1、Ch2 Infinite-horizon and Overlapping-generations Models(无限期与跨期模型)v基本思路基本思路:研究储蓄率（即资本积累）的内生性，为此引入微观经济主体（消费者）的决策行为，即消费者在预算约束条件下最大化其效用。Part A:R-C-K Model：时间连续(infinite-horizon)，没有新的家庭加入经济系统；Part B:Diamond Model：时间有限而且断续（分为两期t1、t2），有新家庭加入。Part A Ramsey-Cass-Koopmans Model 2.1 Assumptions 1.Firms:(1)Perf
2、ect competition;(2)Lots of identical firms生产函数可加总;(3)=0(No depreciation).(4)A is given,/A Ag2.Households:(1)A large number of identical households(共有H户);(2)The size of each household grows at rate n;(3)1 unit of labor supplied by each member of the household at every point in time;(4)Initial capital
3、 holdings of the household:HK)0(5)The households utility function takes the form:dtHtLtCueUtt)()(0(2.1)：贴现率，反映人们对未来消费与现在消费的选择偏好，当未来消费效用的现值现在消费，未来消费。(6)The instantaneous utility function takes the form:0)1(,0,1)()(1gntCtCu：The coefficient of relative risk aversion for this utility function决定了家户在不同时期转
4、移消费的意愿(2.2)该函数形式能保证经济收敛于平衡增长路径。若u(C)对现在消费的边际效用评价C 为生命周期总效用收敛条件，见P53(2.12)(1)0ng1(t)()C,(C)C0,(C)C0()u tuuu t 2.2 Behavior of Households and Firms 1.Behavior of Firms:Assumption：Constant returns to scale,perfect competition,firms earn zero profits.(1)The marginal product of capital:(资本的边际产出)()(trtkfr
5、(t):The real interest rate at time t(2.3)(2)The marginal product of labor(劳动的边际产出)(2.4)(2.5)w(t):每个有效劳动单位的边际产出（工资）W(t):单位劳动的边际产出（工资）()2()/(,)(,)()(,)()()()()()()()()()()()()()()ttA AgYF K ALF K ALWAA w tLLALF K ALYkAL f kf kAL fkALALALALKf kAL fkAL ALKf kAL fkALf kk fkw tWA w tAf k即：总产出 资本边际产出劳动边际产出
6、()k fk2.Behavior of households(1)Households Budget Constraint The present value of its lifetime consumption cannot exceed its initial wealth plus the present value of its lifetime labor income.dtHtLtWeHKdtHtLtCettRttR)()()0()()(0)(0)(The present value of the householdslifetime consumptionThe present
7、 value of the householdslifetime labor incomeThe householdsinitial wealthThe representative householdsConsumption expendituresThe representative householdslabor income at t(2.6)移项得：0)()()()0(0)(dtHtLtCtWeHKttRThen write the integral from t=0 to t=as a limit:0)()()()0(lim0)(dtHtLtCtWeHKsttRsThe prese
8、nt value of the households savingThe representative householdssaving at time t(2.8)(2.7)()()()0()(0)()()(dtHtLtCtWeHKeHsKsttRsRsR每个家户期末（s）财富存量：期末财富期末财富期初财富在时的本息之和期初财富在时的本息之和总储蓄的增量总储蓄的增量The households saving at tThe value of that saving changes from t to s(2.9)0()()tR trdThus the Budget Constraint Ca
9、n Be written Simply as:0)(lim)(HsKesRs(2.10)The present value of the households asset holdings cannot be negative in the limitKnown as the no-ponzi-game condition()()(2.9)(2.8)(2.8)(2.9)R sR see左左庞氏骗局：不断借新债还旧债的一种欺骗行为庞氏骗局：不断借新债还旧债的一种欺骗行为 (2)Households maximization problem:Note:The representative hous
10、ehold wants to maximize its lifetime utility subject to its budget constraints.11()A()()()11C tt C tu C t(2.11)The representative households instantaneous utility function in terms with consumption per unit of effective labor:11A(0)()1gteC t11(1)()A(0)1gtC te 将(2.11)和 L(t)=L(0)ent，以及dtHtLtCueUtt)()(
11、0(2.1)0)1(,0,1)()(1gntCtCu(2.2)代入dttceUdttceeeHLAUdtHeLtceAeUdtHtLtCeUttntgtttntgttttt1)(1)()0()0()0(1)()0()(1)(101)1(011)1(1010(2.12)B=A(0)1-L(0)/H =-n-(1-)g0 P49(2.2)Now consider the budget constraint()()()()00()(0)()R tng tR tng tttec t edtkew t edtdtHtLtWeHKdtHtLtCettRttR)()()0()()(0)(0)(2.6)(2.
