1、株洲市 2023 届高三年级教学质量统一检测(一)数学试题答案及评分标准本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题) 两部分满分 150 分 ，考试时间 120 分钟第 卷一、 选择题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的.)题号12345678答案ADCDCBCC二、 选择题 (本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分， 有选错的得0 分，部分选对的得2 分.)题号9101112答案ACADACDABC第卷三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5
2、分，共 20 分)13 、2 14、5 (大于等于 5 的正整数均可) 15 、1 16 、 四、解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (本小题满分10 分)【解】 () 在ABD 中， 由勾股定理得BD = AB2 + AD2
3、;= 2 ， 1分AD 2 AB sin三ABD = = , cos三ABD = = &n
4、bsp; ，BD 7 BD 7cos三DBC = cos (60 三ABD) = cos60 cos三ABD+ sin60 sin三ABD= +
5、 = ；1 21 3 2 7 3 212 7 2 7 143分5 分() (法一)
6、 因为三DCB = 90，所以BC = BD . cos三DBC = 3 ，在 ABC 中， 由余弦定理得：AC = AB2 + BC2 2AB . BCcos三ABC = . 10 分(法二)依题意 三DAB = 三DCB = 90知， A、B、C、D 四点共圆， 且直径2R=BD = 2 7 ，sin 三ADC sin120 &nbs
7、p; 2在 ADC ，由正弦定理 AC = AC = 2R = 2 ，所以AC = 2 = . 10 分18 (本小题满分12 分)【解】设“甲没有获得门票”为事件M0 ，“甲获得开幕式门票”为事件M1 ，“甲获得赛事门票”为事件M2 ，
8、“乙获得i 张赛事门票”为事件Ni (i = 0,1,2)1 1 1 3() P(M0 ) = (1 ) . (1 ) . = ，
9、; 2 分5 4 2 101 1 1P(N0 ) = . = &nbs
10、p; 4 分2 2 4“甲
11、乙都没有获得门票”为事件M0 N0 ，则P(M0N0 ) = P(M0 )P(N0 ) = 6 分1 4 1 2 1() 依题意P(M1 ) = + . = ， P(M2 ) = ，
12、 7 分5 5 4 5 21 1 1 1 1
13、 1 1 1P(N1 ) = . + . = ， P(N2 ) = . =
14、 8 分2 2 2 2 2 2 2
15、; 4“乙获得门票数比甲多”为事件M0N1 + M0N2 + M1N2 + M2N2 ，所以P(M0N1 + M0N2 + M1N2 + M2N2)=P(M0N1)+ P(M0N2)+ P(M1N2)+ P(M2N2)3 1 3 1 2 1 1 1 9= 10 . 2 + 10 . 4 + 5 . 4 + 2 . 4 = 20 &nb
16、sp; 12 分19. (本小题满分12 分)【解】 () 连接DO ，因为DA = DC ， O 为AC 的中点，所以DO AC
17、 ； 1 分设菱形ABCD的边长为 2，又因为 三ABC = 900 ，所以AC = 2 ，连接BO，则 BO = ，又因为 AD = DC = 2，AC = 2 ，所以AD2 + DC2 = AC2 ，所以AD DC ，所以DO = ，又因为BD = 2，所以DO2 + BO2 = DB2 ，所以 DO BO ； 4 分又 AC n BO = O ，所
18、以DO 平面ABC ，所以点O 是点D在平面ABC 上的射影； 6 分() 方法一(等体积法)设点 A到平面BCD 的距离为h ，设菱形 ABCD 的边长为 2，则 BCD 的面积为 ，所以 VA-BCD = h = h ；ABC 的面积为 2，由()知 DO 平面ABC ，DO = 所以 VD-ABC = 2 = h ，所以 h = ，8 分10 分8 分AD ， BD
19、 BC|(m . CD = 0Dl| 2y + = 0 ly = z即 一 ，|( 2y = 0 &nbs
20、p; (x = yy x CABO设直线AD与平面BCD所成角为 ，2 6h 3 6 ，所以则 cos = . 12
21、 分sin = = =AD 2 3方法二(向量法)由()知 DO T 平面ABC ，以 O 为原点， OC,OB,OD所在的直线为x,y,z 轴建立空 间直角坐标系(如图)，设菱形ABCD的边长为 2，则所A( 2,0,0), B(0, 2,0),C( 2,0,0), D(0,0，2)；= ( 2,0
