1、四川省 2017 级高三大数据精准教学第一次统一监测 文科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 019Axx ，1,2,6,10B ，则AB （ ） A. 1,2 B. 2,6 C. 1,2,6 D. 2,6,10 【答案】B 【分析】 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可. 【详解】解：由题意知， 019110Axxxx ， 而1,2,6,10B ， 2,6AB . 故选：B. 【点睛】本题考
2、查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键. 2.若复数z满足i2iz ，则z （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】D 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i2iz ， 2 221 2 1 2 1 i iii zi ii ， 2 2 1 2i125z ， 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 3.已知0a且1a ，函数 1 log,0 31,0 a x xa x f x x ，若 3f a ，则fa（ ） A. 2 B. 2 3 C. 2 3 D. 8 9 【答案】
3、C 【分析】 根 据 分 段 函 数 的 解 析 式 ， 知 当0x时 ， 1 31, x f x 且 3f x ， 由 于 3f a ， 则 l o g3 a faaa，即可求出a. 【详解】由题意知： 当0x时， 1 31, x f x 且 3f x 由于 3f a ，则可知：0a， 则 log3 a f aaa， 2a，则2a ， 则 1 2 231 3 faf . 即 2 3 fa . 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量. 4.已知向量3,1a ， 3, 1b ，则a与b的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【分析
4、】 由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果. 【详解】解：由题意得，设a与b的夹角为， 3 11 cos 2 22 a b a b ， 由于向量夹角范围为：0， 3 . 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围. 5.函数 cos 22 xx x f x 的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 根据函数解析式，可知 f x的定义域为xR，通过定义法判断函数的奇偶性，得出 fxf x，则 f x为偶函数，可排除 ,C D选项，观察,A B选项的图象，可知代入 0x，解得 00f，排除B选项， 即可得出答案.
5、 【详解】解：因为 cos 22 xx x f x ， 所以 f x的定义域为xR， 则 coscos 2222 xxxx xx fxf x ， f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除,C D选项， 且当0x时， 1 00 2 f，排除B选项，所以A正确. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除. 6.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的焦距是虚轴长的 2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 3 3 yx B. 3yx C. 1 2 yx D. 2yx 【答案】A 【分析】 根据双曲线的焦距是虚轴长的 2 倍，可得出2cb，
6、结合 2222 4cbab，得出 22 3ab=，即可求出双 曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 可知，焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线方程为： b yx a ， 由于焦距是虚轴长的 2倍，可得：2cb， 2222 4cbab， 即： 22 3ab=， 3 3 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为： 3 3 yx . 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 7.“ 4 sin2 5 ”是“tan2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析
7、】 直接利用二倍角的正弦公式换化简 22 2sincos4 sin2 sincos5 ，再利用齐次式进行弦切互化，得出 2 2tan4 tan15 ，即可求出tan，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】解： 22 42sincos4 sin2 5sincos5 ， 则 2 2tan4 tan2 tan15 或 1 2 ， 所以“ 4 sin2 5 ”是“tan2”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式 进行弦切互化. 8.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身
8、.古希腊数 学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组 2 个，另一组 3个，则 6 和 28不在同一组 的概率为（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 【答案】C 【分析】 先求出五个“完全数”随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个的基本事件总数为 2 5 10C ，再求出 6 和 28 恰 好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出 6和 28 不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分两组，一组 2 个，