12、13)(2.14)()()00()()(0)(0)()()()(0)()R tR tttA t L tAKA t L teC tdtKeW tdtHHH()()lim()0R sng sseek s(2.15)()()()()()()()lim()()()lim()()(0)lim(0)(0)lim()0R ssR ssng sR ssR sng ssK seHk s A s L seHk s A s LeeHALeek sH 由(2.10)：(3)Household BehaviorvThe households problem is to choose the path of c(t)to
13、 maximize lifetime utility,(2.12),subject to the budget constraint,(2.14).We can therefore set up the Lagrangian:10()()()()00()1(0)()()(2.16)ttR tn g tR tn g tttc tedtkeew t dteec t dtvThe fist-order condition for an individual c(t)is:()()()0tR tn g tBec teec)17.2()()()(tgntRteetce0lnln()ln()()ln()(
14、)(2.18)ttc tR tng trdng t两边对t求导()()()(2.19)()c tr tngc t()()()(2.20)()(1)(2.12)c tr tngr tgc tng euler equationv（2.202.20）亦即）亦即 R-C-K 模型的核心结论模型的核心结论()()()c tr tngc t(1)ng(2.12)经济含义：当且仅当资本的边际生产力(r)大于效用的贴现率()时，人均消费的增长率才会增加。换句话说，人均消费或人均储蓄的增长率是由资本的边际生产力和效用的贴现率这两个变量内生决定的。此即个人储蓄或资本积累的内生性。()()()c tr tgc t(
15、)()()()C tc tgC tc t()()()C tr tC t*0,CC（1）当r(t),C0,C（2）当r(t),C k,f (k)+g,c 0,ck+g,c 0,c当当(),0,fk tg ckk令此时的如F2.1中的直线所示:kck*0c(0)c(0)c F2.1 The dynamics of ccc()fkg()fkg()()()()()(2.24)k tf k tc tng k t()fkng即v2.The Dynamics of k由(1.18)()()(),0ks f kngks f kyc含义：k随y和c的变化而变化(1)当()()()()()()0,()()()(0
16、)(0)()()0,()0)c tf k tng k tk tk tf k tng k tcck tyfkfk时则随变化的图形为一条抛物线，(变化，如F2.2所示：(0)kk，为)0(k 0k)0(kkc（1）c(t)c(0)时,存在过度消费，k，线上方;（2）c(t)c0c0(k)(k)kk2.3EGRGRGRfgfngfgngff 而使 最大时 值（黄金率）如图当即时（假定）即 时，如图中的 点，c未达到最大值点。2.5 The Balanced Growth Path0,0ckSolow Model and R-C-K Model （1）相同点：前者的平衡增长路径也就是后者的E点。二者都
17、满足：（2）不同点：后者平衡增长路径时的k*低于前者中的KGR*，即消费未达到最大值。0y 2.6 下降的效应（消费者偏好的变化）ttee时，未来效用的现值增加偏好于将来消费现在消费倾向下降储蓄倾向上升，这相当于索洛模型中储蓄率的上升,c 0 k*EAE,c,c,NEWNEWscyckky先由 降至 点但k直到，kc=0Ek*old=00k0kAEk*new2.6F下降的效应*,ck不 变ttc=-n-(1-)gccnewoldk上升的效应0k0kk*oldk*newAE*A,c,ScEAAEky在 点，k0,k点移动至ttcgn)1(newoldcck2.7 政府购买的效应假定政府购买：（1
18、）不影响私人消费的效用；（2）不影响将来的产出；（3）由现在的一次性增税而融资。先假定政府的预算总是平衡的由 i=y c G(t)得到每单位有效劳动的政府购买，仍用G(t)表示)38.2)()()()()()(tkgntGtctkftkttGT()()()()()(0)()00w(2.7)R tn g tR tn g tttttec edtkeedt()()()()()(0)()()00(w)R tn g tR tn g ttttttec edtkeGedt(2.39)变为变为K的极的极限行为限行为表达式表达式不变不变由于政府购买以税收来融资，从而使家庭预算约束发生了变化0)(lim)()(s