22、2), = (0, 2, 2), = ( 2, 2,0)z ，l|m . BD = 0设平面BCD的法向量为 m = (x, y, z)，则令x = y = z = 1 ，则 m = (1,1,1) ， 10 分设直线AD与平面BCD 所成角为 ， 2 + &
23、nbsp; 12 分 人 2 3 3所以sin = cos AD, m = =
24、;，所以 cos = .(说明：学生在其它位置建系的请酌情给分)20. (本小题满分12 分)1 分【解】 () 2bn = an +1 ，：bn = log2 (an +1) ，b1 = log2 (3 +1) = 2 ，由已知可得an+1 = a + 2an ，：an+1 +1 = a + 2an +1 = (an +1)2 ，：log2 (an+1 +1) = 2 log2 (a
25、n +1) ，： = = 2 ，所以数列恳bn 是以2 为首项，2 为公比的等比数列；2 分4 分5 分() 由 () 得bn = 2n ，所以 cn = +1 = +1，设dn = ，数列恳dn 的前n 项和为Sn ，则Sn = + + + + + ，S = + + + + &nbs
26、p; + ，1 1 2 3 n1 n 2 n 22 23 24 &n
27、bsp; 2n 2n+16 分7 分|ly = 4x 得Sn = + + + + + = = 1 ，9 分所以Sn = 2 ，所以 Tn = Sn + n = n + 2 < 100(n= N* )，当n = 1 时，
28、 2n < n + 2 ，当n = 2 时， 2n = n + 2 ，当n > 3 时， 2n = (1 +1)n > C + C + C = n + 2 ，即 0 < < 1 ，所以n+1 < n+ 2 < n+ 2 ，所以n+ 2 三 100 ，n 三 98 ，n+ 22n所以满足Tn < 100 的最大整数n 为98 .21. (本小题满分12 分)【解】由已知得曲线N
29、 的方程为y2 = 4x() 不妨设A1 为原点，则A1A2 的方程为x = y ，12 分2 分联立 2 ，解得 A2 (12, 4 ) ，于是A3 (12, 4 )(|x = y所以编A1A2 A3 的面积为S编A1A2 A3 = 根12 根 8 = 48 .
30、 4 分() 设Ai (xi , yi )(i = 1,2,3) ，则有xi = ，不妨设直线A1A2 ，A1A3 与曲线M 相切， 直线A1A2 的方程为y y1 = (x x1 ) ，化简为4x (y1 + y2 )y + y1y2 = 0 ，联立( x2 = 4y 得y1 + y
31、2 x2 4x y1y2 = 0 ， 6 分l4x (y1 + y2 )y + y1y2 = 0 4编 = 16 + (y1 + y2 )y1y2 = 0 同理16 + (y1 + y3 )y1y3 = 0 ，
32、; 8 分由得： (y1 + y2 + y3 )(y2 y3 ) = 0 ，因为y2 才 y3 ，所以 y1 + y2 + y3 = 0 ， 9 分直线A2 A3 的方程为4x (y2 + y3 )y + y2y3 = 0 ，联立( x2 = 4y 得 y2
33、 + y3 x2 4x y2y3 = 0 ， 10 分l4x (y2 + y3 )y + y2y3 = 0 4编 = 16 + (y2 + y3 )y2y3 = 16 y1y2y3 = 16 + (y1 + y2 )y1y2 = 0所以直线A2 A3 也与曲线M 相切.
34、 12 分22. (本小题满分12 分)【解】() f(x) = aex
35、 x ，由f (x) = 0得：x a = ex ，令g(x) = ，则直线y = a与曲线y = g(x)有两个不同交点， g(x) = x ，所以 g(x) 在(,1)上递增，在 (1, +)上递减；且当x > 1时， 0 < g(x) < ，所以 0 < a < ，同时0 < x1<1< 1="" 2="" 3="0" 4="" 6="" 8="" x2="&qu
36、ot; f="" x1="7" aex1="x1" x12="" a="=" aex2="x2" ex2="" t="(t">2)，则 x2 = tx1 ，ex2 x1 = e(t1)x1 = t ，则 x1 = &n
37、bsp; 8 分令h(t) = (t > 2)，则 h(t) = ，令 Q(t) = 1 ln t(t > 2)，则 Q(t) = 0所以 Q(t )在2, + )上单调递减， 所以 Q(t ) Q(2) = ln 2< 0 ， 10 分所以h(t )在2, + )上单调递减， 所以h(t ) h(2) = ln 2 ，故 0 x1 ln 2a = ，g(x) = 在(0,ln 2上单调递增，所以0< a . 12 分
