1、 中考数学（安徽专用）第四章 图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形 20162020年全国中考题组1.(2020福建,3,4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则DEF的面积是()A.1 B.C.D.121314答案答案 D由中位线的定义及性质可得DF=BC,DFBC,所以DF=BE,EDF=DEB.又DE=DE,所以DEF EDB;同理,可证DEF CFE,DEF FAD.所以四个三角形互相全等.所以SDEF=SABC=.故选D.1214142.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关
2、于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是()A.34 B.30 C.30或34 D.30或36答案答案 A由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形,a=b=6,m=34,故选A.12,2,ababm易错警示易错警示本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.3.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是()A.70 B.44 C.34 D.24答案答案 C由作图知BA=BD,又B=40,BAD=
3、BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.4.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A.15 B.30 C.45 D.60答案答案 A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.5.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 .答案答案10或11解析解析等腰三角形的两条边长分
4、别为3和4,计算周长分两种情况讨论:若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10;若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11.故其周长为10或11.6.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 .答案答案3 3解析解析过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值为CF的长.ABC为等边三角形,边长为6,BF=AB=6=3,CF=3,CE+EF的最小值为3.121222-BC BF226-333解题关键解题关键解决
5、本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股定理求出线段CF的长.7.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度数为 .12答案答案15或45或75解析解析如图,当BA=BC时,BDAC,AD=CD=AC,BD=AC,AD=BD=CD,1212A=C=(180-90)=45.如图,当AB=AC且A为锐角时,BD=AC=AB,A=30,ABC=ACB=75.如图,当AB=AC且BAC为钝角时,BD=AC=AB,BAD=30,1212121212ABC=ACB=30=15.同理,当BC=AC时,可求得CB
6、A=CAB=75或15.故答案为15或45或75.12方法点拨方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.8.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相交于点F.求证:ABC是等腰三角形.证明证明BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC,DFB EFC.(3分)FB=FC.FBC=FCB.FBC+ABE=FCB+ACD,即ABC=ACB.ABC是等腰三角形.(6分)思路分析思路分析首先证明DFB EFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根据等腰三角形的
7、判定得证.解题关键解题关键解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.考点二直角三角形1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2 B.3 C.4 D.2 3答案答案 C在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.2.(2020河南,9,3分)如图,在ABC中,ACB=90,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OC
8、DE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为()A.B.(2,2)C.D.(4,2)3,2211,24答案答案 BA(-2,6),OC=2,AC=6,正方形OCDE的边长为2,B(7,0),OB=7,BC=9,如图,当点E在AB边上时,易证RtEOBRtACB,=,OB=2=3,OC=OB-OB-OC=7-3-2=2,点D的坐标为(2,2).即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2).故选B.ACBC EOOB96思路分析思路分析根据题意作出平移后的正方形OCDE,依据条件证得RtEOBRtACB,由相似的性质得OB的长,进而求出D的坐标,即平移后点D的坐标.3.(2020新疆,
