1、一元一次方程应用题一元一次方程应用题【例1】（2019安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路其中一段长为146 m的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26 m已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 m，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天？解：设甲工程队每天掘进解：设甲工程队每天掘进x mx m，则乙工程队每天掘进（，则乙工程队每天掘进（x-2x-2）m.m.由题意，得由题意，得2x+2x+（x+x-2x+x-2）=26.=26.解得解得x=
2、7.x=7.甲工程队每天掘进甲工程队每天掘进7 m7 m，乙工程队每天掘进，乙工程队每天掘进5 m.5 m.（146-26146-26）(7+5)(7+5)1010（天）（天）.答：甲、乙两个工程队还需联合工作答：甲、乙两个工程队还需联合工作1010天天二元一次方程组应用题二元一次方程组应用题【例2】(2020黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元;如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？解：设每盒羊角春牌绿茶需要解：设
3、每盒羊角春牌绿茶需要x x元，每盒九孔牌藕粉需要元，每盒九孔牌藕粉需要y y元元.依题意，得依题意，得解得解得答：每盒羊角春牌绿茶需要答：每盒羊角春牌绿茶需要120120元，每盒九孔牌藕粉需要元，每盒九孔牌藕粉需要6060元元6x+4y=9606x+4y=960，x+3y=300.x+3y=300.x=120,x=120,y=60.y=60.分式方程应用题分式方程应用题【例3】(2020沈阳）某工程队准备修建一条长3 000 m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？解：设原计划每天修建盲道解：设原计划每天修建
4、盲道x m.x m.则则解得解得x=300.x=300.经检验，经检验，x=300 x=300是原分式方程的解，且符合题意是原分式方程的解，且符合题意.答：原计划每天修建盲道答：原计划每天修建盲道300 m300 m不等式应用题不等式应用题【例4】(2020常州）某水果店销售苹果和梨，购买1 kg苹果和3 kg梨共需26元，购买2 kg苹果和1 kg梨共需22元（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？解：（解：（1 1）设每千克苹果的售价为）设每千克苹果的售价为x x元，每千克梨的售价为元，每千克梨的售价为y y元元
5、.依题意，得依题意，得解得解得答：每千克苹果的售价为答：每千克苹果的售价为8 8元，每千克梨的售价为元，每千克梨的售价为6 6元元x+3y=26,x+3y=26,2x+y=22.2x+y=22.x=8x=8，y=6.y=6.（2 2）设购买苹果）设购买苹果m kgm kg，则购买梨（，则购买梨（15-m15-m）kgkg，依题意，得依题意，得8m+68m+6（15-m15-m）100.100.解得解得m5m5答：最多购买答：最多购买5 kg5 kg苹果苹果一元二次方程应用题一元二次方程应用题【例5】(2020湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，1月底因突然爆发新冠肺
6、炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解：（解：（1 1）设口罩日产量的月平均增长率为）设口罩日产量的月平均增长率为x.x.根据题意，得根据题意，得20 00020 000（1+x1+x）2 2=24 200.=24 200.解得解得x x1 1=0.1=10%=0.1=10%，x x2 2=-2.1=-2.1（舍去）（舍去）.答：口罩日产量的月平均增长率为答：口罩日产量的月平均增长率为10%10%（2 2）24 20024 200（1+0.
