1、 中考数学（安徽专用）第二章 方程(组)与不等式(组)2.3一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法 20162020年全国中考题组1.(2020安徽,5,4分)下列方程中,有两个相等实数根的是()A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0答案答案 A对于选项A,x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x1=x2=1;对于选项B,方程无实数解;对于选项C,方程有两个不等的实数根-1,3;对于选项D,方程有两个不等的实数根0,2,故选A.2.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.
2、有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根答案答案 A将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两个不相等的实数根,故选A.3.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则-4+17的值为 ()A.-2 B.6 C.-4 D.4 32x21x答案答案 Ax1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,x1+x2=-1,=-x1+3,=-x2+3.-4+17=x2(-x2+3)-4(-x1+3)+17=-+3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)+2=-
3、4+2=-2,故选A.21x22x32x21x22x解题关键解题关键先由题意得出=-x1+3,=-x2+3,再将所求式子变形为x2-4+17,然后将代入是解答本题的突破口.21x22x22x21x4.(2018山东临沂,4,3分)一元二次方程y2-y-=0配方后可化为()A.=1 B.=1C.=D.=34212y21-2y212y3421-2y34答案答案 B由y2-y-=0得y2-y=,配方得y2-y+=+,=1.故选B.343414341421-2y5.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2 B.-3 C.4 D.-6
4、答案答案 A将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A.6.(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是()A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0答案答案 D A项,=(-2)2-410=40;B项,=(-2)2-41(-1)=80;C项,=(-2)2-411=0;D项,=(-2)2-412=-40,D项中的方程没有实数根,故选D.思路分析思路分析对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路
5、硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.解析解析(1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米,根据题意,得x4(50-x).(2分)解得x40.答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米.(4分)(2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为2 1,所以,道路硬化的里程数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米.设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元.由题意,得30y+152y=780,解得y=13.所以,2017
6、年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.(5分)根据题意,得13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%).(8分)令a%=t,原方程可化为:520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).整理得10t2-t=0.解得t1=0,t2=0.1.a%=0(舍去)或a%=0.1.a=10.答:a的值是10.(10分)考点一一元二次方程及其解法教师专用题组1.(2020河南,7,3分)定义运算:mn=mn2-mn-1.例如:42=422-42-1=7.则方程1x=0的根的情况为()A.有两个
7、不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根答案答案 A由题意知,1x=x2-x-1=0,a=1,b=-1,c=-1,=b2-4ac=(-1)2-41(-1)=50,方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A.2.(2020新疆,5,5分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2-x+=0 B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x=014答案答案 D一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式=b2-4ac0,A选项中,=(-1)2-41=1-1=0,方程有两个相等的实数根;B选项中,=22-414=-120,方程无实数根;C选项中
8、,=(-1)2-412=-70,方程有两个不相等的实数根,故选D.143.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根答案答案 A只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以A选项有两个不相等的实数根;因为=42+4=200,所以
9、B选项有两个不相等的实数根;因为=(-4)2-423=-80,所以D选项有两个不相等的实数根.故选C.5.(2017四川绵阳,7,3分)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为()A.-8 B.8 C.16 D.-16答案答案 C关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,-=-1,=-2,m=2,n=-4,nm=(-4)2=16.2m2n6.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为()A.6 B.5 C.4 D.3答案答案 B关于x的方程x2+2
10、x+m-2=0有两个实数根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3.m为正整数,m=1或2或3.当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意.当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.7.(2019广东广州,10,3分)关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2答案答案 Dx1,x2是一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根,x1+x2=k-1,x1x2=-k+2,(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=
11、(x1-x2)2-4+2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,(k-1)2-2(-k+2)-4=-3,即k2=4,解得k=2.当k=-2时,方程为x2+3x+4=0,=32-414=9-160,此时方程有两个实数根,k=2,故选D.方法总结方法总结本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),其中=b2-4ac,当0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当0,方程有两个不相等的实数根.x=,x1=,x2=.2-42bbaca228231731-7312.(2017湖北黄冈,17,6分)已知关
12、于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求+的值.21x22x解析解析(1)方程有两个不相等的实数根,=(2k+1)2-4k2=4k+10,(2分)解得k-,k的取值范围是k-.(3分)(2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0.由根与系数的关系可得(4分)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7.(6分)14141212-3,1.xxxx21x22x13.(2018内蒙古呼和浩特,23,7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2
13、,请你用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1x2=.ca解析解析ax2+bx+c=0(a0),x2+x=-,x2+x+=-+,=,4a20,当b2-4ac0时,方程有实数根.x+=.当b2-4ac0时,x1=,x2=,x1x2=;bacaba22baca22ba22bxa22-44baca2ba2-42baca2-42bbaca2-42bbaca222(-4)(-4)4bbacbbaca222-(-4)4bbaca244acaca当b2-4ac=0时,x1=x2=-,x1x2=.综上,证得x1x2=.2ba2-2ba224ba244acacaca考点二一元二次方程的应用1.(2
14、018四川绵阳,8,3分)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为()A.9 B.10 C.11 D.12答案答案 C设参加酒会的人数为x,依题意可得x(x-1)=55,化简得x2-x-110=0,解得x1=11,x2=-10(舍去),故选C.122.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有()A.(180+x-20)=10
15、 890B.(x-20)=10 890C.x-5020=10 890D.(x+180)-5020=10 89050-10 x-18050-10 x-18050-10 x50-10 x答案答案 B当房价定为x元时,空闲的房间有间,所以有游客居住的房间有间,则宾馆当天的利润为(x-20)元,故B正确.-18010 x-18050-10 x-18050-10 x思路分析思路分析先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而得出宾馆当天的利润并列出等式.3.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具
16、箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为()A.(80-x)(70-x)=3 000B.8070-4x2=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000D.8070-4x2-(70+80)x=3 000 答案答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程(80-2x)(70-2x)=3 000.4.(2020山西,14,3分)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余
17、部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.答案答案2解析解析设正方形的边长为x cm,则长方体铁盒底面的宽为=(6-x)cm,底面的长为(10-2x)cm,(6-x)(10-2x)=24,化简得x2-11x+18=0,即(x-2)(x-9)=0,解得x1=2,x2=9,由解得0 x25,当x=20时,40-x=40-20=200,方程有两个不相等的实数根,故选B.8.(2019安徽合肥十校第一次联考,7)下列方程没有实数根的是()A.3x2-2x=0 B.3x2+2=4xC.(1-2x)2-2=0 D.x2-3x-=023答案答案 B B选项,
18、3x2+2=4x,3x2-4x+2=0.=b2-4ac=(-4)2-24=-80,3x2+2=4x没有实数根,故选B.9.(2019安徽合肥瑶海一模,7)某公司今年销售一种产品,一月份获得利润10万元,由于产品畅销,利润逐月增加,第一季度共获利42万元,已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x,那么x满足的方程为()A.10(1+x)2=42B.10+10(1+x)2=42C.10+10(1+x)+10(1+2x)=42D.10+10(1+x)+10(1+x)2=42答案答案 D易知二月份的利润是10(1+x)万元,三月份的利润是10(1+x)2万元,所以10+10(1+x)+10(1+x)2=42,故选D.10.(2020安徽合肥三十八中二模,14)若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 .二、填空题(共5分)答案答案 k0,解得k0,解得m2.(2)由(1)知m3 240,所以去乙商场购买更优惠.(8分)10111 00011910