9、9,5分)如图,在ABC中,A=90,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且DFE的面积为1,则BC的长为()A.2 B.5 C.4 D.10 55答案答案 A由DEBC可得ADEABC,又D为AB的中点,故=,E为AC的中点.过A作AHBC于H,交DE于G,则AHDE,由相似三角形的性质可知=,故AG=GH=DF,SADE=SDEF=1,从而SABC=4SADE=4.设AB=x,则AC=2x,而BAC=90,AEACADAB12AGAHADAB12x2x=4,x=2(负值舍去),故由勾股定理得BC=2.故选A.1222ABAC222454
10、.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为()A.B.2 C.D.328 131312 1313答案答案 BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.12223412思路分析思路分析由PAB=PBC,PBC+ABP=90,可得P=90,取AB的中点O,则OP=AB=3为定值,所以O,P
11、,C三点共线时CP的长最小.12解题关键解题关键想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题的关键.5.(2020山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 .答案答案 5485解析解析作PAAC交CD的延长线于P点,如图所示,在RtABC中,AB=5,cos B=,tan B=,又CDAB,B=DCA,在RtACD中,cosDCA=,CD=,在RtACP中,由cosDCA=可得CP=,由tanDCA=可得PA=,BCAC,BCPA,CEFPAF,=,又E为BC
12、的中点,CE=BC=2,=,解得CF=,DF=CD-CF=-=.22BCAC4534CDAC45125ACCP45154PAAC3494CEAPCFPF1229415-4CFCF301712530175485思路分析思路分析作PAAC交CD的延长线于P点,在RtABC中分别求出cos B,tan B,由CDAB易推出B=DCA,然后在RtACD中,利用cosDCA=求出CD,在RtACP中,利用cosDCA=求出CP,利用tanDCA=求出AP,最后根据CEFPAF求出CF,则DF=CD-CF,即可求解.454534难点突破难点突破本题的突破口是作辅助线构造CEFPAF,然后利用相似三角形的性
13、质及锐角三角函数求出CD、AP、CF、CP.6.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为直角三角形,则AE的长为 .3答案答案3或2.8解析解析易知BAF不可能为直角.当BFA是直角时,如图1,图1C是直角,ABC=DBF,BCABFD,=,又BC=2,且易知BD=,AB=4,BF=2=,由翻折可知DBE DBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB=2EF,BE=BF=1,BFBCBDBA333433223AE=4-1=3.当F
14、BA是直角时,如图2,图2连接BC、AD、BB,由翻折可知DBE DBE,BD=BD=BC=CD,BBC=90,FBA=ACD=90,RtACD RtABD,AC=AB,又易证DBB=CBA,DBBABC,=12BBBCBDCA,又=,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB,延长DE交BB于M,可得=(*),易知DM垂直平分BB,BM=BB,在直角三角形BBC中,由BB2+BC2=BC2=12,=,可求得BB=,BM=.在直角三角形DCA中,DA=,将BM=,AD=代入(*)可得AE=2.8.综上,AE=3或2.8.32DCCA32ADBMAEBE4-AEAE12BBBC326 773
15、77222(3)73 777疑难突破疑难突破本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线BC、AD、BB,并根据翻折证明BBCDCA,然后利用相似比求出AE.7.(2019内蒙古包头,20,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的动点(不与点B,C重合),过点B作BEBD交DF的延长线于点E,连接CE.下列结论:若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;若BDE=BAC,AB=4,则CE=;ABD和CBE一定相似;若A=30,BCE=90,则DE=.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)15821答案答案解析解析当BF=C
16、F时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD=CD,DF垂直平分线段BC,CE=BE,而BEBD,BD2+BE2=AD2+CE2=DE2,故正确;当BDE=BAC时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD,DBA=BAC,BDE=DBA,DEAB,点F为BC的中点,由得CD2+CE2=DE2,DCE=90,在RtABC中,AC=5,CD=,易证CDEBAC,可得=,解得CE=,故正确;ABD一定是等腰三角形,而CBE不一定是等腰三角形,故错;当A=30时,ABC=90,DBE=90,ABD=30,DBC=60,CBE=30,BD=BC=3,BCE=90,BE=2,在RtDBE中,DE=,故
