1、“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础第七章第七章 动态电路的状态变量分析动态电路的状态变量分析 7.1 电路的状态和状态变量电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路应用实例：解微分方程电路“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础7.1 电路的状态和状态变量电路的状态和状态变量 本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论状态方程的列写方法和求解方法。状态方程的列写方法和求解方法。一、状态变量一、状态变量 状态的定义：状态的定义：一个电路的状态
2、是指在某个给定时刻必一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励，须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励，就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。状态变量状态变量(state variable)(state variable)：一组能够确定电路行为：一组能够确定电路行为的的最少变量。最少变量。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础 一般来说
3、，电路变量的集合一般来说，电路变量的集合x(t)满足以下两个条件满足以下两个条件，可作为电路的状态。，可作为电路的状态。(1)(1)如果已知如果已知x(t)（其各个元素都是独立的）在（其各个元素都是独立的）在t t0 0时刻时刻的值的值x(t0)以及从以及从t0开始的输入开始的输入w(t)，则对任意，则对任意t t0，x(t)就能完全确定。就能完全确定。(2)(2)由由x(t)和和w(t)可确定任何其它电路变量集可确定任何其它电路变量集y(t)。在电路分析中，一般选全部独立的电容电压在电路分析中，一般选全部独立的电容电压uC（或（或电荷电荷qC）和独立的电感电流）和独立的电感电流iL（或磁通（
4、或磁通 L L）的集合作为电）的集合作为电路的状态路的状态x(t)。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础状态轨迹状态轨迹(state trajectory)(state trajectory)状态向量状态向量x(t)在任一时在任一时刻刻t的值称为电路在该时刻的状态。每一时刻的状态在状的值称为电路在该时刻的状态。每一时刻的状态在状态空间中都对应一个态空间中都对应一个“点点”，所有这些，所有这些“点点”形成的形成的“轨迹轨迹”，称为，称为状态轨迹状态轨迹。通过状态轨迹人们就可以判断。通过状态轨迹人们就可以判断电路的基本性质电路的基本性质状态空间状态空间(state space)(sta
5、te space)把每个状态变量作为一个坐标把每个状态变量作为一个坐标形成的空间。形成的空间。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例：例：RLC并联并联电路的响应分析电路的响应分析 （1）以）以iL为求解对象的微为求解对象的微分方程分方程220LLLd idiLLCidtR dt初始值：初始值：iL(0+)=I0、uC(0+)=U0（2 2）以）以iL和和uC作为变量分别列写作为变量分别列写RLC并联并联电路的方程，则有电路的方程，则有：LCdiLudtCCLSduuCiidtR 在二阶电路中学过在二阶电路中学过“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础表示成矩阵形式表示成矩
6、阵形式 100111LLSCCdiidtLiuduCCRCdt是以是以iL和和uC为变量的一阶微分方程组。为变量的一阶微分方程组。00(0)(0)LCiIuU初始值初始值iL(0+)=I0、uC(0+)=U0也可表示成也可表示成称这一阶微分方程组为称这一阶微分方程组为RLC并联并联电路动态过程的电路动态过程的状态方程状态方程(state equations)(state equations)，并可简写成，并可简写成 xAxBw“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础 xAxBw其中其中x=iL uCT称为电路的状态称为电路的状态x中的元素中的元素iL和和uC称为状态变量称为状态变量A
7、A、B B 为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数W 为输入向量为输入向量x(0+)=I0 U0T 为电路的初始状态为电路的初始状态x(0-)电路的原始状态电路的原始状态x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根据换路定律有根据换路定律有“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础（1 1）当）当w=0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；时，状态方程描述零输入响应；（2 2）当）当w 0，x0=0时，状态方程描述零状态响应；时，状态方程描述零状态响应；（3 3）当）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。时，状态方程描述完全响应。(a)(a)过