7、11+0.1）=26 620=26 620（个）（个）答：预计答：预计4 4月份平均日产量为月份平均日产量为26 62026 620个个解直角三角形应用题解直角三角形应用题【例6】(2020绥化）如图3-42-2，热气球位于观测塔P的北偏西50方向，距离观测塔100 km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin500.77，cos500.64，tan501.19）解：由已知得，解：由已知得，AA5050，BB3737，PAPA100.10
8、0.在在RtRtPACPAC中，中，sinAsinA PCPCPAsin50PAsin5077.77.在在RtRtPBCPBC中，中，sinBsinB PBPB128128（kmkm）.答：这时，答：这时，B B处距离观测塔处距离观测塔P P有有128km128km函数应用题函数应用题【例7】(2020大连）甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60 min如图3-42-4是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）函数图象（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；（2）当这两个气球的海拔高度相差15 m时，求上升的时间解
9、：（解：（1 1）设甲气球的函数解析式为）设甲气球的函数解析式为y=kx+by=kx+b，乙气球的函，乙气球的函数解析式为数解析式为y=mx+n.y=mx+n.分别将（分别将（0 0，5 5），（），（2020，2525）和（）和（0 0，1515），（），（2020，2525）代入，得代入，得解得解得甲气球的函数解析式为甲气球的函数解析式为y=x+5y=x+5，乙气球的函数解析式为，乙气球的函数解析式为y=x+15.y=x+15.b=5,b=5,20k+b=25.20k+b=25.n=15,n=15,20m+n=25.20m+n=25.k=1,k=1,b=5,b=5,m=m=n=15.n=1
10、5.（2 2）由初始位置可得：当）由初始位置可得：当x x大于大于2020时，两个气球的海拔时，两个气球的海拔高度可能相差高度可能相差15 m15 m，且此时甲气球海拔更高，且此时甲气球海拔更高，x+5-x+5-=15.=15.解得解得x=50.x=50.答：当这两个气球的海拔高度相差答：当这两个气球的海拔高度相差15 m15 m时，上升的时间时，上升的时间为为50 min50 min1.（2018长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购，可以优惠.结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获
11、得的利润.解：（解：（1 1）设每套课桌椅的成本为）设每套课桌椅的成本为x x元元.根据题意，得根据题意，得6060100-60 x=72100-60 x=72（100-3100-3）-72x.-72x.解得解得x=82.x=82.答：每套课桌椅的成本为答：每套课桌椅的成本为8282元元.（2 2）6060（100-82100-82）=1 080=1 080（元）（元）.答：商店获得的利润为答：商店获得的利润为1 0801 080元元.2.(2020海南）某村经济合作社决定把22 t竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3 t，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5 t，前后共用6
12、天完成全部加工任务，请问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？解：设改进加工方法前用了解：设改进加工方法前用了x x天，改进加工方法后用了天，改进加工方法后用了y y天天.依题意，得依题意，得解得解得答：该合作社改进加工方法前用了答：该合作社改进加工方法前用了4 4天，改进加工方法后用天，改进加工方法后用了了2 2天天x+y=6x+y=6，3x+5y=22.3x+5y=22.x=4x=4，y=2.y=2.3.(2020张家界）2020年疫情防控期间，某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花
13、1 600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价解：设第一批购进的消毒液的单价为解：设第一批购进的消毒液的单价为x x元，则第二批购进的元，则第二批购进的消毒液的单价为（消毒液的单价为（x-2x-2）元）元.依题意，得依题意，得解得解得x=10.x=10.经检验，经检验，x=10 x=10是原分式方程的解，且符合题意是原分式方程的解，且符合题意答：第一批购进的消毒液的单价为答：第一批购进的消毒液的单价为1010元元4.(2020广东）某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2 m2建A类摊位每平方米的费用为40元，
14、建B类摊位每平方米的费用为30元用60 m2建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍求建造这90个摊位的最大费用解：（解：（1 1）设每个）设每个B B类摊位的占地面积为类摊位的占地面积为x mx m2 2，则每个，则每个A A类摊位类摊位占地面积为（占地面积为（x+2x+2）m m2 2.根据题意根据题意,得得解得解得x=3.x=3.经检验，经检验，x=3x=3是原方程的解，且符合题意是原方程的解，且符合题意.则则3+2=5(m3+2=5(m2 2).).答
