1、 运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。9-1-1 方程的建立9-1-2 典型问题1.一般形式n个质点。对 有im9-1 动力学普遍方程9-1-1 方程的建立0iNiiimFFa0iNiiimFFar1 2ii,.,nr给,则有而双面理想约束0NiiFr故有0iIiiFFr动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理(9-1)不论约束完整，定常与否均适用。则有1 2i,n2.广义坐标形式 设完整约束系统有k个自由度
2、，可取 为广义坐标。123kq,q,q.q,12kq,q,.,q,tiirr9-1 动力学普遍方程9-1-1 方程的建立1kiijjjqqrr则代入式(9-1),交换 i，j次序，得10jjk*QQjjFFq广义主动力广义惯性力1jniQiijFqrFddjn*iQiii=1jF=-mqra式中因各 线性无关 故有jq0*jjQQFF1,2,jk（）(9-2)等价形式仅 jFW=00jq1,2,jk（）(9-3)9-1-1 方程的建立9-1 动力学普遍方程式中包含了惯性力虚功!9-1-2 典型问题12P,P,q,r,已知重量轮转动惯量 ，求加速度?Ja加惯性力，受主动力如图。给连杆 ，则rrr
3、12122sin220PPrPPraarJggr2122122sin22P+P gra=P+P r+Jg由 有0(r)FW,1p2p1parrJ1pag1pag2pagJ9-1 动力学普遍方程由动能定理求导，如何求解?如何求约束力?已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。12G,G,q,r,O2G1Gr9-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程 加惯性力，受力如图。选 广义坐标。,x由 00 xFW=0,x12211cos0GGGaxrxaxggg 有即 cos2121rGaGG(a)又由 有 000FW,x,2222121cossin02GGGrrrarGrgggO2G1Gr1a x1
4、1Gga2Ggr21Gga2212Ggr9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题212122sin232sinG gaGGG式(a)代入(b),可得令 时，牵连惯性力 并不为零；0 x21Gag 令 时，相对惯性力 并不为零，两者相互独立。02Grg0sincos232122gGagGrgG(b)即9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。12m,m,r,图(a)CAr1O2r1m2m9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题 自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角
5、为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，12,图(b)CA1O2令 120,0，由2()0FW1212,CCvrrarr(a)有 22222()0CCm gm arJ(b)10m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a129-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题将式(a)及22CJm r代入(b)式，得12(2)rg(c)再令120,0由1()0FW有 联立(c)和(d)式，可得221011212(23),32(3)Cm gmm garammmm101011221()0Cm a rJm am g r 即1212223()2m rm rm rm g(d)图(b)CA1O210m a1m
6、 g1OJ2m g2CJ2Cm a129-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?用动力学普遍定理如何求解?计入滑轮A质量,结果有何变化?9-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程对于完整约束系统，动力学普遍方程为(1,2,)jj*QQF+F=0 j=.k 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。jQF9-2-1 两个经典微分关系第九章 拉格朗日方程将 能量化 导出拉氏方程。j*QF 9-2-2 拉氏方程基本形式9-2-4 拉氏方程的应用再对广义速度jq 求偏导数，得式(9-7
7、)表明，ijqr 可对 的分子与分母“同时消点”。1(,),iikt qqrr 因对时间t求导数，1kiiilllqqtrrr得(9-6)iijjqqrr(9-7)1)“同时消点”iijjqqrr证明:9-2-1 两个经典微分关系 9-2 拉格朗日方程n个质点，s个完整约束，k3ns，12 (1,2)iik=q,q,.q,ti,.,nrrddiijjtqqrr 2)“交换关系”(求导)将式(9-6)两边对广义坐标jq证明:求偏导数，有1kiiilljljjqqq qqt rrr而1d()()dkiiilljljjqtqqqqtrrr比较以上两式，可得d()diijjtqqrr(9-8)式(9-
8、8)表明,可对求导“交换关系”。9-2 拉格朗日方程9-2-1 两个经典微分关系 9-2-2 拉氏方程基本形式 jn*iiQii=1j-F=mqrvddiiiiiijjmmtqqvvvvddddiiiiiijjmmtqtqrrvv22d11d22iiiijjmmtqq vvddjjTTtqq 9-2 拉格朗日方程 为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，需2k个初始条件 。jq 00jjq,q故ddjQjjTT=F j=1,2,.ktqq关于 的计算jQF由 (见下述例题中)jjFQjWFq(仅qi0时，计算所有主动力虚功)9-2 拉格朗日方程 9
9、-2-2 拉氏方程基本形式 9-2 拉格朗日方程9-2-3 势力场中的拉氏方程 若有势主动力jQjVFq 引入拉格朗日函数 又称动势。注意 ，有:VTL0jVq d0 1,2,.djjLLjktqq 此为势力场中第二类拉氏方程，是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组。ddjjjTTV-=-tqqq则有 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰接。已知 12312m,m,m,r,r,k,微分方程及圆频率 。试求系统微振动0 应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的前提；其次看主动力是否有势，由此选择
