1、 1 二次二次函数函数导学案导学案 26. .1. .1 二次函数（第一课时）二次函数（第一课时） 一预习检测案一预习检测案 一般地，形如_的函数，叫做二次函数。其中 x 是_， a 是_，b 是_，c 是_ 二合作探究案：二合作探究案： 问题 1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为 x,表面积为 y,写出 y 与 x 的关系。 问题 2: n 边形的对角线数 d 与边数 n 之间有怎样的关系? 提示：多边形有 n 条边，则有几个顶点？从一个顶点出发，可以连几条对角线？ 问题 3: 某工厂一种产品现在的年产量是 20 件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的 产量增加 x
2、 倍,那么两年后这种产品的数量 y 将随计划所定的 x 的值而定,y 与 x 之间的关系怎样 表示? 问题 4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。 问题 5：什么是二次函数？ 形如 。 问题 6：函数 yax bxc，当 a、b、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 例 1: 关于 x 的函数 mm xmy 2 )1( 是二次函数, 求 m 的值. 注意注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 三达标测评案：三达标测评案： 1下列函数中,哪些是二次函数? (1)y3x1 ; (
3、2)y3x 22; (3)y3x32x2; (4)y2x22x1; (5)yx2x(1x); (6)y x 2x. 2.若函数 y(a1)x 22xa21 是二次函数,则( ) A.a1 B.a1 C.a1 D.a1 3.一定条件下,若物体运动的路段 s(米)与时间 t(秒)之间的关系为 s5t 22t,则当 t4 秒时, 该物体所经过的路程为 A.28 米 B.48 米 C.68 米 D.88 米 4.一个长方形的长是宽的 2 倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式. 5一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积与半径之间的关系式。 6、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比
4、赛的场数 m 与球队数 n 之间的关系 式。 7、已知二次函数 yx pxq,当 x1 时,函数值为 4,当 x2 时,函数值为 5, 求这个二次函 数的解析式. 26. .1. .2 二次函数二次函数 yax 2的图象与性质（第二课时） 的图象与性质（第二课时） 一预习检测案：一预习检测案： 画二次函数 yx 2的图象 【提示：画图象的一般步骤：列表；描点；连线（用平滑曲线） 】 由图象可得二次函数 yx 2的性质： 1二次函数 yx 2是一条曲线，把这条曲线叫做_ x 3 2 1 0 1 2 3 yx 2 2 2二次函数 yx 2中，二次函数 a_，抛物线 yx2的图象开口_ 3自变量 x
5、 的取值范围是_ 4观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数 y 值相等，所描出的各对应点关于_对称， 从而图象关于_对称 5抛物线 yx 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线 yx2的_ 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_ 6抛物线 yx 2有_点（填“最高”或“最低” ） 二合作探究案：二合作探究案： 例 1 在同一直角坐标系中，画出函数 y1 2 x 2，yx2，y2x2的图象 yx 2的图象刚画过，再把它画出来 归纳：抛物线 y1 2 x 2，yx2，y2x2的二次项系数 a_0；顶点都是_； 对称轴是_；顶点是抛物线的最_点（填“高”或“低” ） 例 2 请在同一直角坐标
6、系中画出函数 yx 2，y1 2 x 2， y2x2的图象 归纳：抛物线 yx 2，y1 2 x 2， y2x2 的二次项系数 a_0，顶点都是_， 对称轴是 _，顶点是抛物线的最_点（填“高”或“低” ） 总结：总结：抛物线 yax 2的性质 1抛物线 yx 2与 yx2关于_对称，因此，抛物线 yax2与 yax2关于_ 对称，开口大小_ 2当 a0 时，a 越大，抛物线的开口越_； 当 a0 时，a 越大，抛物线的开口越_； 因此，a 越大，抛物线的开口越_，反之，a 越小，抛物线的开口越_ x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 2 x 2 x 2 1.5 1 0.5 0 0.5
