1、课题名称第八单元 数学广角数与形例2教学目标让学生体会极限思想。重难点分析重点分析知识点本身内容复杂：学生需要通过图形结合帮助经历数的概念，从而理解数运算的意义，通过发现规律利用数形结合解决问题，使抽象思维与形象思维结合，这部分知识比较抽象，学生在这部分知识理解起来有一定难度。难点分析刚开始学生不容易看出数的规律，也不会与图形的规律相结合，导致计算有难度。就算有的学生知道结果，但也不知道其所以然。教学方法通过观察加数的规律，从而得出结果的规律，并借助图形的变化帮助学生理解得数的规律。教学环节教学过程导入我们在例1的学习中，通过数形结合，知道了从1开始的连续奇数的和与正方形的面积之间的关系。那么
2、今天这个算式又有怎样的规律呢？知识讲解（难点突破）师(出示例2):请同学们观察这个算式,看看加数有什么规律?师：我们可以发现这些分数的分子都是1,分母都是偶数，并且后一个分母是前一个分母的2倍，是按照2倍的规律递增的。也可以说，第一个加数是，从第二个数开始，后面每个加数是前一个加数的（一半）。也就是从左往右看这些分数越来越小。这些分数是一半一半的加。师:算式右边省略号表示什么意思？生:意思是按照这样的规律写下去，加数有无数个。师：这些加数都可以是？生：、.师：像这样有规律的算式，它的结果会是多少呢？想算一算吗？为了便于计算，请孩子们自己试算一下这6个加数的和,+=生汇报：我们可以用两种方法计算
3、。第一种，一次通分；第二种或者分步通分，求出前两个加数的和，再用和去加第三个加数，得数再去与第四个加数相加，依此类推。生：两种不同的计算方法，结果都是。师：我们先来分析第一种，请同学们仔细观察这个算式，除了他们的分子不变，都是1，分母是前一个分母的2倍，也就是后一个分数是前一个分数的一半，这样一半一半地加下去。师：第一个分母是2，那么第2个分母就是它的（手指2）2倍，也就是2个2，第3个分母8是4的2倍，是3个2连乘。那么像这样加下去，师手指64分之1，是第6个加数，就是6个2连乘，其实就是（6个2连乘分之1）那如果继续加下去，加到第100个加数，分子还是1，分母是100个2 连乘，第n个加数
4、（分母是n个2连乘），在数学里，我们可以把n个2连乘用一种简便的方法表示出来，那也就是分母是2的n次方，分子还是1（师板书）师：再来看看，在计算时，把这些分数都通分成分母是64（圈64）的分数。通分以后的分母其实就是最后一个加数的分母。他们加起来的结果，它的结果有什么特点？可以发现结果的分母就是最后一个加数的分母，分子比分母少1 。师：再来看看第二种分步通分的方法，你在做的过程中，我们也可以发现每一步的结果分子与分母相差1。师：接下来，该加多少？结果又是多少？（）（分母乘2）（结果是分子分母差1）师板书省略号，如果接着往下加，加到第n个数结果是多少？（）师：如果按照这样的规律无限加下去，一半的
5、一半再加一半的一半，一直加下去，结果会是怎么样？预设：生1：最后的分数越来越大，因为当分子与分母相差1时，分子与分母的数值越大，这个分数就越大。生2：结果会越来越接近1 师：因为我们在计算的过程中发现这些得数的分子与分母都相差1，如果分子加1就等于分母，那么这个得数就是1。也就是说它们与1相差了最后一份。随着加数越来越多，那么他们相差的分数就会越来越小，就越来越接近于1，如果加到无限那么这个结果就可以等于1。师：越来越接近于1 ，跟1 相差最后一个加数。师：也就是结果是1减最后一个加数。师：这样无限地加下去，结果会是多少？（1）师：请同学们对比这两种算法，当我们从开始加起，再加它的一半，再加它
