1、 中考数学（湖南专用）4.2三角形及其全等A组20162020年湖南中考题组考点一三角形的相关概念1.(2020湖南湘潭,6,3分)如图,ACD是ABC的外角,若ACD=110,B=50,则A=()A.40B.50C.55D.60答案答案DACD是ABC的外角,ACD=B+A,A=ACD-B,又B=50,ACD=110,A=60,故选D.解题关键解题关键本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.2.(2018湖南常德,2,3分)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是()A.1B.2C.8D.11答案答案C设三角形第三边的长为x,由题意得7-3x7+3
2、,解得4x”“=”或“”).答案答案=解析解析根据题中图形可以求得ABC的面积为4,ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.一题多解一题多解连接CD,可知CDAB,即点C,D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.考点二全等三角形的判定与性质1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABC DCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC答案答案C根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABC DCB,故选项A,B,D不符合题
3、意;添加AC=DB,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABC DCB,选项C符合题意.故选C.2.(2020北京,14,2分)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明ABD ACD,这个条件可以是(写出一个即可).答案答案答案不唯一,如:D是BC的中点解析解析根据题意可知AB=AC,B=C,若根据“边角边”判定ABD ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定ABD ACD,可以添加BAD=CAD(AD平分BAC);若根据“角角边”判定ABD ACD,可以添加BDA=CDA(ADBC或ADC=90),答案不唯一.3.(2
4、019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条直线上,若使ABC DEF,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).答案答案AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF)解析解析由BF=CE可得BC=EF,又B=E,此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”.(1)根据“SAS”,可添加AB=DE.(2)根据“AAS”,可添加A=D.(3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.方法点拨方法点拨本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一边一角对应相等,所以可以根据“SA
5、S”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据“SSA”添加条件.4.(2020黑龙江齐齐哈尔,13,3分)如图,已知在ABD和ABC中,DAB=CAB,点A、B、E在同一条直线上,若使ABD ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)答案答案AD=AC(D=C或ABD=ABC或DBE=CBE)解析解析在ABD和ABC中,已知DAB=CAB,AB为公共边,因此可以有以下几种方法:添加“AD=AC”,利用SAS判定全等;添加“ABD=ABC”,利用ASA判定全等;添加“D=C”,利用AAS判定全等;添加“DBE=CBE”,从而证得ABD=ABC或D=C,再利用ASA或AAS
6、判定全等.5.(2020云南,16,6分)如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:ADB=BCA.证明证明在ABD和BAC中,ABD BAC(SSS).(4分)ADB=BCA.(6分),ADBCBDACABBA6.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.证明证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.AB=CD,ABH DCG,AH=DG,AH-GH=DG-GH,即AG=DH.思路分析思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABH DCG,最后根据
7、全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结论.7.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心.(1)求证:BAD=CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.备用图解析解析(1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE,ABC ADE.(3分)BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC.BAD=CAE.(4分)(2)PD=6-x.(5分)如图,当ADBC时,x最小,P