7、 1 1.5 2 y2x 2 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 yx 2 y1 2 x 2 y2x 2 图象(草 图) 开口方 向 顶 点 对称 轴 有最高或最 低点 最值 a0 当 x_时,y 有最_值,是_. a0 当 x_时,y 有最_值,是_. 3 三达标测评案：三达标测评案： 1填表： 2若二次函数 yax 2的图象过点（1，2） ，则 a 的值是_ 3二次函数 y(m1)x 2的图象开口向下，则 m_ 4如图， yax 2 ybx 2 ycx 2 ydx 2 比较 a、b、c、d 的大小，用“”连接 _ 5函数 y3 7 x 2的图象开口向_，顶点是_，对称轴是_， 当 x_
8、时，有最_值是_ 6二次函数 ymx 2 2 m 有最低点，则 m_ 7二次函数 y(k1)x 2的图象如图所示，则 k 的取值 范围为_ 8写出一个过点（1，2）的函数表达式_ 26.1.3 二次函数二次函数 yax 2 k 的图象与性质的图象与性质( (第三课时第三课时) ) 一预习检测案：一预习检测案： 在同一直角坐标系中,画出二次函数 yx 21,yx21 的图象. 解:先列表描点并画图 1.观察图像得： 2.可以发现,把抛物线 yx 2向_平移_个单位, 就得到抛物线 yx 21;把抛物线 yx2向_平移_个单位,就得到抛物线 yx21. 3.抛物线 yx 2,yx21 与 yx21
9、 的形状_. 开口方向 顶点 对称轴 有最高或低点 最值 y2 3 x 2 当 x_时,y 有最_值,是_. y8x 2 x 3 2 1 0 1 2 3 yx 21 yx 21 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 最值 yx 2 yx 21 yx 21 4 二合作探究案：二合作探究案： 1. yax 2 yax 2k 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 最值 a0 时,当 x_时,y 有最_值为_; a0 时,当 x_时,y 有最_值为_. 增减性 2.抛物线 y2x 2向上平移 3 个单位,就得到抛物线_; 抛物线 y2x 2向下平移 4 个单位,就得到抛物线_. 因此,把抛物线 y
10、ax 2向上平移 k(k0)个单位,就得到抛物线_; 把抛物线 yax 2向下平移 m(m0)个单位,就得到抛物线_. 3.抛物线 y3x 2与 y3x21 是通过平移得到的,从而它们的形状_, 由此可得二次函数 yax 2与 yax2k 的形状_. 三达标测评案：三达标测评案： 1.填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减 性 y3x 2 y3x 21 y4x 25 2.将二次函数 y5x 23 向上平移 7 个单位后所得到的抛物线解析式为_. 3.写出一个顶点坐标为(0,3),开口方向与抛物线 yx 2方向相反,形状相同的抛物线解析式_. 4.抛物线 y1 3 x
11、22 可由抛物线 y1 3 x 23 向_平移_个单位得到的. 5.抛物线 y4x 21 与 y 轴的交点坐标为_,与 x 轴的交点坐标为_. 26. .1. .3 二次函数二次函数 ya( (xh) ) 2的图象与性质（第四课时） 的图象与性质（第四课时） 教学目标教学目标: :会画二次函数 ya(xh) 2的图象，掌握二次函数 ya(xh)2的性质,并要会灵活应 用。 一预习检测案：一预习检测案： 画出二次函数 y1 2 (x1) 2,y1 2 (x1) 2 的图象,并考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及 最值.增减性. x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 2 (x1) 2 y1
12、 2 (x1) 2 先列表:描点并画图. 请在图上把抛物线 y1 2 x 2也画上去(草图). 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y1 2 (x1) 2 y1 2 (x1) 2 5 抛物线 y1 2 (x1) 2 ,y1 2 x 2,y1 2 (x1) 2的形状大小_. 把抛物线 y1 2 x 2向左平移_个单位,就得到抛物线 y1 2 (x1) 2 ; 把抛物线 y1 2 x 2向右平移_个单位,就得到抛物线 y1 2 (x1) 2 . 总结知识点：总结知识点： 1. yax 2 yax 2k ya (xh) 2 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性(对称轴左 侧) 3.对于二次函
