1、二次函数与线段交点问题学习目标1.会应用二次函数的图象与性质解决交点问题；2.体会数形结合思想在数学问题中的应用.类型一、定抛物线与动直线（动线段）1.已知抛物线已知抛物线yx2x2交交x轴正半轴于点轴正半轴于点A，交，交y轴于点轴于点B.(1)若抛物线若抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb有两个交点，求有两个交点，求b的取值范围；的取值范围；解：解：(1)抛物线抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb有两个交点，有两个交点，将抛物线解析式将抛物线解析式yx2x2与一次函数解析式与一次函数解析式yxb联立，联立，可得可得x22x2b0，=(2)24(2b)=12+4b0，解得，解得b3
2、 ；变式变式1：若抛物线若抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb有一个交点，求有一个交点，求b的值的值；解：解：抛物线抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb有一个交点，有一个交点，将抛物线解析式将抛物线解析式yx2x2与一次函数解析式与一次函数解析式yxb联立，联立，可得可得x22x2b0，=(2)24(2b)=12+4b=0，解得，解得b=3 ；变式变式2：若抛物线若抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb没没有交点，求有交点，求b的的取值范围；取值范围；解：解：抛物线抛物线yx2x2与一次函数与一次函数yxb没有交点，没有交点，将抛物线解析式将抛物线解析式yx2x2与一次函数解析
3、式与一次函数解析式yxb联立，联立，可得可得x22x2b0，=(2)24(2b)=12+4b0，解得，解得b3 ；小结1抛物线与抛物线与直线直线的交点问题的解题的交点问题的解题方法方法是是联立两个解析式联立两个解析式得到得到一元二一元二次方程次方程，再根据一元二次方程根的，再根据一元二次方程根的判别式判别式b24ac判断判断；当当b24ac0时，抛物线与直线有时，抛物线与直线有唯一交点唯一交点(顶点顶点)；当当b24ac0时，抛物线与直线有时，抛物线与直线有两个交点两个交点；当当b24ac0时，抛物线与直线时，抛物线与直线无交点无交点(2)点点C(0，2)和点和点D(3，m)为平面直角坐标系内
4、两点，连接为平面直角坐标系内两点，连接CD，若抛，若抛物线物线yx2x2与线段与线段CD只有一个公共点，求只有一个公共点，求m的取值范围；的取值范围；分析：知道点点D(3，m)的横坐标为的横坐标为3，可推得点，可推得点D在直线在直线x=3上运动，把上运动，把x=3带入二次函数表达式求出对应的函数值为带入二次函数表达式求出对应的函数值为4，得此时点坐标（，得此时点坐标（3，4），），点点D在点（在点（3，4）上方时，）上方时，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段CD没有公共点；没有公共点；点点D在点（在点（3，4）下方或与点（）下方或与点（3，4）重合时，）重合时，抛物线抛物线yx2x2与与线段线
5、段CD只有一个公共点。只有一个公共点。解：解：将将x3代入代入yx2x2中，解得中，解得y4，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段CD只有一个公共点，只有一个公共点，m4；无交点有1个交点(3)点点E(2，2)和点和点F(t，4)为平面直角坐标系内两点，连接为平面直角坐标系内两点，连接EF，若抛物，若抛物线线yx2x2与线段与线段EF只有一个公共点，求只有一个公共点，求t的取值范围；的取值范围；分析：知道点点F(t,4)的纵坐标为的纵坐标为4，可推得点，可推得点F在直线在直线y=4上运动，把上运动，把y=4带入二次函数表达式求出对应的带入二次函数表达式求出对应的x为为x3或或x2，得此时点坐标，
6、得此时点坐标（3，4）或（）或（-2，4），），点点F在点在点M右侧或点右侧或点N左侧时，左侧时，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段EF没有公共没有公共点；点；点点F在线段在线段MN之间（可与点之间（可与点M重合，但不与点重合，但不与点N重合）时，重合）时，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段EF只有一个公共点。只有一个公共点。解：解：将将y4代入代入yx2x2中，解得中，解得x3或或x2，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段EF只有一个公共点，只有一个公共点，2t3；无交点有1个交点(4)点点P是直线是直线AB上的一个动点，将点上的一个动点，将点P向右平移向右平移4个单位长度得到点个单位长度得到
7、点Q，若线段，若线段PQ与抛物线与抛物线yx2x2只有一个公共点，求点只有一个公共点，求点P的横坐标的横坐标xP的取值范围的取值范围分析：可得线段PQ长度为定值，PQ=4，当线段线段PQ过抛物线顶点或点过抛物线顶点或点P在线段在线段AB（不与点（不与点B重合）重合）上时，抛物线上时，抛物线yx2x2与线段与线段PQ只有一只有一个公共点。个公共点。无交点有1个交点(4)点点P是直线是直线AB上的一个动点，将点上的一个动点，将点P向右平移向右平移4个单位长度得到点个单位长度得到点Q，若线段，若线段PQ与抛物线与抛物线yx2x2只有一个公共点，求点只有一个公共点，求点P的横坐标的横坐标xP的取值范围