8、D最大.B=30,AB=6,x=AB=6=3.PD的最大值为3.(7分)(3)m=105,n=150.(9分)提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=ACP,所以AIC=180-PAC-ACP=90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+B=105,随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150,即105AIC150,所以m=105,n=150.121212121212121212思路分析思路分析(1)根据SAS可证明ABC ADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易
9、得PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+APC,可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AICA+B.(2)证明:如图,过点B作直线DEAC,A=ABD,C=CBE.又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180,ABC的内角和等于180.(3)证明:原式可变形为=,(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形.-aac b2acbc考点二全等三角形的判定与性质1.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC
10、中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为.答案答案9解析解析AB=AC,B=C.又BAD=CAE,BAD CAE(ASA),CE=BD=9.2.(2017湖北孝感,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,OAB=90,反比例函数y=(x0)的图象经过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则k的值为.kx答案答案5-12解析解析过点A作AEx轴于E,过点B作BFx轴于F,BCy轴于C,交AE于G,如图所示,则AGBC,OAB=90,OAE+BAG=90.OAE+AOE=90,AOE=GAB,在AOE和BAG中,AOE BAG(AAS),OE=AG,
11、AE=BG.点A(n,1),AG=OE=n,BG=AE=1,B(n+1,1-n),k=n1=(n+1)(1-n),整理得n2+n-1=0,解得n=(负值舍去),k=.90,AEOAGBAOEGABAOAB -1525-12思路分析思路分析过点A作AEx轴于E,过点B作BFx轴于F,作BCy轴于C,交AE于G,则AGBC,先证得AOE BAG,得出AG=OE=n,BG=AE=1,从而求得B(n+1,1-n),根据k=n1=(n+1)(1-n)得出方程,解方程即可.解题关键解题关键本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识;熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征,会
12、证明三角形全等是解决问题的关键.3.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中:ABC=ADC;AC与BD互相平分;AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;四边形ABCD的面积S=ACBD.正确的是.(填写所有正确结论的序号)12答案答案解析解析在ABC和ADC中,ABC ADC(SSS),ABC=ADC,正确.ABC ADC,BAC=DAC,在ABO和ADO中,ABO ADO(SAS).同理,CBO CDO.OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90,ACBD.AO与OC不一定相等,不正确.ABC ADC,A
13、BADBCDCACAC,ABADBACDACAOAO BAC=DAC,ACB=ACD.ABD和CBD不一定相等,不正确.ACBD,四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=BDAO+BDCO=BD(AO+CO)=ACBD,正确.12121212解题关键解题关键掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.4.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,点D,E都在边BC上,DAE=60.若BD=2CE,则DE的长为.3答案答案3-33解析解析如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF,AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30.BAC=120,DAE=FA
14、D+FAE=60,BAD+CAE=60.又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE,ACE AFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30,DFE=60.过点E作EHDF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M.设CE=2x,则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x,又BC=2BM=2ABcos30=6,DE=6-6x,在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,3即(6-6x)2=(3x)2+(x)2,解得x1=,x2=(舍去).DE=6-6x=3-3.33-323323一题多解一题多解将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=
