x+4,令x=0,得y=4,则O
15、B=4;令y=0,得x=-,则OA=.延长O1A1交x轴于点C.AOB绕点B逆时针旋转90后得到A1O1B,ABA1=90,ABO=A1BO1,AOB=A1O1B=90,OBO1=90,四边形OBO1C是矩形.BO1x轴,O1A1y轴,由旋转的性质得BO1=OB=4,O1A1=OA=,A1C=OB-A1O1=4-=,A1.5285858585125124,58.(2019山东潍坊,14,3分)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是 .答案答案1k3解析直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限,2-2k0,k-31,k3,1k3.9.(2018云南昆明
16、,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90后,再向左平移1个单位长度得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为 .答案答案 y=-4x或y=-x43解析解析分情况讨论:当点A绕原点O顺时针旋转90时,旋转后得点(2,-4),再向左平移1个单位长度得点A(1,-4),代入y=kx(k0)中,得k=-4,所以y=-4x;当点A绕原点O逆时针旋转90时,旋转后得点(-2,4),再向左平移1个单位长度得点A(-3,4),代入y=kx(k0)中,得k=-,所以y=-x.所以过点A的正比例函数的解析式为y=-4x或y=-x.434343考点二一次函数(正比例函数)的应用问题1.(2
17、020吉林,23,8分)某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作.当停止工作时,油箱中油量为5 L.在整个过程中,油箱里的油量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.(1)机器每分钟加油量为 L,机器工作的过程中每分钟耗油量为 L;(2)求机器工作时y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.解析解析(1)3;0.5.(2分)详解:机器每分钟加油量为=3(L),机器工作的过程中每分钟耗油量为=0.5(L).(2)设机器工作时y关于x的函数解析式为y=kx+b(k0).由题意,得(3分)解得(4分)机器工作时y
18、关于x的函数解析式为y=-x+35(10 x60).(6分)(3)5或40.(8分)详解:设机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=mx(m0),301030-560-101030,605.kbkb1-,235.kb12将点(10,30)代入得10m=30,解得m=3.则机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=3x(0 x10).油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况:在机器加油过程中,当y=15时,3x=15,解得x=5;在机器工作过程中,当y=15时,-x+35=15,解得x=40.30230212解后反思解后反思本题考查了一次函数图象的运用,求解时需要善于从抽象的函数图象中找出
19、实际的量,然后根据实际需要计算出相应的结果,同时还应明确每条线段所代表的实际含义.2.(2020广西北部湾经济区,24,10分)倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2 h共分拣垃圾3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5 h共分拣垃圾8吨.(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨,设购买A型机器人a台(10a45),B型机器人b台,请用含a的代数式
20、表示b;(3)机器人公司的报价如下表:型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在(2)的条件下,设购买总费用为W万元,问如何购买使得总费用W最少?请说明理由.解析解析(1)设1台A型机器人每小时分拣x吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣y吨垃圾,依题意得解得答:1台A型机器人每小时分拣0.4吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣0.2吨垃圾.(2)依题意得0.4a+0.2b=20,b=-2a+100(10a45).(3)结合(2),当10a30时,b=100-2a,40b80,此时W=20a+120.8(100-2a)=0.8a+960;
21、当30a45且100-2a30时,30a35,此时W=200.9a+120.8(100-2a)=-1.2a+960;当30a45且100-2a30时,35a45,2(25)3.6,5(32)8,xyxy0.4,0.2.xy此时W=200.9a+12(100-2a)=-6a+1 200.W=当10a30时,取a=10,函数值最小,是968;当30a35时,取a=35,函数值最小,是918;当35a45时,取a=45,函数值最小,是930.918930968,a=35.当a=35时,b=100-2a=30.综上,购买A型机器人35台,B型机器人30台总费用最少.0.8960(1030),-1.29
22、60(3035),-61 200(3545).aaaaaa3.(2020黑龙江齐齐哈尔,22,10分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800 km,在行驶过程中乙车速度始终保持80 km/h,甲车先以一定速度行驶了500 km,用时5 h,然后再以乙车的速度行驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h到达绥芬河;(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与
23、所用时间x(h)之间的函数解析式,不用写出自变量x的取值范围;(3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h时,甲、乙两车第一次相距40 km.解析(1)甲车改变速度前的速度是=100 km/h.乙车到达绥芬河所需要的时间是=10 h.故答案为100;10.(2)乙车速度为80 km/h,甲车到达绥芬河的时间为5+=(h).甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为y=kx+b(k0).将(5,500)和代入,得k=80,b=100.y=80 x+100.故甲车改变速度后,到达绥芬河前的函数解析式为y=80 x+100.甲车到达绥芬河后,函数解析式为y=800.(3)由(
24、2)知甲车用了 h到达绥芬河,此时乙车行驶的路程为80=700 km,距绥芬河还有800-700=100 500580080800-5008035435,80045500,35800,4kbkb354354km,设出发t h后,甲、乙两车第一次相距40 km,甲、乙两车同时出发且甲车速度大于乙车速度,100t-80t=40,解得t=2.故答案为100;2.4.(2018云南,21,8分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品.为科学决策,他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究.已知现有甲种原料293千克,乙
