1、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 1.问题的引入问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问,月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸,只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具的有力工具.正弦定理回忆一下
2、直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?2.定理的推导定理的推导1.1.1 正弦定理正弦定理sinbcB(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理,作,作有有 sinsinsinabcABC 1.1.1 正弦定理正弦定
3、理sin,sinCDaB CDbA sinsinaBbA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1 正弦定理正弦定理DCcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即1.1.1 正弦定理正弦定理解三角形解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角,由己知二角一边由己知二角一边或二边一角可表
4、示其它的边和角或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征定理结构特征:二、外接三角形中二、外接三角形中OB/cbaCBARCcRcBCBCBAB2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理1、正弦定理、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的在一个三角形中，各边和它所对角的正正弦的比相等，即弦的比相等，即CcBbAasinsinsin能否用向量法来证明正弦定理？能否用向量法来证明正弦定理？我们选择单位向量j 并让 与 垂直.jACj 与AB ACCB 的夹角分别为即:jABj(AC+CB)C)cos(90 cos90 AC)A cos(90AB
5、CBABCA90 90C 90=bacc sinA=a sinC同理:a sinB=b sinACcBbAasinsinsinC)cos(90 cos90 AC)A cos(90ABCBBCbacACcAasinsinBbAasinsin即即正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即（四）定理的应用例 1在ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。求 b (保留两位有效数字）。解：CcBbsinsin 且 105C)(A180 Bb=CBcsinsin19=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两
6、边和一角变式训练：（1）在ABC中，已知b=，A=，B=，求a。34560（2）在ABC中，已知c=，A=，B=，求b。37560解：BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解：=45)6075(180又 CcBbsinsinCBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB例2证明：用正弦定理证明三角形面积BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而BCADhasinBacSABCsin21又CbBcsinsinAcCasinsinBacAbcCabSABCsin21sin21sin21例例3、在在AB
7、CABC中，已知中，已知 a=28a=28，b=20b=20，A=120A=120，求，求B B（精确到（精确到11）和）和c c（保留保留两个有效数字）。两个有效数字）。baCBA120小结：小结：2、已知两边和其中一边的对角、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一解。解三角形，有两解或一解。如图如图（1）A为锐角为锐角a=bsinA(一解）一解）AbaBCAB2baB1CabsinAab(一解）一解）baABCbaCBAab(一解）一解）（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：
8、ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC基础练习题基础练习题1.1.1 正弦定理正弦定理BbaAABCBbaAABC求中，已知在求中，已知在,3310,4,60)2(,2,2,45)1(00B=300无解无解（3）在ABC中，B=30，AB=，AC=2，则ABC的面积是32解：根据正弦定理，有 BACCABsinsin所以23sinsinACBABC则C有两解：1)当C为锐角时，C=60A=90S=32sin21AACAB当C为钝角时，C=120A=302)S=3sin21AACABABCC千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m千
9、岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A,B两处的距离？两处的距离？这是一个已知三角形两边这是一个已知三角形两边a和和b,和两边的夹角和两边的夹角C，求出第三边求出第三边c的问题的问题.?角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理222bacABCcba 已知三角形两边分别为已知三角形两边分别为a和和b,这两边的夹角为这两边的夹角为C，角角C满足满足什么什么条件条件时较易求出第三边时较易求出第三边c？勾股定理勾股定理你能用你能用向量向量证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？222CBACAB即证即证CBACABC
10、BAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CBCcosCBAC2AC 22bCcosab2a CBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC 22bCcosab2a CBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC 22bCcosab2a Cabbaccos2222Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方和和减去减去这两
11、边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何适用于任何三角形三角形ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)2220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B(c,0)ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)2220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标
12、方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B(c,0)Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方和和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？这个定理有什么作用？若已知若已知b=8,c=3,A=,能求能求a吗？吗？60适用于任何适用于任何三角形三角形它还有别的用途吗它还有别的用途吗？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以
13、求什么？Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而，求第三边，进而还可求其它两个角。还可求其它两个角。归纳：归纳：角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m?CCBCACBCAABcos
14、22228.110cos7001338270013382235511.018732004900001790244665192228024429454361716AB答：答：A,B两处的距离约为两处的距离约为1716米。米。引题（精确到引题（精确到1米）米）例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到11，边长精确到，边长精确到1 1cmcm）解：根据余弦定理解：根据余弦定理82.16767547.040801156360041cos346023460Acosbc2cba22222
15、所以所以 cm41a 5440.0aAsincCsin 例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1 1）解：由余弦定理的推论得解：由余弦定理的推论得7.1618.8726.1347.1618.87bc2acbAcos222222 ,5543.0 0256A 7.1616.13428.877.1616.134ac2bcaBcos222222 ,8398.0 3532B 749035320256180BA180C 解：由余弦定理可知解：由余
16、弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A=A=，求求BCBC的长的长3 例例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（边长为（）分析：分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于余弦值小于0。B中：中：，所以，所以C是钝角是钝角222132442 2 3cosC D中：中：，所以，所以C是锐角，是锐角，因此以因此以4，5，6为三边长的三角形
17、是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形222156482 4 5cosC A、C显然不满足显然不满足BA、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,a=7,b=8,cosC=,求求最大角的余弦值最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边出第三边,找到最大角。找到最大角。2222cosabCbca2213142 7 8987 解：解：3c 则有：则有：b是最大
18、边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角22222273822 3 71cos7acbacB 小结小结1 1、余弦定理及其推论、余弦定理及其推论Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos2222 2、余弦定理的应用、余弦定理的应用（1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。求第三边，进而还可求其它两个角。（3）判断三角形）判断三角形22290Aacb22290Aacb22290Aacb01201、在、在ABC中，已知中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，则则B （1）求 该 三 角 形 面 积;（2）记 AB中 点 为 D,求 中 线 CD的 长.02545,10,cos.5ABCBACC3、已 知中，,2,cos()ABCa b ccaddBd2、中，若成等比数列，且则1.4A3.4B2.4C2.3DB