15、BD.可证ADE AFE,DE=EF.ACD=B=30,FCE=60.过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x,则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x.过点A作AMBC,交BC于点M,则BC=2CM=2ACcos30=22=6,FE=DE=6-6x,在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2,解得x1=,x2=(舍去).DE=6-6x=3-3.333233-3233235.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.证明证明BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE.在A
16、BF和DCE中,ABF DCE(SAS),ABDCBCBFCE AF=DE.6.(2020广东广州,18,9分)如图,AB=AD,BAC=DAC=25,D=80.求BCA的度数.解析解析DAC=25,D=80,DCA=180-DAC-D=180-25-80=75.在ABC和ADC中,ABC ADC(SAS).BCA=DCA=75.,ABADBACDACACAC 7.(2020浙江温州,18,8分)如图,在ABC和DCE中,AC=DE,B=DCE=90,点A,C,D依次在同一直线上,且ABDE.(1)求证:ABC DCE;(2)连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.解析解析(1)证明:
17、ABDE,BAC=D.又B=DCE=90,AC=DE,ABC DCE(AAS).(2)ABC DCE,CE=BC=5.AC=12,ACE=90,AE=13.225128.(2017辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DEAB于点E,作DFBC于点F,连接EF.求证:(1)ADE CDF;(2)BEF=BFE.证明证明(1)四边形ABCD是菱形,AD=CD,A=C.DEAB,DFCB,AED=CFD=90.ADE CDF.(2)四边形ABCD是菱形,AB=CB.ADE CDF,AE=CF,BE=BF,BEF=BFE.9.(2018广东,22,7分)如图,矩形ABCD中,ABAD
18、,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:ADE CED;(2)求证:DEF是等腰三角形.证明证明(1)ACE是由ACB折叠得到的,AD=BC=EC,AE=AB=DC,DE=ED,ADE CED.(2)由ADE CED得AED=CDE,即FED=FDE,FE=FD,DEF是等腰三角形.思路分析思路分析(1)由矩形的对边相等知AD=BC,AB=DC,由折叠可得BC=EC,AB=AE,等量代换可得AD=CE,AE=CD,又DE=ED,由“SSS”可证ADE CED.(2)由ADE CED可得AED=CDE,由等角对等边,可证FE=FD,即得DEF是
19、等腰三角形.10.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APM BPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.解析解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APM BPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN.MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即409
20、0.思路分析思路分析(1)根据ASA可证明:APM BPN;(2)根据APM BPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.方法归纳方法归纳证明三角形全等的一般思路:1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.3.已知两角:
21、(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.11.(2020江苏苏州,26,10分)问题1:如图,在四边形ABCD中,B=C=90,P是BC上一点,PA=PD,APD=90.求证:AB+CD=BC.问题2:如图,在四边形ABCD中,B=C=45,P是BC上一点,PA=PD,APD=90.求的值.ABCDBC解析解析问题1:证法一:B=90,APB+BAP=90.APD=90,APB+CPD=90.BAP=CPD.在APB和PDC中,APB PDC(AAS).AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+PB=BC.证法二:同证法一,可得BAP=CPD,设BAP=CP
22、D=.在RtABP中,BP=PAsin,AB=PAcos,在RtPCD中,CD=PDsin,PC=PDcos,又PA=PD,AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+BP=BC.问题2:如图,分别过点A、D作BC的垂线,垂足为E、F.,BCBAPCPDPADP 由问题1可知AE+DF=EF,在RtABE和RtDFC中,B=C=45,AE=BE,DF=CF,AB=AE,CD=DF.BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CD=(AE+DF).=.sin45AE2sin45DF22ABCDBC2()2()AEDFAEDF22解题关键解题关键本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形边