13、数的图象,只要a相等,则它们的形状_,只是_不同. 三达标测评案：三达标测评案： 1.抛物线 y4 (x2) 2与 y 轴的交点坐标是_,与 x 轴的交点坐标为_. 2.把抛物线 y3x 2向右平移 4 个单位后,得到的抛物线的表达式为_. 3.将抛物线 y1 3 (x1) 2向右平移 2 个单位后,得到的抛物线解析式为_. 4.抛物线 y2 (x3) 2的开口_;顶点坐标为_;对称轴是_; 当 x3 时,y_;当 x3 时,y 有_值是_. 26. .1. .3 二次函数二次函数 ya( (xh) ) 2 k 的图象与性质（第五课时）的图象与性质（第五课时） 一预习检测案：一预习检测案： 画
14、出函数 y1 2 (x1) 21 的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性. 列表 二合作探究案二合作探究案 2.把抛物线 y1 2 x 2 向_平移_个单位,再向_平移_个单位,就得到抛物线 y 函数关系式 图象(草图) 开口 方向 顶 点 对称 轴 最值 对称轴右侧的增 减性 y1 2 x 2 y5 (x3) 2 y3 (x3) 2 x 4 3 2 1 0 1 2 y1 2 (x1) 21 函数 开口 方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y1 2 (x1) 21 6 1 2 (x1) 21. 总结知识点：总结知识点： 1、填表（a0) 2.抛物线 ya (xh) 2k 与 yax
15、2形状_,位置_. 三达标测评案：达标测评案： 1、填表 2.y6x 23 与 y6 (x1)210_相同,而_不同. 3.顶点坐标为(2,3),开口方向和大小与抛物线 y1 2 x 2相同的解析式为( ) A.y1 2 (x2) 23 B.y1 2 (x2) 23 C.y1 2 (x2) 23 D.y1 2 (x2) 23 4.二次函数 y(x1) 22 的最小值为_. 5.将抛物线 y5(x1) 23 先向左平移 2 个单位,再向下平移 4 个单位后,得到抛物线解析式为 _ 。 6.若抛物线 yax 2k 的顶点在直线 y2 上,且 x1 时,y3,求 a.k 的值. 7.若抛物线 ya
16、(x1) 2k 上有一点 A(3,5),则点 A 关于对称轴对称点 A的坐标为 （ ） 。 8.将抛物线 y2 (x1) 23 向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,得抛物线表达式 _. 26. .1. .4 二次函数二次函数 yax 2 bxc 的图象与性质（第六课时）的图象与性质（第六课时） 一预习检测案：一预习检测案： 1. 画 二 次 函 数 y 1 2 x 2 6x 21 的 图 象 .( 解 :y 1 2 x 2 6x 21 配 成 顶 点 式 为 _.) yax 2 yax 2k ya (xh)2 ya (xh)2k 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性(对称轴右 侧)
17、性质 y3x 2 yx 21 y1 2 (x2) 2 y4 (x5) 23 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性(对称轴左 侧) x 3 4 5 6 7 8 9 y1 2 x 26x21 7 2.用配方法求抛物线 yax 2bxc(a0)的顶点与对称轴. 二课堂探究案：二课堂探究案：( (a0) ) yax 2 yax 2k ya(xh) 2 ya(xh) 2k yax 2bxc 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性(对称轴 左侧) 三三.知识点应用知识点应用 例 1 求 yx 22x3 与 x 轴交点坐标. 例 2 求抛物线 yx 22x3 与 y 轴交点坐标. 3.a.b.c 以及b
18、 24ac 对图象的影响. (1)a 决定:开口方向.形状 (2)c 决定与 y 轴的交点为(0,c) (3)a 与 b 2a 共同决定 b 的正负性 (4)b 24ac 轴没有交点与 轴有一个交点与 轴有两个交点与 x x x 0 0 0 例 3 如图,由图可得:a_0,b_0,c_0,_0 例 4 已知二次函数 yx 2kx9. 当 k 为何值时,对称轴为 y 轴； 当 k 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点； 当 k 为何值时,抛物线与 x 轴只有一个交点. 四达标测评案：四达标测评案： 1. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数 y1 2 x 221 的顶点坐标. 2.二次函数 y2x
19、2bxc 的顶点坐标是(1,2),则 b_,c_. 3.已知二次函数 y2x 28x6,当_时,y 随 x 的增大而增大;当 x_时,y 有 _值是_. 4.二次函数 yx 2mx 中,当 x3 时,函数值最大,求其最大值. 5.求抛物线 y2x 27x15 与 x 轴交点坐标_,与 y 轴的交点坐标为_. 6.抛物线 y4x 22xm 的顶点在 x 轴上,则 m_. 26. .1. .5 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时） 教学目标教学目标: :1.会用待定系数法求二次函数的解析式;2.实际问题中求二次函数解析式. 一预习检测案：一预习检测案
