1、7.2 定义与命题北师大版北师大版 数学数学 八年级八年级（上）（上）第七章 平行线的证明1 1.知道什么是知道什么是公理公理，什么是，什么是定理定理，理解，理解证明证明的概念的概念。2 2.了解真命题的了解真命题的证明、证明、公理化思想，以及证明的出公理化思想，以及证明的出发点，通过具体事例感受证明的发点，通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式基本步骤和书写格式。学习目标学习目标如何证实一个命题是真命题呢？如何证实一个命题是真命题呢？用我们以前用我们以前学过的观察学过的观察,实验实验,验证验证特例等方法特例等方法.这些方法往往这些方法往往并不可靠并不可靠.那已经知道的那已经知道的真命题又是
2、如真命题又是如何证实的何证实的?能不能根据能不能根据已经知道的已经知道的真命题证实真命题证实呢呢?哦哦那可那可怎么办怎么办导入新知导入新知 了解了解原本原本与与几何原本几何原本；了解古希腊数学家欧几；了解古希腊数学家欧几里得里得(Euclid,公元前公元前300前后前后)；找出下列各个定义并举例；找出下列各个定义并举例1.原名原名:2.公理公理:3.证明证明:4.定理定理:某些数学名词称为原名某些数学名词称为原名.公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理.除了公理外除了公理外,其他真命题的正确性其他真命题的正确性都需要都需要通过演通过演绎推理的方法证实绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明演
3、绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理.合作探究合作探究 证实其他命证实其他命题的题的正确正确性性 推推 理理演绎推理的演绎推理的过程叫过程叫证明证明经过证明的真经过证明的真命题叫命题叫定理定理原名、公理原名、公理一些条件一些条件+归纳小结归纳小结本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线两点确定一条直线;2.两点之间线段最短两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等.公理合作探究合作探究等式的有关性质等式的有关性质和和不等式的有关性质（以不等式的有关性质（以后将会学到）后将会学到）都可以看作都可以看作公理公理“在等
5、式或不等式中在等式或不等式中,一个量可以用它的一个量可以用它的等量来代替等量来代替”.这一性质也看作公理这一性质也看作公理,简称简称为为“等量代换等量代换”.其他其他公理公理其中正确的改法个数是()A1个 B2个 C3个 D4个A在直线AB上取一点E 2=1=90（两直线平行，同位角相等）.3是1的补角(),若abb2；a c（垂直的定义）.理由：12，ACDE.了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；ACBC，ACE90，DEC90，即DEBC北师大版 数学 八年级（上）分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中1与3就是同位角.定义 D.这些方法往往并不可
6、靠.证明定理证明定理“对顶角相等对顶角相等”如如图，直线图，直线AB与直线与直线CD相交于点相交于点O，AOC与与BOD是对顶角是对顶角.求证求证：AOC=BOD证明：证明：AOB与与COD都是平角都是平角().已知已知平角的定义平角的定义 AOCAOD180.补角的定义补角的定义 AOC=BOD().同角的补角相等同角的补角相等直线直线AB与直线与直线CD相交于点相交于点O()，BODAOD180().例 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据找出由已知推出结论的途径，写出证明过程
7、，并注明依据.证明过程的注意事项证明过程的注意事项：证明证明的每一步推理都要有根据，不能的每一步推理都要有根据，不能“想当然想当然”.”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等基本事实、定理等.证明的书写证明的书写格式格式:证明定理证明定理：同角的补角相等：同角的补角相等.已知：已知：2是是1的补角，的补角，3是是1的补角的补角.求证：求证：2=3.证明：证明：21=180().已知已知补角的定义补角的定义 2 1801().等式的性质等式的性质3是是1的补角的补角(),已知已知 31180().补角的定义补角的定义 3 1
8、801().等式的性质等式的性质 2=3().等量代换等量代换2是是1的补角的补角(),132巩固新知巩固新知分析分析：要证明要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的平行，就需要同位角相等的条件，图中条件，图中1与与3就是同位角就是同位角.我们只要找到：我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了能说明它们相等的条件就行了.从图中，我们可以发现：从图中，我们可以发现：2与与3是对顶角，是对顶角，所以所以3=2.这样我们就找到了这样我们就找到了1与与3相等的确相等的确切条件了切条件了.例例 如图，如图，1=2，试说明直线，试说明直线AB，CD平行平行.典例精析典例精析 证证明推理的应用明推理的应用合
9、作探究合作探究证明证明：2与与3是对顶角是对顶角3=2又又1=21=3ABCD（对顶角的定义对顶角的定义）,（对顶角的性质对顶角的性质）.（已知已知）,（等量代换等量代换）.（同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行）.如图如图所示所示，直线，直线AB和直线和直线CD，直线，直线BE和直线和直线CF都被直线都被直线BC所截，所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程ABCD，BECF，12题设题设(已知已知):.结论结论(求证求证)
10、：.巩固新知巩固新知证明证明：ABCDABCDCB又又BECFEBCFCBABCEBCDCBFCB12.（已知（已知）,（两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等）.（已知（已知）,（两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等）.（等式的性质等式的性质）,1.“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”这个语句是（这个语句是（）A.定理定理 B.公理公理 C.定义定义 D.只是命题只是命题2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语这个语句是（句是（）A.定理定理 B.公理公理 C.定义定义 D.只是命题只是命题BC课堂练习课堂练习3.下列句子中