15、：每个答：每个A A类摊位占地面积为类摊位占地面积为5 m5 m2 2，每个，每个B B类摊位的占地面积为类摊位的占地面积为3 m3 m2 2.（2 2）设建）设建A A类摊位类摊位a a个，则建个，则建B B类摊位（类摊位（90-a90-a）个）个.由题意，得由题意，得90-a3a.90-a3a.解得解得a22.5.a22.5.建建A A类摊位每平方米的费用为类摊位每平方米的费用为4040元，建元，建B B类摊位每平方米的费类摊位每平方米的费用为用为3030元，元，a a为正整数，为正整数，要想使建造这要想使建造这9090个摊位有最大费用，就要多建造个摊位有最大费用，就要多建造A A类摊位，
16、类摊位，即即a a取最大值取最大值2222时，费用最大，时，费用最大，此时最大费用为此时最大费用为404022225+305+30（90-2290-22）3=10 520.3=10 520.答：建造这答：建造这9090个摊位的最大费用是个摊位的最大费用是10 52010 520元元5.（2019徐州改编）如图3-42-1，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2？解：设剪去正方形的边长为解：设剪去正方形的边长为x cmx cm，则做成无盖长方体盒
17、子的底，则做成无盖长方体盒子的底面长为（面长为（30-2x30-2x）cmcm，底面宽为（，底面宽为（20-2x20-2x）cm.cm.依题意，得（依题意，得（30-2x30-2x）（）（20-2x20-2x）=200.=200.解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=20=20当当x=20 x=20时，时，20-2x020-2x0，x=5.x=5.答：当剪去正方形的边长为答：当剪去正方形的边长为5 cm5 cm时，所得长方体盒子的底面积时，所得长方体盒子的底面积为为200 cm200 cm2 26.(2020湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图3-42-3所示的步梯路段进行改造已知四
18、边形ABCD为矩形，DE=10 m，其坡度为i1=1 将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=14，求斜坡AF的长度（结果精确到0.01 m，参考数据：1.732，4.123)解：解：DEDE10 m10 m，其坡度为，其坡度为i i1 111在在RtRtDCEDCE中，中，解得解得DCDC5 5四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，ABABCDCD5 5斜坡斜坡AFAF的坡度为的坡度为i i2 21414，BFBF4AB4AB20.20.在在RtRtABFABF中，中，AF=AF=20.6220.62（m m）答：斜坡答：斜坡AFAF的长度约为的长度约为20.62 m20.62 m7.
19、(2020潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（单位：桶）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图3-42-5所示（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）解：（解：（1 1）设）设y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=kx+b.y=kx+b.将点（将点（6060，100100）,（7070，8080）代入代入,得得 解得解得故函数的表达式为故函数的表达式为y=-2x+220.y=-2x+220.60k+b=10
20、0,60k+b=100,70k+b=80.70k+b=80.k=k=2,2,b=220.b=220.（2 2）设药店每天获得的利润为）设药店每天获得的利润为w w元元.由题意由题意,得得w=w=（x-50 x-50）（）（-2x+220-2x+220）=-2=-2（x-80 x-80）2 2+1 800.+1 800.-2-20 0，函数有最大值，函数有最大值，当当x=80 x=80时，时，w w有最大值，此时最大值是有最大值，此时最大值是1 800.1 800.答：销售单价定为答：销售单价定为8080元时，该药店每天获得的利润最大，最大元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润是利润是1 80
21、01 800元元8.（2014东莞改编）某商场销售的一款空调机每台的标价是3 270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价；(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元?解：解：(1)(1)设这款空调每台的进价为设这款空调每台的进价为x x元元.根据题意，得根据题意，得 =9%.=9%.解得解得x=2 400.x=2 400.经检验，经检验，x=2 400 x=2 400是原分式方程的解，且符合题意是原分式方程的解，且符合题意.答：这款空调每台的进价为答：这款空调每台的进价为2 4002 400元元.(2)(2)商场销售这款空调机
22、商场销售这款空调机100100台的盈利为台的盈利为1001002 4002 4009%=21 600(9%=21 600(元元).).答：商场销售了这款空调机答：商场销售了这款空调机100100台，盈利台，盈利21 60021 600元元.9.如图3-42-6，一条长56 cm的铁丝被剪成两段，每段均可折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于100 cm2，求这两个正方形的边长.解：设其中一个正方形的边长为解：设其中一个正方形的边长为x cmx cm，则另一个正方形的边长，则另一个正方形的边长为（为（14-x14-x）cm.cm.根据题意，得根据题意，得x x2 2+（14-x14-x）2 2