10、拉氏方程形式。xkA1r1m g3m g2r2m gB 9-2 拉格朗日方程222212333114422LTVm xm xm xkx1233322LmmmxxLkxx，代入拉氏方程 d0dLLtxx中，有 12333022mmmxkx即 12320332kxxmmm为所求微分方程。kA1r1m g3m g2r2m gB系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。与简谐振动微分方程 200 xx对比可知振动圆频率
11、 01232332kmmmkA1r1m g3m g2r2m gB 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J，其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 12,m m不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度。判断系统的自由度，取广义坐标。本题中，2k，取 12,q q为广义坐标，1m2mRM1q2q 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用计算系统的T与 jQF1 11221(2),TJm qqqqR222121 1222111()222qqTm qm qJR2212222(2),TJm qq
12、qqR1(1)1FQWFq2222222qMm g qMRm gqR10Tq20Tq11111qMm g qMRm gqR2(2)2FQWFq1m2mRM1q2q则有122,Rqq12 2Rqq122,Rqq12 2Rqq 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入 111ddQTTFt qq中，得1 11212(2)JMm qqqm gRR(a)代入 222ddQTTFt qq中，得22122222(2)JMm qqqm gRR(b)解方程，求加速度。21(a)(b)2mm，得 122112221122(4)3(4)qqM mmgRm mRJ mm
13、R m m1m2mRM1q2q 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法的特点。完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。9-2 拉格朗日方程题型特点:9-2-4 拉氏方程的应用如图所示，物A重为，物B重为 1G2G，刚度系数为k，其O端固定于物A上，另一端与物B相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。弹簧kAOB1G2G9-2-4 拉氏方程的应用 9-2
14、拉格朗日方程22212112212121211 (221 2cos)()sin2GGxxxggx xGGxkx(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t，有 系统处于势力场中，是保守系统，且自由度为2，取A的绝对位移,B的相对位移 2x1xLTV122121cosGGGLxxxgg121()sinLGGxkAOB1G2G1x2x 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用将以上各项代入下列拉氏方程1122d0dd0dLLtxxLLtxx得1221212cos()sin0GGGxxGGgg(a)22212cos0GGxxkxgg(b)22212cosGGLxx
15、xgg22Lkxx kAOB1G2G1x2x 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用由式(a)和式(b)消去 1x，得 2202xxD(c)其中2121202221212()()sin cos,(sin)sinkg GGGG gDG GGGG由式(c)解得2102020cossinDxCtCt由 0t 时，220 xx得 1220,0DCC故220sin2(cos1)2Gxtk(d)kAOB1G2G1x2x 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得2210212sincossincossinAG gxgtaGG 顺便指出，
16、由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为 2sin22G，固有频率为 0 多自由度完整约束保守系统问题，应用含L的拉氏方程，不需求广义力，求解较为简便。题型特点:9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 例题中(a)试求A，B两物块所受光滑面的支承力。若初瞬时弹簧有一初始伸长,结果有何变化?(b)试用质心运动定理和动能定理求解例3，并比较各种方法特点。kAOB1G2G1x2x 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 两个相同单摆，用刚度为k的弹簧连接已知m,k,l,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求系统振动微分方程及固有频率。9-2 拉格朗日
17、方程1Omk2Omll9-2-4 拉氏方程的应用自由度为2，选 为广义坐标，12,121Omk2Omll22121122Tm lm l选平衡位置势能为0，则 21211 cos1 cos2Vmglk2222111 cos,2a2222212121211222Vmglka(较小时，)21111cos212，9-2-4 拉氏方程的应用 9-2 拉格朗日方程L=T-V222221212222121211221 22mlmglk a 221121Lmglkaka211Lml，而 9-2 拉格朗日方程121Omk2Omll222Lml，22212L mglka9-2-4 拉氏方程的应用222112222
18、20 0(a)0 ml kamgl ka.mlka kamgl11d0dLL 22d0dLLt代入 和 中 22211222222100mlmglkakamlmglkaka有即 9-2 拉格朗日方程121Omk2Omll12020(b)0AKMA 11022sin A tA，设代入式(a)，得9-2-4 拉氏方程的应用22220222200kamglml kaka kamglml 方程(b)有非0解条件，即频率方程为即 (c)22222400kamglmlk a2010222 gkamgl ,lm l得为系统的主频率，将 分别代入式(b)0102，1221221200AkakakakaA 得
19、9-2 拉格朗日方程121Omk2Omll9-2-4 拉氏方程的应用 即 ，为系统的第一主振型，振动时弹簧不变形。12111AA振动时弹簧中点不动。22211A,A将02代入(b)得第二主振型，两振型图如下:1O2O(2)1A(2)2A(1)1A1O(1)2A2O 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用 1,2,3,4刚性杆长均为a，可不计质量。均质刚杆AB长 ，质量为2m，C,D 小球质量均为m，求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。l 系统为定常理想完整保守系统。VTL3k,选1234，为广义坐标。12341m234CDABma2maaa 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的