8、阻尼情况的时域波形过阻尼情况的时域波形(b)(b)过阻尼情况的状态空间轨迹过阻尼情况的状态空间轨迹RLC并联电路的零输入响应并联电路的零输入响应“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础(a)欠阻尼情况欠阻尼情况(b)无阻尼情况无阻尼情况(c)发散情况发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.1.过阻尼情况过阻尼情况:状态轨迹从状态轨迹从t t=0=0+的初始状态的初始状态x x0 0=I I0 0 U U0 0 T T开始，在开始，在t t=时终止于坐标原点时终止于坐标原点 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础（2 2）欠阻尼情况
9、：状态轨迹是从）欠阻尼情况：状态轨迹是从t t=0=0+到到t t=时的螺旋线时的螺旋线 （3 3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆 （4 4）响应为增幅振荡情况：在）响应为增幅振荡情况：在t t趋于趋于 时，零输入响时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。应成为无界，状态轨迹是向外发散的。(a)欠阻尼情况欠阻尼情况(b)无阻尼情况无阻尼情况(c)发散情况发散情况“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础注意：注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电
10、感的初始电流完的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常选取独立的电容电压全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感和独立的电感电流电流iL作为状态变量作为状态变量 即电路独立状态变量的个数即电路独立状态变量的个数电路的电路的复杂度复杂度(complexity)(complexity)，亦称，亦称自由度自由度(freedom)(freedom)。（1 1）无源（）无源（RLCRLC）电路的复杂度为）电路的复杂度为n=nC+nL lC qL（2 2）有源电路复杂度的上下限为）有源电路复杂度的上下限为0 n nC+nL lC qL“十一五十一五”规划教材规划教材电路基
11、电路基础础7.2 状态方程及其列写状态方程及其列写7.2.17.2.1状态方程和输出方程状态方程和输出方程 一、一、状态方程状态方程一阶微分方程组一阶微分方程组1212(,)1,2,iinmxf x xx w wwtin其一般形式为其一般形式为(,)t xf x w矩阵形式为矩阵形式为11 1,2,nmiikkijjkjxa xb win线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组其形式为其形式为“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础 xAxBw矩阵形式为矩阵形式为0(0)xx初始条件初始条件状态向量状态向量T12nx xxxT12
12、nx xx xT12mw wwwT010200nx xxx初始状态初始状态n状态变量状态变量xi的个数的个数m输入激励输入激励wj的个数的个数“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础二、输出方程的一般形式为二、输出方程的一般形式为1212(,)1,2,iinmyg x xx w wwtir(,)tyg x w矩阵形式矩阵形式11 1,2,nmiikkijjkjyc xd wir线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组其形式为其形式为yCxDw矩阵形式矩阵形式r为输出变量为输出变量yi的个数的个数 T12ry yyy为输出向量为输出向量“十
13、一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础C=cikr n和和D=dijr m系数矩阵系数矩阵yCxDwEw此时输出方程的形式为此时输出方程的形式为如果电路中存在如果电路中存在（1）C与电压源与电压源uS组成的回路组成的回路（2）L与电流源与电流源iS组成的割集组成的割集SLLSdidiuLLLidtdtCSCSduduiCCCudtdt则输出方程中将出现输出向量导数则输出方程中将出现输出向量导数“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础7.2.2 7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写线性非时变动态电路状态方程的列写列写方法列写方法直接观察直接观察置换方法置换方法系统法系统法
14、这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。不太复杂的电路不太复杂的电路复杂的电路复杂的电路一、直接观察法一、直接观察法步骤步骤(1)(1)选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路）而不含电感（和无伴电流源支路）。路）而不含电感（和无伴电流源支路）。(2)(2)对每个电容树支确定的基本割集列写对每个电容树支确定的基本割集列写KCLKCL方程；对方程；对每个电感连支确定的基本回路列写每个电感连支确定的基本回路列写KVLKVL方程。方程。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础(3)(3)消去以上