23、与角之间的关系,通过作辅助线构造“K”字型全等三角形是解决本题的关键.A组20182020年模拟基础题组时间:20分钟分值:30分一、选择题（每小题3分，共9分）1.(2019湖南永州零陵模考,6)一副三角板,按如图所示的方式叠放在一起,则图中的度数是()A.75B.105C.110D.120答案答案B如图,1=90-45=45,则=60+45=105,故选B.思路分析思路分析根据图形求出1,根据三角形的外角性质计算,得到答案.解题关键解题关键本题考查的是三角形的外角性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.2.(2019湖南娄底模拟,8)将矩形ABCD沿AE折叠,得
24、到如图所示的图形,已知CED=55,则BAD的大小是()A.30B.35C.45D.60答案答案B由折叠得EDA EDA,D=D=90.CED=55,DED=125,DAD=55,BAD=90-55=35.故选B.3.(2020湖南长沙教科院三模,3)在ABC中,若A-B=C,则此三角形是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形答案答案BA-B=C,A=B+C.又A+B+C=180,2A=180,A=90,ABC是直角三角形,故选B.思路分析思路分析根据三角形的内角和定理得出A+B+C=180,由已知条件得A=B+C,代入得出2A=180,求出A即可判断.解题关键解题关键本
25、题考查了三角形内角和定理的应用,解本题的关键是求出A的度数.二、填空题（共3分）4.(2019湖南湘潭雨湖二模,12)如图,在ABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=.答案答案4解析解析ACB=90,CE为AB边上的中线,AB=2CE=10,AE=AB=5.AD=2,DE=3,在RtCDE中,CD=4.故答案为4.1222-CE DE三、解答题（共18分）5.(2018湖南湘西模拟,23)如图,已知AB=AE,1=2,B=E,求证:BC=DE.证明证明1=2,1+BAD=2+BAD,即BAC=EAD,在EAD和BAC中,EAD BAC(AS
26、A),EADBACAEABEB BC=DE.思路分析思路分析根据题意得出BAC=EAD,进而利用全等三角形的判定与性质证明即可.解题关键解题关键本题主要考查了全等三角形的判定与性质,正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.6.(2019湖南湘西模考,21)如图,已知点B、E、F、C依次在同一条直线上,AFBC,DEBC,垂足分别为F、E,且AB=DC,BE=CF.试证明ABDC.证明证明BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE.AFBC,DEBC,AFB=DEC=90,在RtAFB和RtDEC中,ABDCBFCERtAFB RtDEC(HL),B=C,ABCD.7.(2020湖南永州模
27、拟,22)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:ABF=CDE.证明证明E,F分别是边BC,AD的中点,AF=AD,CE=BC.四边形ABCD是平行四边形,A=C,AB=CD,AD=BC,AF=CE.在ABF与CDE中,AB=CD,A=C,AF=CE,ABF CDE(SAS),ABF=CDE.1212B组20182020年模拟提升题组时间:45分钟分值:35分一、选择题（共3分）1.(2019湖南长沙周南实验学校模拟,11)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为1和9,则正方形b的面积为()A.8B.9C.10D.11答案答案Ca、b、c都是正
28、方形,AC=CD,ACD=90.BAC+ACB=ACB+DCE=90,BAC=ECD,在ABC和CED中,ABC CED(AAS),AB=EC.在RtDCE中,由勾股定理得DC2=CE2+DE2=AB2+DE2,即DC2=1+9=10,正方形b的面积为10,故选C.90,ABCCEDBACECDACCD 思路分析思路分析利用正方形边长相等,再根据同角的余角相等可得BAC=ECD,然后证明ABC CED,再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可.解题关键解题关键此题主要考查全等三角形和勾股定理的综合运用,解题关键是证明ABC CED.二、填空题（每小题3分，共9分）2.(2019湖南邵阳模拟,1
29、6)如图,在ABC中,E,F分别是AB,AC上的两点,1+2=214,则A=.答案答案34解析解析解法一:1+AEF=180,2+AFE=180,1+AEF+2+AFE=360.1+2=214,AEF+AFE=360-214=146.在AEF中,A+AEF+AFE=180(三角形内角和定理),A=180-146=34.解法二:在四边形BCFE中,B+C+1+2=360(四边形内角和为360),1+2=214,B+C=360-214=146.在ABC中,A+B+C=180(三角形内角和定理),A=180-146=34.思路分析思路分析根据三角形内角和定理可知,要求A,只要求出AEF+AFE的度数
30、或者B+C的度数即可,结合补角的性质或四边形内角和为360可以解决问题.名师点评名师点评本题是有关三角形角的计算问题.主要考查三角形内角和定理的应用和计算,找到A所在的三角形是关键,同时对四边形的内角和为360有所考查,对学生的推演能力有一定要求.3.(2018湖南益阳模拟,16)如图,在ABC中,A=64,ABC与ACD的平分线交于点A1,则A1=;A1BC与A1CD的平分线交于点A2;An-1BC与An-1CD的平分线相交于点An(n2且n为整数),要使An的度数为整数,则n的值最大为.答案答案32;6解析解析由三角形的外角性质得,ACD=A+ABC,A1CD=A1+A1BC,ABC的平分