17、正确.223452CECDCBAB1583223(2 3)21难点突破难点突破的突破口是抓住条件推出DF是线段BC的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质推理;的突破口是抓住条件推出DCE=90,从而利用相似比求出CE;的突破口是抓住A=30,ABC=90,DBE=90,推出BD和BE的长.8.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系;(2)求证:ABC的内角和等于180;(3)若=,求证:ABC是直角三角形.-aa bc1()2abcc解析解析(1)CA+B.(2)证明:如
18、图,过点B作直线DEAC,A=ABD,C=CBE,又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180,ABC的内角和等于180.(3)证明:原式可变形为=,-aac b2acbc(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形.9.(2018安徽,23,14分)如图1,在RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如图2,若DAE CEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.图1 图2解析解析(1
19、)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)证明:DAE CEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30.1212证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+
20、EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,MFEF1212121212121212MFEFFNAF1212AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.由可知AC=AM,又N为CM的中点,ANCM,又EMCF,ANEM.(14分)12思路分析思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=CMD+DME=2(CBM+E
21、BM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAE CEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.MFEF12NFAF1210.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证
22、:PCE EDQ;(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.ABPQ解析解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.又OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PCO=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,PCE EDQ.(5分)(2)证明:如图,连接OR.1212PR与QR分别垂直平分线段OA与OB,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形OCRD
23、中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30.ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60.ABR为等边三角形.(9分)如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE.PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90,即PEQ为等腰直角三角形.由于ARBPEQ,所以ARB=90.于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD=ARB=45,MON=135.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,则=.(14分)12222ABPQ2思路分析思路分析(1)
24、先证四边形ODEC为平行四边形得OCE=ODE,再根据OAP,OBQ都是等腰直角三角形证明PCE=EDQ,结合已知可证PCE EDQ;(2)连接OR,由PR与QR分别垂直平分线段OA与OB及MON=150,可得AR=BR,ARB=2CRD=60,即ABR为等边三角形;利用(1)的结论及已知可得出PEQ为等腰直角三角形,由ARBPEQ可得ARB=90,进一步得出CRD=45,从而得出MON=135,并说明P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,由此得出AB=PQ,进而求解.2考点一等腰三角形 教师专用题组1.(2020河南,10,3分)如图,在ABC中,AB=BC=,BAC=3
25、0,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为()A.6 B.9 C.6 D.3 333答案答案 D根据作图可知ACD为等边三角形.在ABC中,作BEAC于点E,在RtAEB中,AE=ABcos 30=,BE=AB=,AB=BC,AC=2AE=3,S四边形ABCD=SACD+SABC=AC2+ACBE=3.故选D.32123234123思路分析思路分析根据作图知ACD为等边三角形,依据ABC中的条件求得AC的长及AC边上的高,进而求得四边形ABCD的面积.2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在
