1、专题二 三角形、四边形中的重要模型一、手拉手模型图 示ODCAB ODCAB ODCAB说 明已知AOBCOD，连接AC，BD，当AOB与COD都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD时，AOCBOD；当AOB与COD不是等腰三角形时，AOCBOD.例1 （2021湖北）已知ABC和DEC都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC，BAC=EDC=n.（1）若n=60，如图1-，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： ；如图1-，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）若n=90，如图1-，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB=，AD=1
2、时，请直接写出DC的长.图1解析：（1）因为AB=AC，DE=DC，BAC=EDC=60，所以ABC和DEC都是等边三角形.所以AC=BC，DC=EC.所以AC-DC=BC-EC，即AD=BE.故填AD=BE.AD=BE.理由：由，得ABC和DEC都是等边三角形.所以AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60.所以ACD=60-DCB，BCE=60-DCB，即ACD=BCE.所以ACDBCE.所以AD=BE.（2）BE=AD.理由：因为BAC=EDC=90，AB=AC，DE=DC，所以ABC=ACB=45，DEC=DCE=45.所以sin 45=.因为ACB=ACE+ECB=45，DCE=A
3、CE+DCA=45，所以ECB=DCA.所以DCAECB.所以，即BE=AD.DC的长为5或.当点D在ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图2-所示.因为AB=，AD=1，所以AC=AB=，BE=AD=.因为BEAC，所以EFBCFA，EBF=CAB=90.所以.所以AF=3BF，CF=3EF.因为AB=BF+AF=，所以BF=.在RtEBF中，EF=.所以CF=3EF=3=.所以EC=EF+CF=+=.在等腰直角三角形DEC中，DC=ECcos45=5.当点D在ABC内部时，过点D作DHAC于点H，如图2-所示.因为BEAC，所以CBE=ACB=45.由（2）可得CAD=CBE=45.因为
4、AC=，AD=1，所以AH=DH=.所以CH=ACAH=.所以DC=.综上，DC的长为5或. 图2二、对角互补模型图 示ABDCOEE MABDCOEEN 说 明如图，AOB+DCE=180，构造垂直，过点C分别作OA，OB的垂线，构造直角三角形，如图；构造相等的角，OCF=DCE，如图.若OC是AOB的平分线，则图中CMDCNE，图中CEFCDO；若OC不是AOB的平分线，则图中CMDCNE，图中CEFCDO.例2 在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.【探究发现】（1）如图3-，若BAD=120，ABC=ADC=90，求证：AD+AB=AC；【拓展迁移】（2）如图3-，若BAD=120
5、，ABC+ADC=180.猜想AB，AD，AC三条线段的数量关系，并说明理由；若AC=10，求四边形ABCD的面积. 图3解析：（1）因为AC平分BAD，BAD=120，所以DAC=BAC=60.因为ADC=ABC=90，所以ACD=ACB=30.所以AD=AC，AB=AC.所以AD+AB=AC.（2）AD+AB=AC.理由：过点C分别作CEAD于点E，CFAB于点F，如图3-所示.因为AC平分BAD，CEAD，CFAB，所以CE=CF，E =CFB.因为B+ADC=180，CDE +ADC=180，所以CDE=B.所以CEDCFB.所以DE=BF.所以AD+AB=AD+BF+AF=AD+DE
6、+AF=AE+AF.在四边形AFCE中，由（1），知AE+AF=AC，所以AD+AB=AC.因为AC平分BAD，BAD=120，所以DAC=BAC=60.因为AC=10，所以CE=ACsinDAC=10sin 60=.因为CF=CE，AD+AB=AC，所以S四边形ABCD=ADCE+ABCF=（AD+AB）CE=10=.三、半角模型图示 说明如图，在等腰三角形BDC中，BDC=120，EDF=60.将BDE旋转，使BD与CD重合，可得DEFDGF，EF=BE+CF.（也可延长AC至点G，使CG=BE）.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，BAC=90，DAE=45.将ABD旋转，使AB
7、与AC重合，可得AEDAEF，CEF是直角三角形， BD2+CE2=DE2.如图，在正方形ABCD中，EAF=45，将ADF旋转，使AD与AB重合，可得AEFAEG，AGF是等腰直角三角形，EF=BE+DF.（也可延长CB至点G，使BG=DF）例3 综合与实践：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，如图4-.（1）EAF= ，写出图中两个等腰三角形： ；
8、（不需要添加字母）转一转：将图4-中的EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图4-.（2）线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为 ；（3）连接正方形ABCD的对角线BD，若图4-中PAQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，如图4-，则= ；剪一剪：将图4-中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4-.（4）求证：BM2+DN2=MN2. 图4解析：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD，B=D=BAD=90.所以ABC，ADC都是等腰三角形.因为BAE=CAE，DAF=CAF，所以EAF=（BAC+DAC）=45.所以BAE=DAF=22.