25、种原料314千克.生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示:甲种原料(单位:千克)乙种原料(单位:千克)生产成本(单位:元)A商品32120B商品2.53.5200设生产A种商品x千克,生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元,根据上述信息,解答下列问题:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式),并直接写出x的取值范围;(2)x取何值时,总成本y最小?解析解析(1)由题意得y=120 x+200(100-x)=-80 x+20 000,(3分)x的取值范围为24x86.(6分)提示:由解得24x86.(2)-8070时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由
26、.解析解析(1)从左到右,从上到下依次填入:1;3;1.2;3.3.(2)y1=0.1x(x0).当0 x20时,y2=0.12x,当x20时,y2=0.1220+0.09(x-20),即y2=0.09x+0.6.(3)顾客在乙复印店复印花费少.当x70时,有y1=0.1x,y2=0.09x+0.6.y1-y2=0.1x-(0.09x+0.6)=0.01x-0.6.记y=0.01x-0.6.0.010,y随x的增大而增大.又x=70时,y=0.1,x70时,y0.1,即y0,y1y2,当x70时,顾客在乙复印店复印花费少.思路分析思路分析(1)根据两店收费标准,求得结果即可.(2)根据每页收费
27、0.1元即可求得y1=0.1x(x0);当一次复印页数不超过20时,根据收费等于每页收费乘页数即可求得y2=0.12x,当一次复印页数超过20时,根据题意求得y2=0.1220+0.09(x-20)=0.09x+0.6.(3)令y=y1-y2,得到y与x(x70)之间的函数关系式,根据一次函数的增减性进行判断即可.评析评析本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,列出函数关系式是解题的关键.8.(2018湖北武汉,20,8分)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板;用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板.现准备购买A、B型钢板共100块,并全部加工成C、D型钢板.要求C型钢板不少
28、于120块,D型钢板不少于250块,设购买A型钢板x块(x为整数).(1)求A、B型钢板的购买方案共有多少种;(2)出售C型钢板每块利润为100元,D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售,请你设计获利最大的购买方案.解析解析(1)依题意,得解得20 x25,x为整数,x=20,21,22,23,24,25.答:A,B型钢板的购买方案共有6种.(2)设全部出售后共获利y元.依题意,得y=1002x+1(100-x)+120 x+3(100-x),即y=-140 x+46 000.-1400 B.m2 D.m2答案答案 D由题意得m-20,解得m0,则函数y=ax+a的图象经过第一、
29、二、三象限,排除A、C,若a0且x是整数).(2)当y=106 000时,代入得106 000=19x-8 000,解得x=6 000,这个月该厂生产产品6 000件.思路分析思路分析(1)本题的等量关系是:纯利润=产品的出厂单价产品的数量-产品的成本产品的数量-生产过程中的污水处理费-排污设备的损耗,可根据此等量关系列出纯利润与产品数量之间的函数关系式;(2)根据(1)中得出的式子,将y的值代入,求出x即可.5.(2020安徽合肥168中学一模,22)某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口外,新增了自动打印车票的无人售票窗口.某日,从早8点开始到上午11点,每个普
30、通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的正比例函数关系满足图中的图象,每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的函数关系满足图中的图象.(1)图中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 ,其中自变量x的取值范围是 ;(2)若当天共开放5个无人售票窗口,截至上午9点,两种窗口共售出的车票不少于1 450张,则至少需要开放多少个普通售票窗口?(3)上午10点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定函数关系满足图中图象的后半段的一次函数的表达式.解析解析(1)y=60 x2;0 x.(2)上
31、午9点时,y1=80,y2=60.设需要开放m个普通售票窗口,依题意得80m+6051450,m14.m为整数,m的最小值为15.答:至少需要开放15个普通售票窗口.(3)设y1=k1x,把(1,80)代入,得80=k1,y1=80 x.当x=2时,y1=160,上午10点时,y2=y1=160,由(1)知,当x=时,y2=135,图中一次函数的图象过点,(2,160),设一次函数的表达式为y2=k2x+b,3238323,1352则解得k2=50,b=60,所求一次函数的表达式为y2=50 x+60.223135,22160,kbkb6.(2020安徽亳州中考模拟预测卷一,28)如图,已知一
32、次函数y=x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,一次函数y=-x+b的图象经过点C,与x轴交于点B.(1)求直线BC的解析式;(2)点P为x轴上方直线BC上一点,点G为线段BP的中点,点F为线段AB的中点,连接GF,取GF的中点M,射线PM交x轴于点H,点D为线段PH的中点,点E为线段AH的中点,连接DE,求证:DE=GF;(3)在(2)的条件下,延长PH至Q,使PM=MQ,连接AQ、FQ、BQ、BM,若BAQ+BMQ=DEB,求点P的坐标.45解析解析(1)由题意得C(0,4),A(-5,0).一次函数y=-x+b的图象经过点C,b=4,直线BC的解析式为y=-x+4.(2)证明:连接
33、AP,在APB中,PG=GB,AF=FB,GFAP,GF=AP,12在APH中,AE=EH,PD=DH,DEAP,DE=AP,DE=GF.(3)延长GF交AQ于K,连接PE.GM=MF,PMG=QMF,PM=MQ,PGM QFM,12QF=PG=GB,FQM=GPM,QFPB,四边形FGBQ是平行四边形,BQ=FG=DE,BQFGDE,DEH QBH,EH=HB=AE,又A(-5,0),B(4,0)H(1,0),E(-2,0),设GM=a,则MF=a,PA=4a,GKAP,PM=MQ,MK=PA=2a,FK=a,FM=FK,又MFB=AFK,BF=AF,AFK BFM,FAK=MBF,BMAQ,BAQ=ABM,BAQ+BMQ=DEB=PAB,ABM+BMQ=PAB=PHA,PA=PH,AE=EH,PEAH,又点P在直线BC:y=-x+4上,E(-2,0),P(-2,6).12难点突破难点突破本题第(3)问的突破口是延长GF交AQ于K,证明AFK BFM,结合BAQ+BMQ=DEB得到PA=PH.