20、应用VTL2221131411314111222221 cos1 cos1 cos1 cos1 cosm am aam aa mgamga mga 114Lmga 221131312Lma m aaa ma而11d0dLLt代入得 9-2 拉格朗日方程12341m234CDABma2maaa9-2-4 拉氏方程的应用1134313414440(b)0 (c)0 (d)gagaga21341440mamga(a)rrg0a34(c)-(d),r并设 得同理可得sinrgAta故为简谐运动。9-2 拉格朗日方程12341m234CDABma2maaa9-2-4 拉氏方程的应用9-3-1 广义动量积
21、分(守恒)完整、理想约束、保守系统，若L中不含qr，则qr叫循环坐标，且有0rLq。1d0 dLtq 即 常数rLq 循环积分，广义动量守恒。d0drrLLtqq代入中，得rrrLTPqq即22212Lm xymg 如在重力场中质点质量为m，取x、y、z为广义坐标，可见x、y为循环坐标，则有LmxxLmyy常量，常量第九章 拉格朗日方程 如图所示，质量为 的某行星A受太阳的引力 ，为太阳质量，G为万有引力常数，r为极坐标的极轴，为其单位矢。试写出行星作平面曲线运动的循环积分。2m122rGmmFerre1m 该系统有二个自由度。选 为广义坐标，r,2221221()2LTVGm mm rrrx
22、y1m2m1AO质点受重力沿 方向，在x和y方向均为动量守恒。9-3-1 广义动量积分(守恒)第九章 拉格朗日方程 可见L中不显含 ，即 是循环坐标，则有循环积分。22TPm r常数 该广义动量积分表明，行星A对点O的动量矩守恒。若选x、y为广义坐标，有无循环积分？问:xy1m2m1AO9-3-1 广义动量积分(守恒)第九章 拉格朗日方程9-3-2 广义能量积分(机械能守量)定常、完整、理想约束保守系统，(n个质点)，k个自由度有:0jVq 1212iikk=q,q,.q,V=V q,q,.qrr1kiiijj=j=qqrvr 1212kkL=L q,q,.q,q,q,.q 则有1ddkjjj
23、=jjLLL=q+qtqq 故 第九章 拉格朗日方程11ddd()()dddkkjjjjjjjjLLLLqqqttqqtq(1)221111122nmkiiiijiijjrTm vmqq而的二次齐次函数。jq T为 将 d()djjLLqtq 代入上式，得 niiimfxxf1则 由Euler公式，若 为 的m次齐次函数nx,.x,xf21ix9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程故=2T（T为 的二次齐次函数）jq 11kkjjjjjjLTqqqq(2)将式(2)代入式(1)，得 dd2ddLTtt，dd2ddTVTtt故 常数TV此即拉氏方程能量积分，表明上述系统机械能
24、守恒。d0dTVt即9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程LT V 均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为r，杆长 。轮纯滚。若杆由水平静止释放，求 时 及 。30lAv22222312sin422211sin2 122llmxm x()xmlmgl2,k 选x和为广义坐标。AvArClmm30 x9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程故有循环积分，常数(初始为0)Lx0 xL又L0,t约束定常，且完整理想。225111sinsin04622mxmlml xmgl即(a)siniixm vmxmxml即 (b)3sin022lmxmxmx方向广义动量守恒，并
25、非系统x方向动量。TV故常数AvArClmm30 x9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程222152330 xllxgl100 xl30时，(a)，(b)两式为315 218537glgxl解之得 若接触平面光滑(f=0)，结果如何?若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何?AvArClmm30 x9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程 如图所示，质量为m，半径为r的匀质轮在质量为 、半径为R的薄壁筒内无滑动地滚动，设起始 时系统静止，且OC与重力方向夹角 。试求运动中圆筒转角 与 的关系。0m0OC0mrmRD9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九
26、章 拉格朗日方程 系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，则从轮C的速度分析，有 。()RrRr222220111 1()()()cos222 2RrLm Rm Rrmrmg Rrr0 因L不含 (其中 为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，并考虑到 时，0t 设O为零势能位置，系统动势为OC0mrmRD9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程 此处利用拉氏方程的循环积分，使问题求解大为简化。即2011()()22m RmRRrmR 对t积分，并注意到 时，0t 0000()()(2)RrmRmm得OC0mrmRD故 201()02Lm Rm
27、 RRrR9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程解出 和 ，再积分，可得 和 的变化规律。2222200111()()224()cos()cosRrRm Rm Rrmrrmg Rrmg R r该约束定常，故有T+V=常数，即将此式与例2中(a)式联立，如何求上述 和 的变化规律OC0mrmRD9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程DCBAOMlmlm 两等长均质杆水平悬挂，已知m、l ，AC=OB，求BD绳断瞬间，O处约束力。绳断瞬时，加速度如图，先研究CD杆。AaAaMAa2 AaCAa1 9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程如何求CD杆内力?由0 xNFF由0yQFF由MiM 从D端任取x段，加惯性力，复力如图。DCxk1C2J 12()mxll 22mx xl QFMNF12()Dla Da2kDa9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程初瞬时间，0vw0na 可直接加惯性力求解类似题型特点:9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程