26、线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PCAB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.3.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm答案答案 A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,
27、但是2+2=40),则FG=x,BF=4-x.又BG=AB-AG=5-3=2,在RtBFG中,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.32324.(2016四川南充,7,3分)如图,在RtABC中,A=30,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为()A.1B.2 C.D.1+33答案答案 A在RtABC中,A=30,BC=1,AB=2.点D,E分别是BC,AC的中点,DE=AB=2=1.12125.(2018重庆,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到AGE=30,若AE=EG=
28、2 厘米,则ABC的边BC的长为 厘米.3答案答案(6+4)3解析解析过E作EHAG于H.AGE=30,AE=EG=2,EH=,GH=EGcos 30=3,AG=6,GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2,BC=BE+EG+GC=(6+4)厘米.33336.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为 cm.答案答案(10-2)6解析解析过点A作AGDE于点G,由旋转的性质知AD=AE
29、,DAE=90,CAE=BAD=15,AED=45,AFD=AED+CAE=60,在RtADG中,AG=DG=3,2AD2在RtAFG中,GF=,AF=2FG=2,CF=AC-AF=10-2.故CF的长为(10-2)cm.3AG6666方法指导方法指导我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法构造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果.7.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.答案答案3解析解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=
30、AB=3.12时间:40分钟分值:52分A组20182020年模拟基础题组一、选择题（每小题4分，共24分）1.(2020安徽临泉第二次调研,3)在RtABC中,C=90,如果cos B=,BC=a,那么AC的长是()A.2a B.3a C.a D.a 1321024答案答案 A由cos B=可得AB=3BC=3a,AC=2a.BCAB1322-AB BC22(3)-aa22.(2020安徽合肥五十中二模,6)如图,在ABC中,AB=AC,CD平分ACB交AB于点D,AEDC交BC的延长线于点E,若BAC=32,则E的度数为()A.48 B.42 C.37 D.32答案答案 CAB=AC,BA
31、C=32,B=ACB=74,CD平分ACB,BCD=ACB=37,AEDC,E=BCD=37.故选C.12思路分析思路分析首先根据等腰三角形的性质求得ACB的度数,然后求得BCD的度数,最后利用平行线的性质求得答案.3.(2019安徽合肥168教育集团一模,6)小明把一副含45角,30角的直角三角板如图摆放,其中C=F=90,A=45,D=30,则+等于()A.180 B.210 C.360 D.270答案答案 B如图,=1+D,=4+F,+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30+90=210,故选B.解题关键解题关键掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.4.(
32、2019安徽淮南寿县中学第5次月考,6)如图,在RtABC中,C=90,A=30,E为AB上一点,且AE EB=4 1,EFAC于F,连接BF,则tanCFB等于()A.B.C.5 D.5 333332 33答案答案 A设CB=1,在RtACB中,A=30,AB=2,AC=,EFAC,EFBC.AE EB=4 1,=,CF=AC=,tanCFB=.3AFFCAEEB411535BCCF5 335.(2018安徽巢湖三中二模,8)如图,D是ABC内一点,已知ACB=90,AC=AD,DB=DC,则下列结论成立的是()A.CAD=2CBD B.ACD=2ABDC.ACD=2CAD D.ACD=3C
33、BD答案答案 A因为AC=AD,DB=DC,所以ADC=ACD,DCB=CBD,延长BD交AC于点E,则EDC=2CBD,EDC+CDB=180,又因为ACB=90,ADC+ACD+CAD=DCB+CBD+CDB=180,所以CDB+CAD=360-290=180,所以CAD=EDC=2CBD,故选A.6.(2019安徽马鞍山二模,10)如图,在等腰直角ABC中,BAC=90,点D是ABC所在平面上一点,且满足DB=3,DA=5,则CD的最小值为()A.5-3 B.5-3C.2 D.122答案答案 A将ADC绕点A顺时针旋转90,得到AEB,则CD=BE,ADE是等腰直角三角形,ED=5.AE