15、两组方程中的非状态变量（就是将非状消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的状态方程。的状态方程。二、输出方程的列写二、输出方程的列写（1 1）用置换定理将每个电容）用置换定理将每个电容C用电压源用电压源uC置换置换将每个电感将每个电感L用电流源用电流源iL置换置换（2 2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示）将非状态变量用状态变量和输入激励表示（3 3）整理成标准形式的输出方程）整理成标准形式的输出方程 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础(1)(1)选选1 1、3 3、4 4作为
16、树支，则作为树支，则2 2、5 5为连支。为连支。例例7.2.17.2.1 试列出图试列出图(a)(a)所示电路的状态方程。所示电路的状态方程。解：解：1.1.直接观察法写状态方程直接观察法写状态方程(2)(2)对电容对电容C3确定的确定的基本割集基本割集1 1列写列写KCLKCL方程方程3352CLRduCiidt(a)“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础1割集2割集回路12534对电感对电感L5确定的基本回路列写确定的基本回路列写KVLKVL方程方程442CRduCidt55311LCRsdiLuRiudt 对电容对电容C4确定的基本割集确定的基本割集2 2列写列写KCLKCL
17、方程方程(3)(3)用用uC3、uC4、iL5和和uS表示非状态变量表示非状态变量iR1和和iR2，得到，得到341522CCRLRuuiiiR，“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础代入基本割集和基本回路方程，有代入基本割集和基本回路方程，有3343522CCCLduuuCidtRR 434422CCCduuuCdtRR55315LCLsdiLuRiudt 整理成标准形式的状态方程为整理成标准形式的状态方程为332323344424255155511101100110CCCCSLLduC RC RCdtuduuudtC RC RidiRLdtLL“十一五十一五”规划教材规划教材电路
18、基电路基础础整理后可得标准形式的输出方程整理后可得标准形式的输出方程352CLRiii513LRCSuuuu 若以若以iC3和和uL5作为输出变量，则有作为输出变量，则有332245151110110CCCSLLuiRRuuuRi 2.2.写输出方程写输出方程“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例例7.2.27.2.2 将上例电路中的电感将上例电路中的电感L5改为电压控制电压源改为电压控制电压源 uR1，如图如图(a)(a)所示。试列出电路的状态方程。所示。试列出电路的状态方程。1割 集2割集12534解解:按直接观察的步骤列写按直接观察的步骤列写 （1 1）受控源可先按独立源处理
19、）受控源可先按独立源处理 3312CRRduCiidt442CRduCidt(2)(2)列写基本割集列写基本割集1 1和和2 2的的KCLKCL方程方程(a)“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础(3)(3)用用uC3、uC4和和uS表示表示非状态变量非状态变量iR1和和iR2，得到，得到3341212(1)SCCCRRuuuuiiRR，代入基本割集方程，有代入基本割集方程，有3412331221(1)(1)(1)CCSCduuuRRCudtR RRR 434422CCCduuuCdtRR标准形式的状态方程为标准形式的状态方程为12312323313444242(1)11(1)(1)
20、110CCSCCRRduR R CR CudtRCuuduC RC Rdt“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础当当 =1时，状态方程将变成时，状态方程将变成444242424CCSCSduuuuudtR CR CR C 因为电路中含有受控源，当因为电路中含有受控源，当 =1时，电容电压时，电容电压uC3=uS已不再独立所造成的。已不再独立所造成的。由电路复杂度公式可知其独立状态变量的上下限为由电路复杂度公式可知其独立状态变量的上下限为0 n 2。若若 1，则电路的复杂度为则电路的复杂度为2 2，电路有两个状态变量；，电路有两个状态变量；若若 =1，则电路的复杂度降为则电路的复杂度降
21、为1 1，电路只有，电路只有1 1个状态变量个状态变量“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例例7.2.37.2.3 试列出图试列出图(a)(a)所示电路的状态方程。并以所示电路的状态方程。并以uR7和和uR9作为输出变量，列写输出方程。作为输出变量，列写输出方程。(a)(b)拓扑图拓扑图 解解：直接观察法直接观察法选支路选支路3 3、4 4、6 6、7 7、8 8和和9 9为树支；则为树支；则1 1、2 2作为连支作为连支 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础1134679LCCRRRdiLuuuuudt 224789LCRRRdiLuuuudt 列写基本回路列写基本回