19、keesgnsRs(2.12)政府购买的永久性变化与暂时性变化假设经济一开始处于平衡增长路径上，在该路径上，政府购买为GL不变假设假设假设政府购买G出现未预期到的永久性变化，由GL上升到GH。0 kkc=0Ek*0k0k)38.2)()()()()()(tkgntGtctkftk0k时，c(t)下降消费的减少量等于政府购买的增加量E F2.8 政府支出永久增加的效应v因此，政府购买与税收的永久性增加，会降低家庭的一生财富，从而消费会立即下降，但资本存量和真实利率不受影响。v假设政府购买发生未预料到的增加，但人们预期这是暂时的行为，并确切知道终止时间这时，消费的降低就不完全是GH GL了0 kk
20、c=0Ek*0k0k图a：政府购买的持久增加F2.90 kkc=0Ek*0k0k图c政府购买的暂时上升F2.9PART B The Diamond Modelv2.8 Assumptions:1.人口数量新陈代谢；2.离散时间，并将生命周期简化为两期；3.C1t：t时期年轻人的消费，C2t：t时期老年人的消费；t时期出生的个人效用函数为：1,0,111111211tttCCU(2.43)4.生产函数：与以前的假定相同。v2.9 Household Behavior:1.预算约束 211121112111(1)()11tttttttttttttttCrw ACCw ACrCCw Ar(2.44)
21、(2.43)2.效用最大化 求解思路有两种：（1）当两期的边际效用相等时，效用最大(2.46)（2）拉格朗日乘数法（2.49-2.52）)84.2()11(11112tttrCCv结论（1）当rt+1时，由年轻人下期消费将增加知,)47.2()11(11211112tttttCCrCC（2）当rt+1时，一期消费会引起下期消费小于第时即下期边际生产力下降,112ttCC同 Part A 1(3)tr2t+11t当时，cc两者的消费不变 3.消费函数将（2.47）式代入（2.44）式得到（2.53）式:消费倾向资本积累的内生性111(1)1(1)(1)(1)ttttttCAwPC Awr111(
22、)ttttCs rAw(2.55)(1)1(1)(1)()(1)(1)rs rr1spc v2.10 The Dynamics of the Economy:1.k 的运动方程vt+1期的资本存量为：111()ttttCs rAw由于1111()1()()tttttttttttttttKL w ACL w As rw AL w As r(2.57)111()=ttttttttttKL w ACLL S（W-C）v等式两边同时除以：11()tttttKL w As r11ttLA11111111111111()()()(1)(1)tttttttttttttttttttttKs rL w AA L
23、A LKs rwA LA LALs rwkgn（2.58）(2.57)()()()1)(1(111tttttkfkkfkfsngk上式隐含地给出了 kt+1 与 kt 之间的关系是何依存关系？是何依存关系？11()(1)(1)ttts rwkgn(2.58)(2.59)假设=1生产函数为仍为C-D形式 f(k)=k收入中用于储蓄的比例为：s=1/(2+)ttkngk)1(21)1)(1(11(1)ytw（2.59）（2.60）ttkngk)1(21)1)(1(11ttDkk1k*kt+1kt45ttkk1ttkk1ttkk1ttkk1(2.60)ttDkk1k*kt+1kt45ttkk1?*吗
24、能收敛到 kkt0kttkk1ttDkk1k*kt+1kt45ttkk1?*吗能收敛到 kkt0k01kkkhthk1kttDkk1k*kt+1kt45ttkk1时收敛到*kkt0kkt+1k*ktk1*45111(1)(1)(1)2ttkkgns1 f(k)s0 f(k)(+n+g)kk*k1*索洛模型相图F2.121tk2.60s，kt+1k*ktk1*45的下降，1/(1+)上升,未来消费效用的现值上升,年轻人偏好将来消费,储蓄率增加,kt+1上升,图中曲线上移,从而k*上升。所以的下降带来资本积累的增加。的下降与SOLOW模型中s的上升类似，只有水平效应，而无增长效应。ttkngk)1
25、(21)1)(1(11s，3.趋同速度为了分析经济如何向其平衡增长路径收敛，作如下技术性处理：ttkngk)1(21)1)(1(11对k的动态方程在k附近进行线性化处理11*tkkttkDdkdk11*Dk kt+1=kt 时的k*值为：*1kkttdkdk(2.60)求导：求导：ttkngk)1(21)1)(1(11对k的动态方程在k=k*附近进行一阶泰勒近似)(*1*1*kkdkdkkktkkttt k=k*时，kt+1=kt=k*1kkttdkdk)(*1kkkktt(2.64)(2.60)(*1kkkktt)(*1kkkktt若=1/3，则k每期向k*移动其与k*之间距离的2/3(2.