34、、AD、BD都是定值,所以当E、B、D三点共线时,BE最小,即CD最小.此时BE的最小值为DE-BD=5-3.即CD的最小值为5-3.故选A.222思路分析思路分析将ADC绕点A顺时针旋转90,得到AEB,CD转化为BE,由于AE、AD、BD都是定值,所以当E、B、D三点共线时,BE最小,即CD最小.二、填空题（每小题5分，共10分）7.(2020安徽合肥瑶海一模,13)如图,等边ABC中,CD为AB边上的高,O与边AC、BC相切,当AB=4,OD=1时,O的半径是 .3答案答案 52解析解析如图,设O与BC边切于点M,连接OM,则OMBC,由题意知,B=60,OCM=30,在RtBCD中,C
35、D=BCsin B=4=6,在RtOMC中,OM=OCsinOCM=(6-1)=.33212528.(2020安徽二模,13)如图,ABC中,B=60,BA=3,BC=5,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若AE=4,则BD的长为 .答案答案2解析解析过点E作EFBC于F.在RtBEF中,BFE=90,B=60,BEF=30,BF=BE=3.5,CF=BC-BF=5-3.5=1.5.ED=EC,EFBC,DC=2CF=3,BD=BC-DC=5-3=2.12思路分析思路分析过点E作EFBC于F.在RtBEF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半得出BF的长及CF的长,再根据等
36、腰三角形三线合一的性质得出DC的长,最后根据BD=BC-DC求解.三、解答题(共18分)9.(2019安徽合肥名校三模,19)某公园内有一块地如图所示,已知A=30,ABC=75,AB=BC=8米,求C点到人行道AD的距离(结果保留根号).解析解析如图,过点B作BEAD于E,过B作AD的平行线,过C作AD的垂线,两直线相交于点F.在RtABE中,A=30,AB=8米,BE=4米,BFAD,FBA=A=30,ABC=75,CBF=45,BC=8米,CF=BCsin 45=4米,C点到人行道AD的距离为(4+4)米.22解题关键解题关键作辅助线构造两个直角三角形是解答本题的关键.10.(2020安
37、徽亳州中考模拟预测卷一,19)如图,ABC中,A=30,B=62,CE平分ACB.(1)求ACE;(2)若CDAB于点D,CDF=74,证明:CFD是直角三角形.解析解析(1)A=30,B=62,ACB=180-A-B=88,CE平分ACB,ACE=BCE=ACB=44.(2)证明:CDAB,CDB=90,BCD=90-B=28,FCD=ECB-BCD=16,CDF=74,CFD=180-FCD-CDF=90,CFD是直角三角形.121.(2020安徽安庆一模,8)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知A=90,BD=3,BC=
38、13,则正方形ADOF的面积是()A.6 B.5 C.4 D.3B组20182020年模拟提升题组时间:50分钟分值:53分一、选择题(每小题4分,共20分)答案答案 C设AD=x,由BD=3,BC=13及全等三角形的性质可知BE=3,CE=CF=10,AB=3+x,AC=10+x,由勾股定理可得AB2+AC2=BC2,即(3+x)2+(10+x)2=132=169,解得x=2或x=-15(舍),正方形ADOF的面积是4,故选C.2.(2020安徽名校三模,10)在平面直角坐标系中,将RtABC按如图所示摆放,其斜边的两个端点A和B始终落在y轴和x轴上,已知CAB=30,AC=4,则线段OC长
39、度的最大值为()A.4 B.8 C.4 D.8 333答案答案 BcosCAB=,cosCAB=30,AC=4,AB=8,取AB的中点P,在RtABC中,CP=AB=4,在RtOAB中,OP=AB=4,OCCP+OP=8(当O、P、C在同一条直线上时取等号).ACAB34 3cos3012123.(2019安徽合肥包河一模,10)已知ABC中,BAC=135,AB=AC=2,P为AC边上一动点,PQBC交AB于Q,设PC=x,PCQ的面积为y,则y与x的函数关系图象是()2答案答案 C如图,作QNCA的延长线于N点,BAC=135,QAN=45,又AB=AC,PQBC,AQ=AP=2-x,在R
40、tQNA中,QN=AQ=2-x,y=x=-(x-)2+,易知其图象是抛物线的一部分,且在x=时取得最大值,故选C.222221222-2x24222222疑难突破疑难突破由ABC是等腰三角形及PQBC推出AP=AQ,再根据BAC=135找到QN与x的关系是解答本题的关键.4.(2019安徽合肥168教育集团一模,10)如图,在ABC中,C=90,AC=BC=3 cm,动点P从点A出发,以 cm/s的速度沿AB方向运动到点B,动点Q同时从点A出发,以1 cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设APQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列图象能反映y与x之间关系的是()2答案答案
41、D过点Q作QDAB于点D,如图1,当点Q在AC上运动,即0 x3时,图1由题意知AQ=x,AP=x,A=45,QD=AQ=x,则y=xx=x2.如图2,当点Q在CB上运动,即3x6时,点P与点B重合,222221222212 图2由题意知BQ=6-x,AP=AB=3,B=45,QD=BQ=(6-x),则y=3(6-x)=-x+9.故选D.222221222232思路分析思路分析作QDAB,分点Q在AC、CB上运动这两种情况,由直角三角形的性质表示出QD的长,利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断.解题关键解题关键本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线,据此分类