22、路1 1和和2 2的的KVLKVL方程方程（2 2）列写基本割集）列写基本割集1 1和和2 2的的KCLKCL方程方程331CLduCidt4412CLLduCiidt(3)(3)非状态变量非状态变量uR6、uR7、uR8和和uR9用用iL1、iL2、uC3、uC4和和uS表示。可得表示。可得6617712882()RLRLLRLuR iuR iiuR i，“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础uR9的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流源和电压源置换源和电压源置换 (c)用电流源置换图用电流源置换图(a)中间支路中间支路(d)图图(
23、c)的等效电路的等效电路可得可得9951259RSLLRuuRiiRR“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础经整理可得标准形式的状态方程经整理可得标准形式的状态方程61111111822222923359344441111011000001100LLLLSCCCCRRRdiLLLLdtLiRRRdiLLLiRdtuLuduRRdtCududtCC其中其中 59759R RRRRR“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础整理后标准形式的输出方程为整理后标准形式的输出方程为177725959993595959400000LRLSRCCiRRuiuR RR RRuuRRRRRRu因
24、为因为uR7和和uR9为输出为输出 7717259599912595959RLLRLLSuR iR iR RR RRuiiuRRRRRR “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例例7.2.47.2.4 试列出图试列出图(a)(a)所示电路的状态方程。已知所示电路的状态方程。已知R1=R2=5，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。12CLLCduCiigudt1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLR iuRiRR igRuRidtdt （1 1）列写基本割集）列写基本割集KCLKCL方程方程解解 直接观察列写直接观察列写 对耦合电感支路对耦
25、合电感支路L L1 1确定的基本回路确定的基本回路1 1列写列写KVLKVL方程方程“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLR iuRiRR igRuRidtdt 对耦合电感支路对耦合电感支路L L2 2确定的基本回路确定的基本回路2 2列写列写KVLKVL方程方程(3)(3)由两个基本回路方程可解得由两个基本回路方程可解得 1211212221211()()()(1)()LLLCSdiML RiML RMR iMLgRuML RidtL21111112211111()()()(1)()LLLCSdiML RiML RL
26、R iMLgRuML RidtL212LL LM其中其中“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础可得标准形式的状态方程可得标准形式的状态方程12212212111211112111121()()(1)()()(1)110LLLLSCCdiMLML RMRMLgRLMRRdtLLLLidiMLML RL RMLgRLMRiRidtLLLLugduCCCdt代入具体参数，代入具体参数，求得状态方程求得状态方程1122421522131501115LLLLSCCdidtidiiidtududt “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础二、用置换法列写状态方程二、用置换法列写状态方程
27、置换方法置换方法：即用电流源：即用电流源iL置换电感置换电感L，用电压源，用电压源uC置换置换电容电容C。置换后的电路成为一个电阻性电路。置换后的电路成为一个电阻性电路 则：则：“电流源电流源”iL两端的电压两端的电压 uL=LdiL/dt用状态变量用状态变量iL、uC和输入激励和输入激励iS、uS表示表示 “电压源电压源”uC中的电流中的电流 iC=CduC/dt用状态变量用状态变量iL、uC和输入激励和输入激励iS、uS表示表示 整理后，即可得出状态方程整理后，即可得出状态方程 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例例7.2.57.2.5 试用置换法重新列出图试用置换法重新列出
28、图(a)(a)所示电路的状态所示电路的状态方程方程 (a)等效电路等效电路 9912595SRLLRuuiiRRR 由由等效电路等效电路可得：可得：“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础111346799346171212595()LLCCRRRSCCLLLLLdiuLuuuuudtRuuuR iR iiiiRRR 2224789947128212595()LLCRRRSCLLLLLdiuLuuuudtRuuR iiR iiiRRR 3331CCLduiCidt44412CCLLduiCiidt于是于是“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础整理可得标准形式的状态方程整理可得