9、另一组 3个， 则基本事件总数为 2 5 10C ， 则 6和 28 恰好在同一组包含的基本事件个数 21 23 4CC， 6和 28 不在同一组的概率 1043 105 P . 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 9.曲线 3 1 2ln 3 yxx上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 3 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ，即可得出答案. 【详解】解：由于 3 1 2ln 3 yxx，根据导数的几何意义得： 222 3 2111 1 330kfxxxxx xxxx
10、 x ， 即切线斜率3k ， 当且仅当1x 等号成立， 所以 3 1 2ln 3 yxx上任意一点处的切线斜率的最小值为 3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 10.正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAB，D是BC的中点，则异面直线AD与 1 AC所成的角为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 取 11 BC中点E，连接 1 AE，CE，根据正棱柱的结构性质，得出 1 AE/AD，则 1 CAE即为异面直线AD 与 1 AC所成角，求出 1 1 tan CE CAE AE ，即可得出结果. 【
11、详解】解：如图，取 11 BC中点E，连接 1 AE，CE， 由于正三棱柱 111 ABCABC，则 1 BB 底面 111 ABC， 而 1 AE 底面 111 ABC，所以 11 BBAE， 由正三棱柱的性质可知， 111 A B C 为等边三角形， 所以 111 AEBC，且 111 AEBCE, 所以 1 AE 平面 11 BBCC， 而EC 平面 11 BBCC，则 1 AE EC， 则 1 AE/AD， 1 90AEC， 1 CAE即为异面直线AD与 1 AC所成角， 设2AB ，则 1 2 2AA ， 1 3AE ，3CE ， 则 1 1 3 tan3 3 CE CAE AE ，
12、 1 3 CAE. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力. 11.已知直线l：320xy与圆O： 22 4xy交于A，B两点，与l平行的直线 1 l与圆O交于M， N两点，且OAB与OMN的面积相等，给出下列直线 1 l： 32 30xy，320xy， 320xy，32 30xy.其中满足条件的所有直线 1 l的编号有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 求出圆心O到直线l的距离为： 1 1 2 dr ，得出120AOB，根据条件得出O到直线 1 l的距离1d或 3时满足条件，即可得出答案. 【详解】解：由已知可得：圆O： 22 4xy的圆心为（
13、0,0） ，半径为 2， 则圆心O到直线l的距离为： 1 1 2 dr ， 120AOB， 而 1 / /ll，OAB与OMN的面积相等， 120MON或60， 即O到直线 1 l的距离1d或 3时满足条件， 根据点到直线距离可知，满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 12.已知函数 sin0 6 f xAxaaA 在区间 7 0, 3 有三个零点 1 x， 2 x， 3 x，且 123 xxx，若 123 5 2 3 xxx ，则 f x的最小正周期为（ ） A. 2 B. 2 3 C. D. 4 3 【答案】C 【分析】 根据题意， 知
14、当 7 3 x 时， 5 62 x， 由对称轴的性质可知 12 2 3 xx 和 23 8 3 xx ， 即可求出w， 即可求出 f x的最小正周期. 【详解】解：由于 sin0 6 f xAxaaA 在区间 7 0, 3 有三个零点 1 x， 2 x， 3 x， 当 7 3 x 时， 5 62 x， 由对称轴可知 1 x， 2 x满足 12 2 662 xx， 即 12 2 3 xx . 同理 2 x， 3 x满足 23 3 2 662 xx，即 23 8 3 xx ， 123 105 2 33 xxx ，2， 所以最小正周期： 2 2 T . 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正
15、周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为 2，则该圆柱的底面半径为 _. 【答案】3 【分析】 由圆柱外接球的性质，即可求得结果. 【详解】解：由于圆柱的高和球半径均为 2，,则球心到圆柱底面的距离为 1， 设圆柱底面半径为r，由已知有 222 12r ， 3r ， 即圆柱的底面半径为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题. 14.已知x，y满足约束条件 0, 1, 22,
16、x xy xy 则z xy 的最大值为_. 【答案】1 【分析】 先画出约束条件的可行域， 根据平移法判断出最优点， 代入目标函数的解析式， 易可得到目标函数z xy 的最大值 【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 由于z xy ，则y xz ， 要求z xy 的最大值，则求y xz 的截距z的最小值， 显然当平行直线过点()1,0A时， z取得最大值为： 1 01z . 故答案为：1 【点睛】本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值. 15.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，2a ， 3 sin 3 A ，6b，则ABC的 面积为_. 【答案】 2 【分析】
17、根据题意，利用余弦定理求得2c ，再运用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】解：由于 2a ， 3 sin 3 A ，6b， ab，AB， 6 cos 3 A， 由余弦定理得 222 6 32 bca bc ，解得2c ， ABC的面积 13 262 23 S . 故答案为： 2. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力. 16.已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线交椭圆C于A，B两 点，若 2 90ABF，且 2 ABF的三边长 2 BF，AB， 2 AF成等差数列，则C的离心率为_. 【答案】 2
