1、二次函数中矩形的存在性问题 2023九年级数学中考复习1如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点（1）求的值；（2）求点的坐标；（3）该二次函数图象上有一点（其中，使，求点的坐标；（4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点点在该抛物线上，直线与轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；（2）当点到直线距离最大时，求点的坐标；（3）如图，点是抛物线的顶点，点的坐标为，点是坐标平面内一点，以，为顶点的
2、四边形是为边的矩形求的值；若点和点关于所在直线对称，求点的坐标3如图，已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴交抛物线于一点，将抛物线沿着直线翻折，并向右平移个单位，得到抛物线，抛物线交直线于，两点在的左边），点，分别是，的顶点，连接，得到四边形（1）当，时，直接写出抛物线的解析式；（2）若点，是线段三等分点，求的值；（3）在平移过程中，是否存在以点，为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出应满足的关系式，若不存在，请说明理由4在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为（1）当时，求点的坐标，以及抛物线与轴交点的坐标；（2）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并
3、写出函数值随增大而减小时的取值范围；（3）当时，若函数的最小值为3，求的值；（4）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、当以点、为顶点的四边形总是矩形时，直接写出的取值范围5如图，点，二次函数的图象顶点为，与轴交于点，连接，过点作轴于点，点是线段上的动点（点不与、两点重合）（1）直接写出顶点和点的坐标；（2）若直线将四边形分成周长相差为4的两个四边形，求点的坐标；（3）如图，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点也恰好落在二次函数的图象上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由6综合与探究已知：如图，二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线对
4、称轴上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）当的周长最小时，点的坐标为；（3）当点在轴上方且时，试判断与的位置关系，并说明理由；（4）若点是轴上的一点，坐标平面内是否存在，使以、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由7如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、三点，且点的坐标为（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接，已知点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，是否存在这样的点，使直线把
5、分成面积为的两部分？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由8如图，二次函数交轴于，两点，交轴于点，（1）求二次函数的解析式（2）如图1，点为直线上方抛物线上（不与、重合）一动点，过点作轴于，交于，求的最大值及此时点的坐标（3）如图2，将二次函数沿射线平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，是的顶点，为坐标平面内一点，使得以点、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程9如图1，二次函数与轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，（1）求二次函数解析式；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴交于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）
6、的条件下，当取最大值时，连接，将绕原点顺时针旋转至；将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点为平面内任意一点，当以点，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标10已知，二次函数图象与轴交于两点，与轴交于点，连接、（1）如图1，请判断的形状，并说明理由；（2）如图2，为线段上一点，作交抛物线于点，过作轴，垂足为，交于点，过作，交于，求周长的最大值和点坐标；（3）如图3，将抛物线向右平移个单位，再向上平移3个单位得到新的抛物线，是否在新抛物线对称轴上存在点，在坐标平面内存在点，使得以、为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由1
7、1如图所示，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数的图象函数的图象的顶点为点函数的图象的顶点为点，两函数图象分别交于、两点（1）求函数的解析式；（2）如图2，连接、，判断四边形的形状，并说明理由（3）如图3，连接，点是轴上的动点，在平面内是否存在一点，使以、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由答案1【解答】解：（1）把代入二次函数得：，；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：；当时，当时，或3，；（3），当时，或2，只有符合题意综上所述，点的坐标为；（4）存在，理由：当是矩形的边时，此时，对应的矩形为，故，矩形为正方形，
