1、第2讲整式及因式分解类型一图形规律探索类型一图形规律探索(讲解见讲解见P136题型一规律探索问题题型一规律探索问题)1(2020山西山西12题题3分分)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，三角形组合而成，第第1个图案有个图案有4 个三角形，第个三角形，第2个图案有个图案有7个三角形，第个三角形，第3个个图案有图案有10个三角形个三角形按此规律摆下去，第按此规律摆下去，第n个图案有个图案有_个三角形个三角形(用含用含n的代数式表示的代数式表示).3n12(2016山西山西13题题3分分)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的
2、小如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个图案中有_个涂有阴影的小正方形个涂有阴影的小正方形(用含用含n的代数式表示的代数式表示).4n1类型二实际问题中的代数式类型二实际问题中的代数式3(2017山西山西12题题3分分)某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为衣机每台进价为a元，商店将进价提高元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以后，商店又以9折优惠价促销，
3、这时该型号洗衣机的零售价为折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为_元元1.08aD B 6(2020山西山西3题题3分分)下列运算正确的是下列运算正确的是()A3a2a5a2 B8a24a2aC(2a2)38a6 D4a33a212a67(2019山西山西2题题3分分)下列运算正确的是下列运算正确的是()A2a3a5a2 B(a2b)2a24b2Ca2a3a6 D(ab2)3a3b6CD10(2014山西山西11题题3分分)计算：计算：3a2b32a2b_D B 6a4b411(2014山西山西17(2)题题5分分)分解因式：分解因式：(x1)(x3)1.解：原式解：原式x24x31(x2)
4、2.12(2017山西山西16(2)题题5分分)分解因式：分解因式：(y2x)2(x2y)2.B 整式的运算注意事项整式的运算注意事项1幂的乘方转化为指数乘法运算，如幂的乘方转化为指数乘法运算，如(a2)3a23；2同底数幂的乘法转化为指数的加法运算，如同底数幂的乘法转化为指数的加法运算，如a2a3a23；3在积的乘方运算时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方，在积的乘方运算时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方，如如(2a)323a38a3；4(1)单项式乘多项式，积的项数与多项式一样；单项式乘多项式，积的项数与多项式一样；(2)多项式乘多项式，不要漏乘多项式中的常数项，特别
5、是多项式中含有多项式乘多项式，不要漏乘多项式中的常数项，特别是多项式中含有“”的项的项1(2020太原一模太原一模)下列运算结果正确的是下列运算结果正确的是()A3x2y5xy B6x3x36C(2x2y)36x6y3 Dx3(x)x22(2020山西百校联考二山西百校联考二)下列运算正确的是下列运算正确的是()A.xx2x3 B(xy)2x2y2C(xy2)3y3xy3 D(x)3x2x5DD4(2019绥化绥化)计算：计算：(m3)2m4_D m2【例例2】(5分分)分解因式：分解因式：m3(x2)m(2x).规范答题规范答题解：原式解：原式(m3m)(x2)(2分分)m(m21)(x2)
6、(3分分)m(m1)(m1)(x2).(5分分)因式分解及注意事项因式分解及注意事项1公因式的特点：系数是各项系数的最大公因数，字母是各项中都含有的公因式的特点：系数是各项系数的最大公因数，字母是各项中都含有的字母，而字母的次数则取各项中最小的；字母，而字母的次数则取各项中最小的；2因式分解与整式乘法是互逆变形，可用整式乘法对因式分解进行检验，因式分解与整式乘法是互逆变形，可用整式乘法对因式分解进行检验，因式分解结果必须是分解彻底的整式积的形式；因式分解结果必须是分解彻底的整式积的形式；3因式分解是恒等变形因式分解是恒等变形5(2020益阳益阳)下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是()Aa
7、(ab)b(ab)(ab)(ab)Ba29b2(a3b)2Ca24ab4b2(a2b)2Da2abaa(ab)6(2020山西百校联考三山西百校联考三)将将x24y2因式分解为因式分解为_.C(x2y)(x2y)7(2020聊城聊城)因式分解：因式分解：x(x2)x2_8分解因式：分解因式：2a3b4a2b22ab3.解：原式解：原式2ab(a22abb2)2ab(ab)2.(x2)(x1)试题试题1下列运算正确的是下列运算正确的是()A3a2a5a2B3a22aaC(a)3(a2)a5D(2a3b24ab4)(2ab2)2b2a2D试题试题2判断下列因式分解的正误：判断下列因式分解的正误：(
8、1)分解因式：分解因式：a3ab2a(ab)(ab)；()(2)分解因式：分解因式：x24x4(x2)2；()(3)分解因式：分解因式：x(xy)y(yx)x22xyy2()因式分解中的常见错误因式分解中的常见错误(1)公因式没有全部提出，尤其应注意不能忽略数字因式；公因式没有全部提出，尤其应注意不能忽略数字因式；(2)符号错误：提符号错误：提取的公因式若含取的公因式若含“”号，则括号内的各项应变号；号，则括号内的各项应变号；(3)分解不彻底：要分解分解不彻底：要分解到每一个多项式都不能再分解为止；到每一个多项式都不能再分解为止；(4)对多因式局部分解，导致因式分解的对多因式局部分解，导致因式