18、 2 【分析】 设 2 BFx，ABxd， 2 2AFxd，根据勾股定理得出3xd，而由椭圆的定义得出 2 ABF的 周长为4a，有3ad，便可求出a和c的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：由已知， 2 ABF的三边长 2 BF，AB， 2 AF成等差数列， 设 2 BFx，ABxd， 2 2AFxd， 而 2 90ABF，根据勾股定理有： 22 2 2xxdxd， 解得：3xd， 由椭圆定义知： 2 ABF的周长为4a，有3ad， 21 BFaBF， 在直角 21 BF F中，由勾股定理， 22 24ac，即： 2 2 1 2 c a ， 离心率 2 2 2 2 c e a . 故答
19、案为： 2 2 . 【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力. 三、三、解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知数列 n a的各项均为正数，且满足 22 120 nn anann. （1）求 1 a， 2 a及 n a的通项公式； （2）求数列2 n a 的前n项和 n S. 【答案】 （1） 1 3a ； 2 5a .21 n
20、 an； （2） 8 41 3 n n S 【分析】 （1）根据题意，知0 n a ，且 22 120 nn anann，令1n 和2n即可求出 1 a， 2 a，以及运用 递推关系求出 n a的通项公式； （2）通过定义法证明出 n b是首项为 8，公比为 4 的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可求得 2 n a 的前n项和 n S. 【详解】解： （1）由题可知，0 n a ，且 22 120 nn anann， 当1n 时， 2 11 230aa，则 1 3a ， 当2n时， 2 22 3100aa， 2 5a ， 由已知可得210 nn anan ，且0 n a ， n a的通
21、项公式：21 n an. （2）设2 n a n b ，则 21 2 n n b ， 所以 21 2 21 1 2 24 2 n n n n b b ， 3 1 28b ， 得 n b是首项为 8，公比为 4的等比数列， 所以数列 n b的前n项和 n S为： 12nn Sbbb， 即 3521 8 1 4 8 22241 1 43 n nn n S ， 所以数列2 n a 的前n项和： 8 41 3 n n S . 【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，考查计算能力. 18.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表
22、有小米公司 的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某 经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度， 从某地区随机抽取了 100 名购买“小爱同学” 和 100 名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下： “小爱同学”智能音箱 “天猫精灵”智能音箱 合计 男 45 60 105 女 55 40 95 合计 100 100 200 （1）若该地区共有 13000人购买了“小爱同学”，有 12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同 学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？ （2）根据列联表，能否有 95%的把握认为购
23、买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1）多 2350人； （2）有 95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关. 【分析】 （1）根据题意，知 100 人中购买“小爱同学”的女性有 55 人，购买“天猫精灵”的女性有 40 人，即可估计该 地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案； （2）根据列联表和给出的公式，求出 2 K
24、 ，与临界值比较，即可得出结论. 【详解】解： （1）由题可知，100 人中购买“小爱同学”的女性有 55 人，购买“天猫精灵”的女性有 40 人， 由于地区共有 13000 人购买了“小爱同学”，有 12000 人购买了“天猫精灵”， 估计购买“小爱同学”的女性有 13000 557150 100 人. 估计购买“天猫精灵”的女性有12000404800 100 人. 则7150 48002350， 估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多 2350人. （2）由题可知， 2 2 20045 4060 55 4.5113.841 105 95 100 100 K ， 有 9
25、5%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力. 19.如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，3AB ，2AD ， PAD 为正三角形，且平 面PAD 平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点. （1）证明：/ /EF平面PAD； （2）求几何体ABCDEF的体积. 【答案】 （1）见解析； （2） 5 4 【分析】 （1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出/EFBC，根据矩形的性质得出/ /ADBC，所以 /EFAD，再利用线面平行的判定定理即可证出/ /EF平面PAD； （2）由于平面PAD 平
26、面ABCD，根据面面垂直的性质，得出PO平面ABCD，从而得出E到平面 ABCD的距离为 3 2 ，结合棱锥的体积公式，即可求得结果. 【详解】解： （1）E，F分别为PC，PB的中点， /EFBC， 四边形ABCD是矩形，/ /ADBC，/EFAD， AD 平面PAD，EF 平面PAD， / /EF平面PAD. （2）取AD，BC的中点O，M，连接PO，OE，OM，ME，则POAD， 由于ABFOME为三棱柱，E OMCD为四棱锥， 平面PAD 平面ABCD，PO平面ABCD， 由已知可求得3PO ， E到平面ABCD的距离为 13 22 hPO， 因为四边形ABCD是矩形，3AB ，2AD