29、标准形式的状态方程 61111111822222923359344441111011000001100LLLLSCCCCRRRdiLLLLdtLiRRRdiLLLiRdtuLuduRRdtCududtCC可见与通过直接观察的可见与通过直接观察的例例7.2.37.2.3所得结果一致。所得结果一致。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础7.2.3 7.2.3 非线性动态电路的状态方程列写非线性动态电路的状态方程列写 描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程 状态方程一般可写成状态方程一般可写成1112122212121212(,)(,)(,)nmn
30、mnnnmdxf x xx w wwtdtdxfx xx w wwtdtdxfx xx w wwtdt或或()()()dttttdt，xF xw“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础w(t)为为m维激励向量维激励向量 ()()()dttttdt，xF xwx(t)为为n维状态向量维状态向量 若储能元件为若储能元件为非线性元件非线性元件，则选择元件特性中的控，则选择元件特性中的控制量作为状态变量。制量作为状态变量。例如荷控电容，其库伏特性为例如荷控电容，其库伏特性为uC=f(qC)，则可选，则可选qC作为作为状态变量状态变量 例如磁控电感，其韦安特性为例如磁控电感，其韦安特性为iL=f
31、(L)，则可选，则可选 L L作为作为状态变量状态变量 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础非线性状态方程仍可以直接观察或采用电路分析方法等非线性状态方程仍可以直接观察或采用电路分析方法等来列写。来列写。直接观察的步骤是直接观察的步骤是（1 1）计算电路的复杂性，选取独立的状态变量；）计算电路的复杂性，选取独立的状态变量；（2 2）列电路方程；）列电路方程；（3 3）消除非状态变量；）消除非状态变量；（4 4）写出标准形式的状态方程。）写出标准形式的状态方程。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础例例7.2.67.2.6 试直接观察写出图所示电路的状态方程。已知电试直接观
32、察写出图所示电路的状态方程。已知电压源的电压为压源的电压为uS，两个线性非时变电阻分别为，两个线性非时变电阻分别为R6和和R7，各，各非线性元件的特性方程分别为非线性元件的特性方程分别为u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，u3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5=f5(5)。解：解：(1)(1)选独立的状态变量。由于图示电路为常态电路选独立的状态变量。由于图示电路为常态电路，所以独立的状态变量有五个。现选，所以独立的状态变量有五个。现选q1，q2，q3，4，5作为状态变量作为状态变量。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础（2 2）对与电容有关的节点写出对与电容有关的节点写出K
33、CLKCL方程方程146dqiidt 节点节点1 1：245dqiidt 节点节点2 2：357dqiidt 节点节点3 3：对含电感的回路写出对含电感的回路写出KVLKVL方程方程412duudt 回路回路I I：523duudt 回路回路IIII：“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础（3 3）将有关的支路方程将有关的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，i3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5=f5(5)代入上述代入上述 KCL KCL和和 KVL KVL方程，得方程，得1446()dqfidt 24455()()dqffdt3557()dqfidt41122()(
34、)df qfqdt52233()()dfqf qdt“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础（4 4）消去非状态变量。由于）消去非状态变量。由于i6，i7为非状态变量，为非状态变量，因此应该消去。从图中可知因此应该消去。从图中可知111666()ssuuf quiRR333777()uf qiRR“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础将上面二式代入（将上面二式代入（3 3）内的各式，便得出非线性状态方程）内的各式，便得出非线性状态方程1114466244553335574112252233()()()()()()()()()()sudqf qfdtRRdqffdtdqf qf
35、dtRdf qfqdtdfqf qdt 初始条件由初始条件由q1(0+)，q2(0+)，q3(0+)，4(0+)，5(0+)确定确定。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础7.3 7.3 状态方程的解法状态方程的解法 状态方程是一阶微分方程组，最适合用数值方法状态方程是一阶微分方程组，最适合用数值方法（比如龙格库塔法）求解。特别是对于非线性电路和（比如龙格库塔法）求解。特别是对于非线性电路和时变电路，其状态方程一般只能用数值方法求解。时变电路，其状态方程一般只能用数值方法求解。线性非时变电路状态方程线性非时变电路状态方程是一阶线性常微分方程组，是一阶线性常微分方程组，其解法有三种，即