9、分解的最后结果不是乘积的形式最后结果不是乘积的形式试题试题3判断下列整式运算的正误：判断下列整式运算的正误：(1)计算：计算：(ab)2a2bb；()(2)计算：计算：2(x3)(x3)(x2)(x3)(4x)()易错分析整式的运算易错分析整式的运算(化简化简)是指通过去括号、合并同类项等将代数式化是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式为最简形式1(2020河北河北)对于对于x3xyx(13y)，(x3)(x1)x22x3，从，从左到右的变形，表述正确的是左到右的变形，表述正确的是()A.都是因式分解都是因式分解B都是乘法运算都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算是因式分解，是乘法运算
10、D是乘法运算，是因式分解是乘法运算，是因式分解C2分解因式：分解因式：a32a2bab2_3分解因式：分解因式：(ab)264_4计算：计算：(x5)2x2_5计算：计算：(2x1)(2x1)_a(ab)2(ab8)(ab8)10 x254x211小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，ab，3，x21，a，x1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，山，分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，山，现将现将3a(x21)3b(x21)因式分解，结果呈现的密码信息可能是因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A我爱学
11、我爱学 B爱山西爱山西C我爱山西我爱山西 D山西数学山西数学C2(2019广东广东)如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空长度如图所示，小明按图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用隙，那么小明用9个这样的图形个这样的图形(图图)拼出来的图形的总长度是拼出来的图形的总长度是_(结果用含结果用含a，b代数式表示代数式表示).a8b3(2020重庆重庆A)在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当
12、不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数数“差一数差一数”定义：对于一个自然数，如果这个数除以定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为余数为4，且除以，且除以3余数为余数为2，则，则称这个数为称这个数为“差一数差一数”例如：例如：14524，14342，所以，所以14是是“差一数差一数”；19534，但但19361，所以，所以19不是不是“差一数差一数”(1)判断判断49和和74是否为是否为“差一数差一数”？请说明理由；？请说明理由；(2)求大于求大于300且小于且小于400的所有的所有“差一数差一数”
13、解：解：(1)49594，但，但493161，所以，所以49不是不是“差一数差一数”；745144，743242，所以，所以74是是“差一数差一数”(2)大于大于300且小于且小于400的数除以的数除以5余数为余数为4的有的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，其中除以，其中除以3余数为余数为2的有的有314，329，344，359，374，389.故大于故大于300且小于且小于400的所有的所有“差一数差一数”有有314，329，344，359，374，389.4(20
14、20达州达州)中国奇书中国奇书易经易经中记载，远古时期，人们通过在绳子上中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即打结来计数，即“结绳计数结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满上打结，满5进进1，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是的天数是()A10 B89 C165 D294D【文化素材文化素材】(杨辉三角杨辉三角)中国南宋数学家杨辉中国南宋数学家杨辉(约约13世纪世纪)所著的所著的详解九章算术详解九章算术(1261年年)一书中，一书中，用如右图中的三角形解释
15、二项和的乘方规律杨辉在注释中提到，在他之前用如右图中的三角形解释二项和的乘方规律杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪北宋数学家贾宪(1050年左右年左右)也用过此方法，我们称这个三角形为也用过此方法，我们称这个三角形为“杨辉三角杨辉三角”或或“贾宪三角贾宪三角”杨辉三角形两腰上的数都是杨辉三角形两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方，其余每个数为它的上方(左左右右)两数之和，事实上，这个三角形给出了两数之和，事实上，这个三角形给出了(ab)n(n1，2，3，4，5，6)的展的展开式开式(按按a的次数由大到小的顺序的次数由大到小的顺序)的系数规律的系数规律5(2020泰安泰安)如下被称为如下被称为“杨辉三角杨辉三角”或或“贾宪三角贾宪三角”其规律是：从其规律是：从第三行起，每行两端的数都是第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数，其余各数都等于该数“两肩两肩”上的数之上的数之和两平行线之间的一列数：和两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，我们把第一个数记为，我们把第一个数记为a1，第二个数记为第二个数记为a2，第三个数记为，第三个数记为a3，第，第n个数记为个数记为an，则，则a4a200_20110