31、线与ACD的平分线交于点A1,A1BC=ABC,A1CD=ACD,A1+A1BC=(A+ABC)=A+A1BC,A1=A=64=32.同理可得A2=A,以此类推可知An=A=,An的度数为整数,n为整数,n可取的最大值为6.1212121212121412n642n思路分析思路分析根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACD=A+ABC,A1CD=A1+A1BC,根据角平分线的定义可得A1BC=ABC,A1CD=ACD,然后整理得到A1=A,同理可得A2=A,由此找出规律即可求解.12121214解题关键解题关键本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分
32、线的定义,熟记性质并准确识图,找到规律是解题的关键.4.(2019湖南邵阳模拟,19)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),点B为y轴正半轴上一点,将线段AB绕点B旋转90至BC处,过点C作CD垂直x轴于点D,若四边形ABCD的面积为36,则直线AC的解析式为.答案答案y=x+1或y=-3x-913解析解析当线段AB绕点B逆时针旋转90至BC处时,如图1,过C作CEy轴于E,易知四边形CEOD是矩形,CE=OD,OE=CD,将线段AB绕点B逆时针旋转90至BC处,AB=BC,ABC=90,ABO+CBE=ABO+BAO=90,BAO=CBE.AOB=BEC=90,ABO BCE(AA
33、S),BO=CE,BE=OA.A(-3,0),OA=BE=3,设OD=a,CD=OE=a-3,四边形ABCD的面积为36,AOOB+(CD+OB)OD=3a+(a-3+a)a=36,解得a=6(舍负),C(6,3).12121212同理,当线段AB绕点B顺时针旋转90至BC处时,如图2,易得C(-6,9).设直线AC的解析式为y=kx+b(k0),把A点和C点的坐标代入得,或解得或直线AC的解析式为y=x+1或y=-3x-9.-30,63kbkb-30,-69,kbkb1,31kb-3,-9,kb13图1 图2易错警示易错警示本题易只考虑顺时针或逆时针一个旋转方向,导致漏解.三、解答题（共23
34、分）5.(2020湖南长沙雨花4月模拟,24)在ABC中,ACB=45,点D为线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF,如图1所示.(1)如果AB=AC,且点D在线段BC上运动,证明:CFBD;(2)如果ABAC,且点D在线段BC的延长线上运动,请在图2中画出相应的示意图,此时(1)中的结论是否成立?请说明理由.解析解析(1)证明:四边形ADEF是正方形,DAF=90,AD=AF.AB=AC,ACB=45,BAC=90,BAD+DAC=CAF+DAC=90,BAD=CAF.在BAD和CAF中,BAD CAF(SAS),B=ACF.又B+BCA=90
35、,BCA+ACF=90,即BCF=90,CFBD.(2)CFBD成立.理由如下:如图,过点A作AGAC交BC于点G,ABACBADCAFADAF 则GAD=CAF=90+CAD.ACB=45,CAG=90,AGD=45,AC=AG.在GAD和CAF中,GAD CAF(SAS),ACF=AGD=45.BCF=ACB+ACF=90,CFBD.,AGACGADCAFADAF 思路分析思路分析(1)证BAC=DAF=90,得出BAD=CAF,进而可证BAD CAF(SAS),得ACF=B,则BCF=ACB+ACF=90,即CFBD.(2)过点A作AGAC交BC于点G,可得AC=AG,进而可证GAD C
36、AF(SAS),得ACF=AGD=45,得出BCF=ACB+ACF=90,即CFBD.解后反思解后反思本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识.6.(2019湖南邵阳模考,28)探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品圆规.我们不妨把这样的图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智,解决以下问题:(1)观察“规形图”,试探究BDC与BAC、B、C之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:如图2,把一个三角尺XYZ放置在ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点
37、B、C,若A=50,则ABX+ACX=;如图3,DC平分ADB,EC平分AEB,若DAE=50,DBE=130,求DCE的度数;如图4,ABD,ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9,若BDC=140,BG1C=77,求A的度数.解析解析(1)BDC=BAC+B+C.理由:连接AD并延长至点F,由三角形外角的性质可得BDF=BAD+B,CDF=C+CAD,又BDC=BDF+CDF,BAC=BAD+CAD,BDC=BAD+B+C+CAD=BAC+B+C.(2)由(1)的结论易得ABX+ACX+A=BXC,A=50,BXC=90,ABX+ACX=90-50=40.由(1)的结论易得DBE=DAE+ADB+AEB,DAE=50,DBE=130,ADB+AEB=80.DCE=(ADB+AEB)+DAE,DCE=90.由(1)的结论易得BG1C=(ABD+ACD)+A,BG1C=77,12110设A为x,ABD+ACD=140-x,(140-x)+x=77,即14-x+x=77,解得x=70,A为70.110110