36、时域解法、复频域解法（拉氏变换法）其解法有三种，即时域解法、复频域解法（拉氏变换法）和数值解法。这里仅讨论一阶线性常微分方程组，即线和数值解法。这里仅讨论一阶线性常微分方程组，即线性非时变电路状态方程的时域解法和复频域解法性非时变电路状态方程的时域解法和复频域解法“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础 xAxBwxaxbw一、标量一阶微分方程解一、标量一阶微分方程解线性非时变电路的状态方程线性非时变电路的状态方程可视为向量一阶微分方程可视为向量一阶微分方程它在形式上和标量一阶微分方程它在形式上和标量一阶微分方程相同相同 标量一阶微分方程的解法标量一阶微分方程的解法atatatexea
37、xebw用用e-at乘式乘式 两端，并移项得两端，并移项得xaxbw()atatdexebwdt有：有：7.3.2 7.3.2 线性非时变电路状态方程的时域解法线性非时变电路状态方程的时域解法 “十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础0()(0)()tataex txebwd0()(0)()tatatax te xeebwd对上式两端从对上式两端从0 0到到t t积分积分()atatdexebwdt将将x(0)移到等式右边，再对等号两端乘移到等式右边，再对等号两端乘eat，得，得“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础()()()ttt xAxBw二、状态方程的时域解法二、状态
38、方程的时域解法 仿照求解标量一阶微分方程的方式来求解向量一阶微仿照求解标量一阶微分方程的方式来求解向量一阶微分方程，即求解状态方程。分方程，即求解状态方程。对状态方程对状态方程()()()tttetetetAAAxAxBw两端前乘两端前乘e-At，并移项，并移项()()ttdetetdtAAxBw有有对上式两端从对上式两端从0 0 到到t t积分积分0()(0)()ttetedAAxxBw“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础0()(0)()tttteeedAAAxxBw()(0)tziteAxx移项并左乘移项并左乘eAt，得，得当当w(t)=0时，有解时，有解可见可见eAt可以将可
39、以将x(0)=x0转移成解转移成解xzi，所以称，所以称eAt为为状态转状态转换矩阵换矩阵(state transition matrix)(state transition matrix)函数。函数。当当x(0)=0时，有解时，有解()00()()()ttttzsteededAAAxBwBw该解该解xzs也与也与eAt密切相关，所以计算密切相关，所以计算eAt是求解状态方程的关键。是求解状态方程的关键。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础230111()1()()!2!3!atkkeatatatatk 230111()()()!2!3!tkkettttk1AAAAA三、状态转换矩
40、阵函数三、状态转换矩阵函数eAt的定义和性质的定义和性质1.1.状态转换矩阵函数状态转换矩阵函数eAt的定义的定义状态转换矩阵函数状态转换矩阵函数eAt作为矩阵指数函数仍然仿照指数函数作为矩阵指数函数仍然仿照指数函数定义为定义为则状态转换矩阵函数则状态转换矩阵函数eAt是一个和是一个和A同阶的同阶的n n方阵，方阵，且当且当t=0，eAt=e0=1。“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础2.2.状态转换矩阵函数状态转换矩阵函数eAt的性质的性质状态转换矩阵函数状态转换矩阵函数eAt的主要性质有以下几点。的主要性质有以下几点。230111()()()!2!3!tkkettttk1AAA
41、AA(1)0tte ee1AA(2)ttttttddeeeeeedtdt ，AAAAAAAAAA(3)()()()()()tttttdddetetetetetdtdtdtAAAAAxxxxAx(4)“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础()()tt xAx()(0)()sssXxAX1()()(0)ss1XAx()()zittxx1()(0)s1Ax1()s1A3.3.状态转换矩阵函数状态转换矩阵函数eAt的计算的计算 计算状态转换矩阵函数计算状态转换矩阵函数eAt的方法有多种，这里只的方法有多种，这里只讨论拉普拉斯变换方法。讨论拉普拉斯变换方法。设电路的输入为零，状态方程变为设电路
42、的输入为零，状态方程变为对上式取拉氏变换，得对上式取拉氏变换，得于是于是取拉氏反变换，有取拉氏反变换，有-1-1将上式的解与式将上式的解与式 进行比较，有进行比较，有eAt=-1-1()(0)tziteAxx“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础3328A33()28sss1A例例7.3.17.3.1 已知已知试求状态转换矩阵指数函数试求状态转换矩阵指数函数e eAtAt。解解:对已知矩阵对已知矩阵A A先写出先写出 12838311()2323(3)(8)6113083123(5)(6)sssssssssssss1 A“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础56565656
43、32332223tttttttteeeeeeee取拉氏反变换，得取拉氏反变换，得teA1()s1A-1-1“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础四、电路状态方程的时域求解四、电路状态方程的时域求解例例7.3.3 7.3.3 图图(a)(a)所示电路中，所示电路中，R1=1，R2=1/4，L=1/3H，C=1/2F，uS(t)=(t)V，iL(0-)=9/5A，uC(0-)=11/5V。试对试对电路进行状态分析。电路进行状态分析。解解:按直接观察的步骤列写按直接观察的步骤列写 1LLCSdiLRiuudt (1)(1)对电感对电感L确定的基本回路列写确定的基本回路列写KVLKVL方程方