9、5.所以BAEDAF.所以BE=DF，AE=AF.因为CB=CD，所以CE=CF.所以AEF，CEF都是等腰三角形.（2）延长CB到点T，使得BT=DQ，如图5-所示.因为AB=AD，ABT=ADQ=90，BT=DQ，所以ABTADQ.所以AT=AQ，BAT =DAQ.因为PAQ=45，所以PAT=BAP+BAT=BAP+DAQ=45.所以PAT=PAQ=45.因为AP=AP，所以PATPAQ.所以PT=PQ.因为PT=BP+BT=BP+DQ，所以PQ=BP+DQ.（3）因为四边形ABCD是正方形，所以ACQ=ABM=BAC=45，AC=AB.因为PAQ=BAC=45，所以CAQ=BAM.所以
10、CAQBAM.所以=.（4）将ADN绕点A顺时针旋转90得到ABR，连接RM，如图5-所示.因为BAD=90，MAN=45，所以DAN+BAM=45.因为DAN=BAR，所以BAM+BAR=45.所以MAR=MAN=45.因为AR=AN，AM=AM，所以AMRAMN.所以MR=MN.因为D=ABR=ABD=45，所以RBM=90.所以MR2= BM2+BR2.因为DN=BR，MN=MR，所以BM2+DN2=MN2. 图5四、一线三等角模型图 示 说 明如图，已知ACP和BPD，点A，P，B在一条直线上，若1=2=3，则ACPBPD.当一条直线上有两个等角时，构造第三个等角形成相似三角形；当一条
11、直线上有三个等角时，识别此模型，利用相似三角形解答.例4 【基础巩固】（1）如图6-，在四边形ABCD中，P为AB上一点，DPC=A=B=90，求证：ADBC=APBP；【尝试应用】（2）如图6-，在边长为4的菱形ABCD中，ABC=60，E为对角线BD上一点，且BE=2DE，F为AD上一点，AEF=30，求AF的长；【拓展提高】（3）如图6-，等边三角形DEF内接于矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，BC上.若BE=4，CD=5，求等边三角形DEF的边长 图6解析：（1）因为A=B=DPC=90，所以APD+BPC=90.因为APD+ADP=90，所以ADP=BPC.所以ADPBPC.所
12、以.所以ADBC=APBP（2）连接AC交BD于点T，如图6-所示.因为四边形ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=BC=CD=AD=4，ABD=DBC=ADE=30，BDAC.所以AT=AB=2，BT=TD=.所以BD=.因为BE=2DE，所以BE=，DE=.所以ET=.所以AE=.因为AEF=ADE=30，EAF=DAE，所以AEFADE.所以，即AE2=AFAD.所以AF=.（3）分别延长CB，BC至点M，N，使EMB=DNC=60，如图6-所示.因为DEF是等边三角形，所以EFD=60，EF=DF.所以FEM+EFM=DFN+EFM.所以FEM =DFN.所以FEMDFN. 所以FM
13、=DN.在RtBEM中，BM=.在RtDCN中，DN=.所以BF=FM-BM=DN-BM=-=.在RtBEF中，由勾股定理，得EF=.所以等边三角形DEF的边长为.五、十字架模型图 示 说 明如图，在正方形ABCD中，分别连接两组对边上任意两点，得到线段EF与GH.若EFGH，则EF=GH；如图，在矩形ABCD中，分别连接两组对边上任意两点，得到线段EF，GH，分别平移EF，GH得到AN，BM.若EFGH，则ABMDAN.例5 （2021达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做如下探究：【观察与猜想】（1）如图7-，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点
14、，连接DE，CF，DECF，则的值为 ；（2）如图7-，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，E是边AD上的点，连接CE，BD，且CEBD，则的值为 ；【类比探究】（3）如图7-，在四边形ABCD中，A=B=90，E为边AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEAB=CFAD；【拓展延伸】（4）如图7-，在RtABD中，BAD=90，AD=9，tanADB=.将ABD沿BD翻折，点A落在点C处得到CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DECF.求的值；连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度. 图7解析：（1）设DE与CF交于