42、讨论并得出函数解析式.5.(2020安徽安庆宿松一模,10)在如图所示的三角形中,A=30,点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点,分别连接BP和PQ,把ABC分割成三个三角形ABP,BPQ,PQC,若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,则C所有可能的值的个数为()A.10 B.8 C.6 D.4答案答案 B如图所示,共有10种情况,C的度数有8个,分别为100,80,50,40,35,25,20,10.当AB=AP,BQ=PQ,CP=CQ时,如图,此时C=40;当AB=AP,BQ=PQ,PQ=PC时,如图,此时C=50;当AB=AP,PB=PQ,PQ=CQ时,如图,此时C=25;当AB=A
43、P,BP=BQ,PQ=QC时,如图,此时C=35;当AP=PB,PB=BQ,PQ=CQ时,如图,此时C=20;当AP=PB,PB=PQ,PQ=QC时,如图,此时C=40;当AP=PB,QB=PQ,PQ=PC时,如图,此时C=80;当AP=PB,QB=PQ,PC=CQ时,如图,此时C=100;当BP=AB,PQ=BQ,PQ=PC时,如图,此时C=20;当BP=AB,PB=PQ,PQ=QC时,如图,此时C=10.故选B.6.(2020安徽合肥五十中二模,13)如图,若点D为等边ABC的边BC的中点,点E,F分别在AB,AC边上,且EDF=90,当BE=2,CF=1时,EF的长度为 .二、填空题(共
44、5分)答案答案 7解析解析作EMBC于点M,作FNBC于点N,则EMB=EMD=90,FNC=FND=90,ABC是等边三角形,B=C=60,BE=2,CF=1,BM=1,EM=,CN=,FN=,EDF=90,EDM+FDN=90,又EDM+DEM=90,DEM=FDN,EDMDFN,=,设BD=DC=a,则DM=a-1,DN=a-,=,解得a=-(舍去)或a=2(经检验,a=2是分式方程的解),DM=1,DN=,EMD=90,FND=90,DE=2,31232EMDNDMFN1231-2a-132a123222EMDM22(3)1DF=,又EDF=90,EF=,故答案为.22DNFN2233
45、22322DEDF222(3)77思路分析思路分析作EMBC于点M,作FNBC于点N,根据特殊角的三角函数值可以得到EM、BM、FN、CN的值,再利用三角形相似可以求得DM和DN的值,最后利用勾股定理求解.7.(2018安徽合肥包河一模,23)在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=2,P为ABC所在平面内一点,分别连接PA,PB,PC.(1)如图1,已知APB=BPC=APC,以点A为旋转中心将APB顺时针旋转60,得到AMN.请画出图形,并求证:C、P、M、N四点在同一条直线上;求PA+PB+PC的值;三、解答题(共28分)(2)如图2,如果点P满足BPC=90,设Q是AB边的中点,
46、求PQ的取值范围.图2 解析解析(1)如图所示.证明:易得APB AMN,AP=AM,又PAM=60,APM为等边三角形,APM=AMP=60,APB=BPC=APC=AMN=120,APM+APC=60+120=180,AMP+AMN=180,C、P、M、N四点在同一条直线上.连接BN,易得ABN为等边三角形,ABN=60,易知ABC=30,CBN=90,AC=2,AN=AB=BN=4,BC=2,PA=PM,PB=MN,PA+PB+PC=CN,在RtBCN中,CN=2,PA+PB+PC的值为2.(2)BPC=90,点P在以BC为直径的圆上(P与B、C不重合),322BCBN77设BC的中点为
47、O,易知P在P1位置时,PQ最小,则P1O=BC=,OQ=AC=1,P1Q=-1;当P在P2位置时,PQ最大,则P2Q=+1,1231233P与B、C不重合,PQ2.综上,PQ的取值范围为-1PQ+1且PQ2.33思路分析思路分析(1)由旋转易证APB AMN,可得APM为等边三角形,只需证明APM+APC=180,AMP+AMN=180即可证明C,P,M,N四点共线;连接BN,易得ABN为等边三角形,由知PA=PM,MN=PB,从而得PA+PB+PC=CN,易知CBN=90,在RtBCN中由勾股定理即可求出CN;(2)画出图形即可确定PQ的取值范围.8.(2019安徽合肥瑶海一模,23)如图
48、1,在ABC中,分别以AB、AC为腰向外侧作等腰RtADB与等腰RtAEC,DAB=EAC=90,连接DC、EB相交于点O.(1)求证:BEDC;(2)若BE=BC.如图2,G、F分别是DB、EC的中点,求的值;如图3,连接OA,若OA=2,求DOE的面积.GFBC图1解析解析(1)证明:易证BAE DAC,所以BE=DC,BEA=DCA,EOC=EAC=90,即BEDC.(4分)(2)取DE的中点H,连接GH、FH,G是DB的中点,GHBE,GH=BE,同理FHDC,FH=DC,1212又BE=DC,BEDC,FH=GH,FHGH,GF=GH=BE.又BE=BC,=.(8分)BE=BC,AE
49、=AC,BA=BA,BEA BCA.BAE=BAC=135.DAE=BAE-90=45,即OAD+OAE=45.过点A作AMBE,ANCD,222GFBC22由BEA DCA得AM=AN,OA平分BOC.又BEDC,BOA=COA=45,DOA=EOA=135,在DOA中,ODA+OAD=180-DOA=45,OAE=ODA,ODAOAE,=,即ODOE=OA2=4,ODOAOAOESDOE=ODOE=2,即DOE的面积为2.(14分)12思路分析思路分析(1)先证BAE DAC,从而可证EOC=EAC=90,问题解决;(2)取DE的中点H,连接GH、FH,由中位线性质及(1)的结论,再由勾股定理可得GF与BE的关系,而BE=BC,问题解决;先证BEA BCA,从而可得DAE=45,再作AMBE,ANDC,易证OA平分BOC,从而可得DOA=EOA,进一步证明ODAOAE,从而得到=,可求ODAE,问题解决.ODOAOAAE