44、程(a)“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础2CCLduuCidtR对电容对电容C确定的基本割集列写确定的基本割集列写KCLKCL方程方程可得状态方程可得状态方程1211110LLSCCRdiiLLdtuLuduCR Cdt333()()()()()280ttttt xAxBwx代入具体参数代入具体参数并有并有x(0+)=x(0-)=x0=9/5 11/5T“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础5656565632332223ttttttttteeeeeeeeeA5656565656569/53233()(0)11/522231.23A00.83Vtttttzittttt
45、ttteeeeteeeeeeeteeAxx ()1()s1A然后由然后由eAt=-1 -1 计算状态转换矩阵函数，计算状态转换矩阵函数，求得零输入响应为求得零输入响应为在上例中已经求得在上例中已经求得“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础求得零状态响应为求得零状态响应为()0()()ttzstedAxBw5()6()565()6()5()6()05()6()560949A96555()61666V555tttttttttttttteeeeeedteeeeee全响应为全响应为5656434A5()()()0124V5ttLzizsttCeeittttueexxx ()“十一五十一五”规
46、划教材规划教材电路基电路基础础7.3.2 7.3.2 线性非时变电路状态方程的复频域解法线性非时变电路状态方程的复频域解法 拉普拉斯变换方法求解电路的状态方程的步骤拉普拉斯变换方法求解电路的状态方程的步骤 xAxBw()(0)()()ssssXxAXBW()()(0)()sss1A XxBW11()()(0)()()()(0)()()sssssss11 XAxABWxBW进行拉普拉斯变换，有进行拉普拉斯变换，有移项后可得移项后可得于是于是根据：根据：其中其中 称为预解矩阵称为预解矩阵(resolvent matrix)(resolvent matrix)1)()(AsIs“十一五十一五”规划教
47、材规划教材电路基电路基础础()t x()()ssBW()(0)sx-1 -1 +-1 -1 零输入响应零输入响应对上式拉氏反变换对上式拉氏反变换零状态响应零状态响应()s1()s1AeAt=-1-1 =-1-1()(0)tziteAxx比较可得比较可得可知，可知，(s)=eAt为为状态转换矩阵状态转换矩阵-1-1“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础解：在例解：在例7.3.17.3.1中已求出预解矩阵中已求出预解矩阵 333()()()280ttt xx例例7.3.47.3.4 已知状态方程已知状态方程和原始状态和原始状态x(0-)=9/5 11/5 T，试求该状态方程的解，试求该状
48、态方程的解x(t)。1831()()23(5)(6)ssssss1A可得零输入响应的象函数为可得零输入响应的象函数为98315()()(0)2311(5)(6)5zissssss Xx“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础零状态响应的象函数为零状态响应的象函数为9396/53(5)(6)15611514/535(5)(6)56ssssssssss83311()()()230(5)(6)zsssssssss XBW3(8)4/59/5115661/56/51(5)(6)56sssssssssss“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础零输入响应零输入响应()zit x56566
49、35()(0)435ttzitteesteeX -1-1零状态响应零状态响应()zst x56564955()()1655ttzstteestee X-1-15656434A5()()()0124V5ttLzizsttCeeittttueexxx ()全响应全响应“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础7.4 7.4 应用实例：解微分方程电路应用实例：解微分方程电路以二阶微分方程为例来分析解微分方程电路以二阶微分方程为例来分析解微分方程电路 图示为四个运算放大器构成的解微分方程电路，其中图示为四个运算放大器构成的解微分方程电路，其中C C1 1=C C2 2=C C。利用利用“虚短虚短
50、”的特性，可知节点的特性，可知节点、的节点电压为零；的节点电压为零；“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础2()0uf tRR120()0/Cduuy tCRR kdt12210/CCCuuduCRR kdt2()0Cuy tRR列出节点列出节点、的节点电压方程为的节点电压方程为节点节点：节点节点：节点节点：节点：节点：“十一五十一五”规划教材规划教材电路基电路基础础消去消去 后，可以得到后，可以得到2u10122110()10CCCCdukudtRCf tRCudukRCRCdt2()Cy tu 状态方程状态方程输出方程输出方程 如果给出原始状态，就可以求解出状态方程，从状态如果给