23、=100.=100.解得解得x x1 1=6=6，x x2 2=8.=8.当当x=6x=6时，时，14-x=814-x=8；当；当x=8x=8时，时，14-x=6.14-x=6.答：这两个正方形的边长分别为答：这两个正方形的边长分别为6 cm6 cm，8 cm.8 cm.10.(2014黄冈模拟)有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时,AB宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.(1)在如图3-42-7的坐标系中，求抛物线的表达式；(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到达拱桥顶？(假设水位以每小时0.2 m的速度上升)解：解：(1)(1)设所求抛物线的解析式为设所
24、求抛物线的解析式为y=axy=ax2 2.设设D(5D(5，b)b)，则，则B(10B(10，b-3).b-3).把把D,BD,B的坐标分别代入的坐标分别代入y=axy=ax2 2,得得解得解得y=y=x x2 2.25a=b,25a=b,100a=b-3.100a=b-3.(2)b=-1(2)b=-1，拱桥顶拱桥顶O O到到CDCD的距离为的距离为1 m.1 m.则则 =5=5（h h）.答：再持续答：再持续5 h5 h才能到达拱桥顶才能到达拱桥顶.11.（2018玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30 000元，二月份每辆车售价比一月份
25、每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27 000元.（1）求二月份每辆车的售价是多少元？（2）为了促销，三月份每辆车的售价比二月份每辆车的售价降低了10%，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？解：（解：（1 1）设二月份每辆车的售价为）设二月份每辆车的售价为x x元，则一月份每辆车售元，则一月份每辆车售价为（价为（x+100 x+100）元）元.根据题意，得根据题意，得解得解得x=900.x=900.经检验，经检验，x=900 x=900是原分式方程的解是原分式方程的解,且符合题意且符合题意.答：二月份每辆车的售价是答：二月份每辆车的售价是90
26、0900元元.（2 2）设每辆山地自行车的进价为）设每辆山地自行车的进价为y y元元.根据题意，得根据题意，得900900（1-10%1-10%）-y=35%y.-y=35%y.解得解得y=600.y=600.答：每辆山地自行车的进价是答：每辆山地自行车的进价是600600元元.12.（2019内江）如图3-42-8，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120 m，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30，测得其底部C的俯角为45，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）解：如答图解：如答图3-42-1,3-42-1,过点过点A A作作AEBCAEBC于点于点E.E.则四边形则四
27、边形ADCEADCE为矩形为矩形.ADADCE.CE.设设BEBEx.x.在在RtRtABEABE中，中，BAE=30BAE=30，tanBAEtanBAEBEAEBEAE，则则AEAEEACEAC4545，矩形矩形ADCEADCE为正方形为正方形.EC.ECAEAE x.x.由题意，得由题意，得BE+CEBE+CE120120，即即 x+x x+x120.120.解得解得x x6060（-1 -1）.ADADCECE x x180-60 .180-60 .DCDCAD=180-60 .AD=180-60 .答：两座建筑物的地面距离答：两座建筑物的地面距离DCDC为（为（180-60 180-
28、60 ）m.m.13.（2018咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示.车型甲种客车乙种客车载客量（人/辆）3042租金（元/辆）300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少
29、要有2名老师，可知租用客车总数为_辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.8 8解：（解：（1 1）设老师有）设老师有x x人，学生有人，学生有y y人人.依题意，得依题意，得解得解得答：老师有答：老师有1616人，学生有人，学生有284284人人.17x=y-12,17x=y-12,18x=y+4.18x=y+4.x=16,x=16,y=284.y=284.（3 3）设租用）设租用a a辆乙种客车，则甲种客车数为（辆乙种客车，则甲种客车数为（8-a8-a）辆）辆.车总费用不超过车总费用不超过3 1003 100元，元，400a+300400a+300（8-
30、a8-a）3 100.3 100.解得解得a7.a7.为使为使300300名师生都有座，则名师生都有座，则42a+3042a+30（8-a8-a）300.300.解得解得a5.a5.5a75a7（a a为整数）为整数）.共有共有3 3种租车方案：种租车方案：方案一：租用甲种客车方案一：租用甲种客车3 3辆，乙种客车辆，乙种客车5 5辆，租车费用为辆，租车费用为2 9002 900元；元；方案二：租用甲种客车方案二：租用甲种客车2 2辆，乙种客车辆，乙种客车6 6辆，租车费用为辆，租车费用为3 0003 000元；元；方案三：租用甲种客车方案三：租用甲种客车1 1辆，乙种客车辆，乙种客车7 7辆，租车费用为辆，租车费用为3 1003 100元；元；故最节省费用的租车方案是租用甲种客车故最节省费用的租车方案是租用甲种客车3 3辆，乙种客车辆，乙种客车5 5辆辆.