8、的取值范围解解yx2x2交交x轴正半轴于点轴正半轴于点A，交，交y轴于点轴于点B，A(2，0)，B(0，2)，顶点为（，顶点为（，）直线直线AB的解析式为的解析式为yx2，分析得：分析得：线段线段PQ过抛物线顶点或点过抛物线顶点或点P在线段在线段AB上时上时（不与点（不与点B重合）重合），即即0 xP2，抛物线抛物线yx2x2与线段与线段PQ只有一个公共点，只有一个公共点，综上所述，点综上所述，点P的横坐标的横坐标xP的取值范围是的取值范围是00时，如解图时，如解图，抛物线与线段，抛物线与线段AB无公共点无公共点如解图如解图，当抛物线的顶点在线段，当抛物线的顶点在线段AB上时，上时，则则9a2
9、，a .如解图如解图，当抛物线与线段，当抛物线与线段AB有一个公共有一个公共点时，则当点时，则当x3时，时，y9a12a5a8a2，解得，解得a .综上所述，综上所述，a的取值范围为的取值范围为a 或或a .小结当二次函数解析式当二次函数解析式yax2bxc中二次项系数中二次项系数a不确定不确定时，求抛物线与线时，求抛物线与线段的交点：段的交点：(1)二次项系数二次项系数a不确定不确定时，需时，需分类讨论，分类讨论，分抛物线的开口向上和开口向下分抛物线的开口向上和开口向下两种情况讨论；两种情况讨论；(2)抛物线的顶点确定时，求交点时，关键是确定两个抛物线的顶点确定时，求交点时，关键是确定两个临
10、界点临界点，即抛物线过，即抛物线过线段线段两两端点端点；(3)数形结合数形结合：画出抛物线的大致图象，根据图象的变化情况，计算出在临：画出抛物线的大致图象，根据图象的变化情况，计算出在临界点时参数的值，从而求出参数的取值范围界点时参数的值，从而求出参数的取值范围1.已知抛物线y=x2-2x和直线y=x,点P(a,b)为直线y=x 上一个动点,将点P向右平移2个单位长度得到点 Q,若线段 PQ 与抛物线只有一个公共点,求a的取值范围.当堂检测由题得:P(a,b)Q(a+2,b),且点P(a,b)为直线y=x 上一个动点P(a,a)、Q(a+2,a),PQ=2当点Q恰为抛物线顶点时，线段 PQ 与
11、抛物线只有一个公共点，此时a+2=1,a=-1沿着直线y=x方向平移PQ，当点P与原点重合时，点Q与抛物线与x轴另一个交点重合，此时线段 PQ 与抛物线有两个公共点，a=0，不符合题意，舍去继续沿着直线y=x方向平移PQ，当点P平移到抛物线与直线交点(3,3)时，线段 PQ 与抛物线只有一个公共点，a=3继续沿着直线y=x方向平移PQ，线段 PQ 与抛物线没有公共点-1a3且a02.已知，抛物线yx2+bx+c交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为（1，0），对称轴为x1点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A（，5），B（4，5）（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当1x4时，求
12、y的取值范围；（3）连接AB，若抛物线yx2+bx+c向下平移k（k0）个单位时，与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围解：（1）抛物线对称轴为直线x 1，b2，yx22x+c，将（1，0）代入yx22x+c得01+2+c，解得c3，yx22x3（x1）24，抛物线顶点坐标为（1，4）（3）抛物线y（x1）24向下平移k个单位后解析式为y（x1）24k=x22x3-k，抛物线顶点坐标为（1，4k），当抛物线顶点落在AB上时，4k5，解得k1，当抛物线经过点A（，5）时，5（）24k，解得k ，若抛物线与AB有两个交点，则1k（2）y（x1）24，x1时，y取最小值为-4，
13、1（1）41，又x4时，y5，当1x4时，4y5中考链接（2021河南河南22题题）3.如图，抛物线如图，抛物线yx2mx与直线与直线yxb交于点交于点A(2，0)和点和点B.(1)求求m和和b的值；的值；(2)求点求点B的坐标，并结合图象写出不等式的坐标，并结合图象写出不等式x2mxxb的解集；的解集；(3)点点M是直线是直线AB上的一个动点，将点上的一个动点，将点M向左平移向左平移3个单位长度得到个单位长度得到点点N.若线段若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的横坐标xM的取值范围的取值范围解解(1)由题得由题得42m0，2b0，m2，b
14、2；(2)联立联立yx22x与与yx2得：得：x22xx2，x2x20，x12，x21，B(1，3)观察图象得不等式的解集为观察图象得不等式的解集为x2；(3)1xM2或或xM3.第（3）题解图【分析】如解图【分析】如解图，A(2，0)，B(1，3)，当点当点M在线段在线段AB上上(不含点不含点A)时，线段时，线段MN与抛物线只有一个公共点；与抛物线只有一个公共点；如解图如解图，当线段，当线段MN经过抛物线顶点经过抛物线顶点P时，线段时，线段MN与抛物线只有一个与抛物线只有一个公共点，公共点，P(1，1)，点点M的纵坐标为的纵坐标为1，xM3，综上所述，点综上所述，点M的横坐标的横坐标xM的取值范围是的取值范围是1xM2或或xM3.第（3）题解图课堂小结1.本节课有哪些收获？2.解决二次函数与线段交点问题时，我们主要用了哪些数学思想与方法呢？作业完成练习册二次函数与线段交点对应习题