8、故点的坐标为；当是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为，同理可得，矩形为正方形，故点的坐标为，故点的坐标为或2【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为，点在抛物线上，解得，即；（2）设直线的解析式为，解得，过点作轴交直线于点，设，则，当最大时，点到直线距离最大，即当时，最大，当时，；（3），当为矩形对角线时，如图2，过点作轴交轴于点，过交作交于，；当为矩形对角线时，如图3，过点作轴，过点作交于，；综上所述：的值为或；当时，四边形是矩形，延长交轴于点，设与轴交点为，；当时，延长与轴交点为，设与轴交点为，；综上所述：点坐标为或3【解答】解：（1），令，则，点关于对称的点为，抛物线的解析式为；（2
9、）令，则，点，是线段三等分点，；（3）存在以点，为顶点的四边形是矩形的情形，理由如下：由（2）知，所在的直线为，翻折后的函数解析式为，平移后的函数解析式为，过点作轴交于点，过点作交于点，4【解答】解：（1）当时，顶点，令，得，抛物线与轴交点的坐标为；（2）抛物线为常数），顶点，点在第一象限，且，且，解得：，抛物线的解析式为，当时，函数值随的增大而减小；（3）当时，若函数的最小值为3，分两种情况：，即时，或，即时，当时，解得：（舍或，当时，解得：，综上所述，的值为或3；（4）如图：过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、又抛物线为常数）的对称轴为直线，当以点、为顶点的四边形总是矩形时，的取值范围
10、为且5【解答】解：（1），令，则，；（2）设与轴交于点，设，设直线的解析式为，解得，当四边形的周长比四边形的周长大4时，解得，；当四边形的周长比四边形的周长小4时，解得，；综上所述：点坐标为，或，；（3）存在点落在轴上的同时点也恰好落在二次函数的图象上，理由如下：过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，四边形是矩形，设，同理，点横坐标为，即，点在抛物线上，解得或，6【解答】解：（1）设，把，代入得，；（2）连接，交对称轴于，此时的周长最小，由得，或，直线的解析式为：，当时，点，故答案为：；（3）如图1，直线的解析式为：，直线的解析式为：，；（4）如图2，存在点，是以、为顶点的四边形是矩形：当矩形
11、时，（图中矩形，可得，；当矩形时，同理可得：，当矩形时，可知的中点坐标为：，设点，由得，或，则，则，综上所述：或或或7【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，将点代入，；（2）设，则，矩形的周长，当时，矩形的周长有最大值20；（3）存在点，使直线把分成面积为的两部分，理由如下：当时，设直线的解析式为，解得，令，则，解得或，设，则，当时，解得或（舍，；当时，解得或（舍，；综上所述，点坐标为，或8【解答】解：（1）将，代入抛物线解析式，解得，二次函数的解析式为：（2）设，即为点得横坐标，设直线解析式为，代入，得，点坐标为，当时，取得最大值，最大值为4，将代入点坐标，得（3）原抛物线的对称轴为，顶点坐
12、标，将原抛物线平移，即向右平移1个单位再向上平移3个单位，新抛物线的对称轴为：，当时，过点作平行于的直线，作，垂足分别为、，如图所示，根据平移，可得当时，作，垂足分别为、，如图所示：，设，则，或3，或，根据平移，则，当时，作，垂足分别为，如图所示：，根据平移，则综上可知，9【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，由抛物线经过点，设抛物线的解析式为，将点代入解析式为，抛物线的解析式为（2）过点作轴交于点，四边形为平行四边形，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，轴，点和点的纵坐标相等，即，点的坐标为，当时，的最大值为，此时，点的坐标为；（3）由（2）中得，点
13、的坐标为，点的坐标为，绕着点顺时针旋转得到，点的坐标为，点的坐标为，抛物线沿射线方向平移，抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，平移后抛物线的对称轴为直线，设点，以为对角线时，如图，有，解得：或，点的坐标为，或，；以为对角线时，如图，有，解得：，点的坐标为，；以为对角线时，如图，有，解得：，点的坐标为，；综上所述，当以点，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为，或，或，或，10【解答】解：（1）对于，令，令，或，是直角三角形；（2），直线的解析式为：，设，则，轴，同理，的周长，则抛物线对称轴：，时，有最大值，周长的最大值为，则，；（3）存在，理由如下：，平移后的抛物线为：，顶点坐标，
14、直线的解析式为：，抛物线对称轴：当在上时，过作的平行线，过作交的平行线于，为矩形，由平移可知，同理，解析式为：，当在上时，同理可得：，由平移可知，综上，点的坐标为，或，11【解答】解：（1），且将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，；（2）四边形是平行四边形，理由如下：的顶点为点，；点，函数的图象的顶点为点，点，联立方程组可得：或，点，点，点，点，点，四边形是平行四边形；（3）存在，设点若为矩形的边，四边形是矩形时，点，点，直线解析式为：，直线的解析式为，点，与互相平分，点；若为矩形的边，四边形是矩形时，点，点，直线解析式为：，直线的解析式为，点，与互相平分，点；若为对角线，点，点，点，点的横坐标为0，点纵坐标为，点，点或，综上所述：点坐标为或，或或34