26、65)*0()ttkkkk)0()(*)(1(*kkektktgnKSolow 模型中的上式确定了模型中的上式确定了k 以多快速度趋近以多快速度趋近 k*那么，怎样计算这一速度？那么，怎样计算这一速度？作一校准试验：作一校准试验：设 n+g+=6%，资本的收入份额K约为1/3则(1-K)(n+g+)4%k 每年向每年向 k*移动剩余距离的移动剩余距离的4%，要走完到其平衡增长路径值的，要走完到其平衡增长路径值的距离的一半约需距离的一半约需18年时间。年时间。As a result，convergence is more rapid than in the Solow model.4.一般情形（
27、1）将将k的如下动态方程进行改写的如下动态方程进行改写)()()()1)(1(111tttttkfkkfrsngk)()()()()()1)(1(111kfkfkfkkfkfsngkttttt t 期每单位有效劳动的平均产量产量中劳动报酬所占比例劳动报酬中储蓄所占比例11ttttLALA(2.67)1tktk1tktk*1k*2k*3k图(a)图(b)稳定不稳定多个 k 值的经济学含义为：其他条件完全相同的经济，可能仅因为初始条件的不同而收敛于不同的平衡增长路径。F2.131tktk1tktk*1k*2kakbk图(c)图(d)对于经济的动态学而言，假定世代交叠而非长生不老家庭就有可能有着重要
28、意义：经济的持续均衡增长可能无法实现，或者，经济的持续均衡增长可能取决于初始条件。F2.13对经济增长理论中心问题的回答根据根据k的如下动态方程可知：的如下动态方程可知：)()()()()()1)(1(111kfkfkfkkfkfsngkttttt年轻人的储蓄额 f(k)()1)(1(11kfngkt)()1)(1(11kfngkt 随着随着k变大，资本的边际产品趋于变大，资本的边际产品趋于0，所以，所以，kt+1 必将最必将最终小于终小于kt。因此，。因此，k不可能无限界增长。劳动有效性的增长再不可能无限界增长。劳动有效性的增长再一次成为每工人平均产量的长期长期增长的惟一潜在来源。一次成为每
29、工人平均产量的长期长期增长的惟一潜在来源。因为存在多个因为存在多个k，这就表明，其他条件完全相同的经济，可能，这就表明，其他条件完全相同的经济，可能仅因为初始条件的不同而收敛于不同的平衡增长路径。仅因为初始条件的不同而收敛于不同的平衡增长路径。这是其与索洛模型和拉姆齐模型不同之处。后者将不同这是其与索洛模型和拉姆齐模型不同之处。后者将不同经济体每工人平均产量的巨大差异归结为人均资本与资本报经济体每工人平均产量的巨大差异归结为人均资本与资本报酬率的巨大差异，而现实中是观察不到如此巨大差异。酬率的巨大差异，而现实中是观察不到如此巨大差异。v2.12 政府支出增长的效应:1tktkGt给定)1(tt
30、Gk假设政府购买支出通过向年轻人征收一次性同等数额的政府税收来保证，则t时期工人的税后收入就是：)1()2)(1)(1(11tttGkngkK的运动方程也就变为(2.70)1(21)1)(1(11tttGkngk假设政府购买有一永久性增加k1*k0*kt+1kt45G高的政府购买导致低的资本存量和高的均衡真实利率，这与拉姆齐模型中的结论不同，后者不变F2.15)1(21)1)(1(11tttGkngk假设政府购买从GL暂时性增加到GHk1*k0*kt+1kt45本章总结：资本积累（S）的内生性:(1)资本生产率 r(2)消费者选择：,与Keynes消费函数比较：本章贡献：建立了增长理论的微观基础，从消费者和生产者的最优化行为解释资本积累和经济增长的内生性。
