1、长沙市一中2023届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 2. 一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 93. 设非零复数，在复平面内分别对应向量，为原点，则的充要条件是（）A. B. C. 为实数D. 为纯虚数4. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容
2、器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（）A. B. C. D. 5. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（）A. B. C. D. 在方向上投影向量为6. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的
3、取值范围为（）A. B. C. D. 7. 设，则（）A. B. C. D. 8. 截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示，有一个所有棱长均为的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9. 在正方体中，下列几种说法正确的有（）A. 为异面直线B. C. 与平面所成的角为D. 二面角的正切值为10. 已知函数，则
4、（）A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）A. 曲线准线方程为B. 若，则的面积为C. 若，则D. 若，的中点在的准线上的投影为，则12. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A. 函数的图象关于对称B. C. D. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 设多项式，则_.14. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_.15. 用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数有
5、两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_.16. 为双曲线的左、右焦点，过点且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若为双曲线上一点，的内切圆圆心为，过作，垂足为，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）是的角平分线，若，的面积为，求的值.18. 设数列满足，且.（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19. 如图，在直三棱柱中，.（1）求证：；（2）若为中点，三棱锥的体积为，线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.20. 某芯片
6、制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在试产初期，该款芯片批次生产前三道工序的次品率分别为.求批次芯片的次品率；第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；（2）该企业改进生产工艺后生产了批次的芯片. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用. 现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的100名用户中，安装批次有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次有60部，其中对开机速度满意的有58人. 依据的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?附：0.100.050.0100.0050.00127063.8416.6357.87910.82821. 已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.（1）求的方程；（2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，为垂足，求的最大值.22. 已知函数.（1）若的极小值为0，求实数的值；（2）当时，证明：存在唯一极值点，且.5