11、，是定理的是（下列句子中，是定理的是（），是公理的），是公理的是（是（）.A.若若a=b，b=c，则，则a=c；B.对顶角对顶角相等相等;C.全等三角形的对应边相等，对应角全等三角形的对应边相等，对应角相等相等.B,C A4.在下面的括号内，填上推理的依据在下面的括号内，填上推理的依据.如图，如图，AB CD,CB DE,求证求证 B+D=180.证明证明：AB CD,B=C().).CB DE,C+D=180().).B+D=180().().等量代换等量代换两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补ABCED 5.已知：已知：bc，ab 求
12、证：求证：ac证明证明：a b（已知（已知）,1=90（垂直的定义（垂直的定义）.又又 b c（已知已知）,2=1=90（两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等）.a c（垂直的定义）（垂直的定义）.abc12ABCEBCDCBFCB a c（垂直的定义）.第2课时 命题的证明经过证明的真命题称为定理.A32B16这样我们就找到了1与3相等的确切条件了.题设(已知):.那已经知道的真命题又是如何证实的?6下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()6下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()(2)ODAB(可以推出AOD90)A若12
13、，则1，2是对顶角D若1390，2390，则12ABCD，BECF，12典例精析 证明推理的应用定义 D.等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;16如图，点A，O，B在一条直线上，OC平分BOD，OEOC，垂足为点O.演绎推理的过程称为证明.公理、公理、定定理、证明理、证明证明证明：推理的过程：推理的过程公理公理：公认的真命：公认的真命题题定理定理：经过证明的：经过证明的真命题真命题概念概念证明的过程证明的过程归纳新知归纳新知1下列说法中错误的是()A所有的定义都是命题B所有
14、的定理都是命题C所有的公理都是命题D所有的命题都是定理D课后练习课后练习2下列说法正确的是()A命题一定是正确的B不正确的判断就不是命题C真命题都是公理D定理都是真命题D3下列语句中属于定理的是()A在直线AB上取一点EB如果两个角相等，那么这两个角是对顶角C同位角相等D同角的补角相等D4“过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”是一个()A需要证明的命题B公理C定理 D定义B5在证明过程中可以作为推理根据的是()A命题、定义、公理 B定理、定义、公理C命题 D真命题B6下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A32B16C8 D4D7下列说法不正确的是()
15、A若12，则1，2是对顶角B若1，2都是直角，则12C若12，则1323D若1390，2390，则12A8如图，直线AB，CD相交于点O，则AOC的度数是()A60 B40C30 D15A 1=90（垂直的定义）.3下列语句中属于定理的是()3是1的补角(),证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.其中正确的改法个数是()A在直线AB上取一点E 2=3().演绎推理的过程称为证明.如何证实一个命题是真命题呢？().B=C().ACBC，ACE90，DEC90，即DEBC6下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A所有的定义都是命题经过证明的真命题叫定理（两直线
16、平行，内错角相等）.定理：经过证明的真命题过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;定义 D.定理 B.9如图，直线AB与CD相交于点O，EOB90，则图中1与2的关系是()A对顶角 B互补的两个角C互余的两个角 D相等的角10证明命题“三角形任意两边的和大于第三边”成立的依据是_C两点之间线段最短11如图，已知ACBC，点C为垂足，点E是BC上一点，并且12.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由解：DEBC.理由：12，ACDE.ACBC，ACE90，DEC90，即DEBC12如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA15米，OB10米，则点A，B间的距
17、离不可能是()A5米B10米C15米D20米A13“a，b是实数，若ab，则a2b2”显然是错误的，若结论保持不变，怎样改变条件，才能使之成立？以下四种改法：若ab0，则a2b2；若ab且ab0，则a2b2；若abb2；若ab且abb2.其中正确的改法个数是()A1个 B2个 C3个 D4个14工匠师傅使用的吊锤主要是运用了_D 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直解：(1)COD45(2)ODAB(可以推出AOD90)16如图，点A，O，B在一条直线上，OC平分BOD，OEOC，垂足为点O.试判断AOE与DOE有怎样的数量关系，并说明理由解：AOEDOE.理由：如图，OEOC，1390
18、.又AOB180，2490，又12，34，即AOEDOE17把一根长度为143 cm的铁丝截成几段，若每一段至少1 cm长，且任意三段都不能构成三角形，试判断最多可以截成多少段？用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.2下列说法正确的是()1=90（垂直的定义）.1=90（垂直的定义）.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.北师大版 数学 八年级（上）2是1的补角(),又 b c（已知）,公认的真命题称为公理.若abb2；17把一根长度为143 cm的铁丝截成几段，若每一段至少1 cm长，
19、且任意三段都不能构成三角形，试判断最多可以截成多少段？18在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：ABDE；求证 B+D=180.17把一根长度为143 cm的铁丝截成几段，若每一段至少1 cm长，且任意三段都不能构成三角形，试判断最多可以截成多少段？ABCD，BECF，12演绎推理的过程称为证明.().A60 B40本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:解：前两段取1 cm，1 cm，若任意三段不能构成三角形，只需第三段为前两段之和即2 cm，以此类推，可得以后的线段长为3 cm，5 cm，8 cm，13 cm，21 cm，34 cm，55 cm，所以铁丝最多可以截成10段18在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：ABDE；BFEC；BE；12.请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明条件_；结论_(填序号)解：BFCE，BFCFCECF，即BCEF.在ABC与DEF中，ABDE，BE，BCEF，ABCDEF，12再见