27、 ， 1 =323 2 ABMOOMCD SS 四边形四边形 ， 设几何体ABCDEF的体积为V， 则 ABF OMEE OMCD VVV 三棱柱四棱锥 ， 11 23 ABMOOMCD VShSh 四边形四边形 ， 即： 13135 33 22324 V . 【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力. 20.在平面直角坐标系xOy中，直线10ykxk与抛物线C： 2 40xpy p交于A，B两点，且 当1k 时，8AB . （1）求p的值； （2）设线段AB的中点为M，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N，证明：/ /MNy轴. 【答案】 （
28、1）1； （2）见解析 【分析】 （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，联立直线和抛物线方程，得 2 440xpxp ，写出韦达定理，根据弦长公 式，即可求出1p ； （2） 由 2 1 4 yx， 得 1 2 yx ， 根据导数的几何意义， 求出抛物线在点A点处切线方程， 进而求出 NM xx， 即可证出/ /MNy轴. 【详解】解： （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 将直线l代入C中整理得： 2 440xpxp ， 12 4xxp ， 12 4x xp ， 2 2 121 2 24216168ABxxx xpp ， 解得：1p . （2）同（1）假设 11
29、 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 1 4 yx，得 1 2 yx ， 从而抛物线在点A点处的切线方程为 2 111 11 42 yxxxx， 即 2 11 11 24 yx xx， 令1y ，得 2 1 1 4 2 N x x x ， 由（1）知 12 4x x ，从而 2 11212 1 22 NM xx xxx xx x ， 这表明/ /MNy轴. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线 方程，考查转化思想和计算能力. 21.已知函数 1 exf xxa ，aR. （1）讨论 f x的单调性； （2）当1a 时，证明： l
30、n1f xaaa. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）求导得 1exfxa ，分类讨论0a 和0a，利用导数研究含参数的函数单调性； （2）根据（1）中求得 f x的单调性，得出 f x在lnxa处取得最大值为 1 lnln1ln1faaaaa a ，构造函数 ln1lng aaaaaa ，利用导数，推出 11g ag，即可证明不等式. 【详解】解： （1）由于 1 e x f xxa ，得 1exfxa ， 当0a 时， 0fx ，此时 f x在R上递增； 当0a时，由 0fx ，解得lnxa， 若, lnxa ，则 0fx ， 若ln ,xa ， 0fx ， 此时 f
31、 x在, lna 递增，在ln , a上递减. （2）由（1）知 f x在lnxa处取得最大值为： 1 lnln1ln1faaaaa a ， 设 ln1lng aaaaaa ，则 1 1lng aa a ， 令 1 1lnh aa a ，则 2 11 0h a aa ， 则 h a在1,单调递减， 10h ah， 即 0g a ，则 g a在1,单调递减 11g ag， lnln1faaaa， ln1f xaaa. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式， 考查转化思想和计算能力. 22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 3 ,0, 2
32、2sin 6 1,. 2 （1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线C与曲线 1 sin 2 交于A，B两点，求AB. 【答案】 （1） 13 42 ； （2）3 【分析】 （1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是 一个半径为 1的 1 4 圆周及一个两直角边分别为 1 与3的直角三角形，即可求出面积； （2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB. 【详解】解： （1）由于C的极坐标方程为 3 ,0, 2 2sin 6 1,. 2 ， 根据互化公式得，曲线C直角坐标方程为： 当03x时，330xy， 当10x 时，
33、 22 1xy， 则曲线C与极轴所在直线围成的图形， 是一个半径为 1 的 1 4 圆周及一个两直角边分别为 1与3的直角三角形， 围成图形的面积 13 42 S . （2）由 1 1 sin 2 得 5 1, 6 A ，其直角坐标为 3 , 22 1 ， 1 sin 2 化直角坐标方程为 1 2 y ， 3 2sin 6 化直角坐标方程为33xy， 3 1 , 22 B ， 33 3 22 AB . 【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算 能力. 23.设x，y，zR ，2z xym. （1）若 222 23xyz的最小值为 4，求m的值
34、； （2）若 222 1 41 2 xyz，证明：1m或m1. 【答案】 （1）2； （2）见解析 【分析】 （1） 将 222 23xyz化简为 2222 2xzyz ， 再利用基本不等式即可求出最小值为 4， 便可得出m 的值； （2）根据 22 2abab，即 2 22 2 abab，得出 2 2222 111 42 222 xyzxyz，利用基 本不等式求出最值，便可得出m的取值范围. 【详解】解： （1）由题可知，x，y，zR，2z xym 2222222 2322424xyzxzyzxzyzm， 2m. （2） 22 2abab， 2 22 2 abab， 2 2222 1111 42221 2222 xyzxyzxy z， 1m ，即：1m或m1. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.