6、一半的一半，这样有规律地连续加下去，当我们加数的个数是有限的情况下，我们发现，它的结果是分子与分母相差 1，接近于1，当加数的个数是无限的情况下，加下去的结果就是1。师：同学们，通过刚才的计算，我们发现，不仅这个算式的加数有规律，还发现它的得数也是有规律的，（板书：数）上节课，我们还学了图形的规律，这个数的规律，我们能不能用图形来反应呢，现在就请同学们像例1一样，用图形表示出数的规律，请同学们试着画一画，利用图形直观感受相加之和接近1如果我用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的，再取剩下部分的一半就是这个正方形的，接着又取剩下部分的一半就是这个正方形的八分之一，往后又再取剩下部分的一
7、半，这样每次都取走剩下部分的一半，没有取的空白部分就越来越小，几乎看不到了，而取走部分几乎占满了一个整正方形。如果我用一个圆形表示“1”，先取它的一半就是圆的二分之一，再取剩下部分的一半就是这个圆的，接着又取剩下部分的一半就是这个圆的八分之一，往后又再取剩下部分的一半，这样每次都取走剩下部分的一半，没有取的空白部分就越来越小，几乎看不到了，而取走部分几乎占满了一个整圆。还可以用一条线段表示“1”，先把它平均分成两份，在左边表示出线段的，剩下的部分我又平均分成两份，在靠左的部分表示出线段的，后面的线段都照这样的方法分别表示出线段的，越往后剩下的线段越短，最后就接近是整条线段了。通过画图还可以证明
8、，结果就是1-最后一个加数，即1-。因为刚才我们发现得数的分母就是最后一个加数的分母，加到六十四分之一，通分以后，分母都是六十四，就相当于把这个正方形平均分成了六十四份，涂色部分占了六十三份，还可以理解为，要求他们的和，就是在求阴影部分的面积，那么阴影部分的面积，还可以转换成用1-空白部分的面积。而空白部分就是，分完以后，剩下的那一半，六十四分之一。或者还可以解释为，一直加，上一个加数的一半，总有一半没有加进去，那么剩余下来了一半，所以就用1-剩余部分，剩余的部分的大小就是最后一个加数。师：我们把刚才计算的过程与图形结合起来，把数的规律和图形的规律联系起来，从而发现了这类算式结果的规律。师：刚
9、才我们用了不同的图形，让我们直观的看到，当从开始，加上它的一半，再加上它一半的一半。无限地加下去，它的结果就是1。今天我们解决这道题用的就是一种数学思想，叫做极限思想师：到底什么是极限思想呢？老师这里有一句话可以，帮你们理解。（出示：一尺之棰，日取其半，万世不竭）师：其实中国古人在两千多年前，就已经知道了这个数学极限的原理。我们的古人还真是了不起。师：我们刚才是借助图形来帮我们解释这个结论，看来有的数的计算问题借助图形思考，能更好理解，更容易，再次证明了上节课我们学习的数缺形式少之角形，少数时难入微。今天这节课我们继续用数形结合的方法（板书“与、结合”）理解了像这样从2分之1开始连续加起它一半
10、的一半.和的规律。师：那如果以后遇到这样从 开始连续加起一半的一半的和，还用连续去加吗？还用两个两个去加吗？那它的结果就是1 。课堂练习（难点巩固）1、0.5+0.25+0.125+0.0625+.=通过观察我们发现这道题是有规律的。这道题也是从2分之1 开始连续加它一半的一半这样的规律无限地加下去，最后结果是1。师：虽然这道题的表现形式变了，从分数变成了小数，但不变的还是一半一半地加，所以无限加下去，结果是1。 2、+.=跟例题一样，只不过少了一个。所以结果是1-，就是。3、1-.=小结今天这节课我们一起学习了数与形，我们发现有些问题通过画图，可以使复杂的问题变得更简单，抽象的问题变得更直观。计算中可以通过形来帮助理解，遇到难算的图形，可以想到数的计算来解决，也就是见形想数，见数想形。