15、点G.因为四边形ABCD是正方形，所以A=FDC=90，AD=CD.因为DECF，所以DGF=90.所以ADE+DFC=90，ADE+AED=90.所以DFC=AED.所以AEDDFC.所以DE=CF.所以=1.（2）设BD与CE交于点G.因为四边形ABCD是矩形，所以A=CDE=90.因为CEBD，所以DGC=90.所以CDG+DCE=90，ADB+CDG=90.所以DCE=ADB.因为CDE=A，所以DECABD.所以=.（3）过点C作CHAF交AF的延长线于点H，如图7-所示. 因为CGEG，所以G=H=A=B=90.所以四边形ABCH是矩形.所以AB=HC，HCF+CFH=DFG+FD
16、G=90.因为CFH=DFG，FDG=ADE，所以HCF=ADE.又A=H=90.所以DEACFH.所以=.所以=.所以DEAB=CFAD.（4）过点C作CGAD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，如图7-所示.因为CFDE，GCAD，所以FCG+CFG=CFG+ADE=90.所以FCG=ADE，CGF =BAD =90.所以DEACFG.所以=.在RtABD中，tanADB=，AD=9，所以AB=3.在RtADH中，tanADH=，所以=.设AH=a，则DH=3a.因为AH2+DH2=AD2，所以a2+（3a）2=92，所以a=（负值舍去）.所以AH=，DH=.所以AC=2A
17、H=.因为SADC=ACDH=ADCG，所以=9CG，解得CG=.所以=.因为AC=，CG=，AGC=90，所以AG= =.由知DEACFG，所以=.又=，AE=1，所以GF=.所以AF=AGGF=-=.所以BF=.跟踪训练1. 如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别为边BC，CD上的点，且满足EAF=45，AE，AF分别与对角线BD交于点M，N，AHEF于点H，下列说法：AH=a；CEF的周长是2a；若BE=2，DF=3，则a=6；ABMNEM；ANNE.其中正确的是（）A. B. C. D. 第1题图（共享鲁中考第46期1-4版）2.（2021淄博）如图，在正方形ABCD的边BC上任取
18、一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图所示，求证：AEBF；（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图所示，求AFQ的度数；（3）直线l继续向下平移，点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图所示设AB2，BFx，DGy，求y与x之间的关系式 第2题图参考答案专题二 三角形、四边形中的重要模型1. A2.（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，BBAD90因为DEAF，所以APD90所以PAD+ADE90，PAD+BAF90所以ADEBAF所
19、以DAEABF所以AEBF（2）解：如图，连接AQ，CQ因为四边形ABCD是正方形，所以BABC，ABQCBQ45又BQBQ，所以ABQCBQ所以QAQC，BAQBCQ因为EQ垂直平分线段AF，所以QAQF所以QFQC所以QFCQCF所以QFCBAQ因为QFC+BFQ180，所以BAQ+BFQ180所以AQF+ABF180因为ABF90，所以AQF90所以AFQFAQ45 第2题图（3）解：如图，过点E作ETCD于点T，则四边形BCTE是矩形所以ETBC，BETAET90因为四边形ABCD是正方形，所以ABBCET，ABC90因为AFEG，所以APE90因为AEP+BAF90，AEP+TEG90所以BAFTEG又ABFETG，ABET，所以ABFETG所以BFTGx因为ADBC，BEDG，所以PBFPDA，PBEPDG所以所以，即BECTxy因为GTCGCT，所以x2yxy所以y（0x2）10