20、： 1.已知二次函数 yx 2xm 的图象过点(1,2),则 m 的值为_. 2.已知点 A(2,5),B(4,5)是抛物线 y4x 2bxc 上的两点,则这条抛物线的对称轴为 _. 3.将抛物线 y(x1) 23 先向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,则所得抛物线的解析 式为_. 4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线 y1 2 x 2 相同,顶点在(1,2),则抛物线的解析式为 _. 二合作探究案：二合作探究案： 例 1 已知抛物线经过点 A(1,0),B(4,5),C(0,3),求抛物线的解析式. 8 例2 已知抛物线顶点为(1,4),且又过点(2,3).求抛物线的解析式. 例
21、3 已知抛物线与 x 轴的两交点为(1,0)和(3,0),且过点(2,3).求抛物线的解析式. 归纳归纳: :用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 1.已知抛物线过三点,设一般式为 yax 2bxc. 2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式 ya(xh) 2k. 3.已知抛物线与 x 轴有两个交点(或已知抛物线与 x 轴交点的横坐标), 设两根式:ya(xx1)(xx2) .(其中 x1.x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标) 实际问题中求二次函数解析式：实际问题中求二次函数解析式： 例 4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷 出的抛物线形水柱在
22、与池中心的水平距离为 1m 处达到最高,高度为 3m,水柱落地处离池中心 3m,水管应多长？ 三达标检测案：三达标检测案： 1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(2,3),且图像过点(3,2),求这个二次函数的解 析式. 3.已知二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3), 求二次函数的顶点坐标. 4.如图,在ABC 中,B90,AB12mm,BC24mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度移动,动点 Q
23、 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动,如果 P.Q 分别从 A.B 同时出发,那么PBQ 的面积 S 随出发时间 t 如何变化？写出函数关系式及 t 的取值范围. 26. .2 用函数的观点看一元二次方程（第八课时用函数的观点看一元二次方程（第八课时） 教学教学目标目标: :1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程 ax 2bxc0 根的判 别式b 24ac 判断二次函数 yax2bxc 与 x 轴的公共点的个数. 一预习检测案：一预习检测案： 1.问题:如图,以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条 抛物线.
24、如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h 20t5t 2. 考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否达到 15m？如能,需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到 20m？如能,需要多少飞行时间？ (3)球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间？ Q P CB A 9 2.观察图象: (1)二次函数 yx 2x2 的图象与 x 轴有_个交点,则一元二次方程 x2x20 的根的判别 式_0; (2)二次函数 yx 26x9 的图像与 x 轴有_ _个交点,则一元二次方程 x26x90 的根的判 别式_0; (3)二次
25、函数 yx 2x1 的图象与 x 轴_公共点,则一元二次方程 x2x10 的根的判 别式_0. 二合作探究案：二合作探究案： 1.已知二次函数 yx 24x 的函数值为 3,求自变量 x 的值,可以看作解一元二次方程 _. 反之 ,解一元二次方程 x 2 4x 3 又可以看作已知二次函数 _的函数值为 3 的自变量 x 的值. 一般地:已知二次函数 yax 2bxc 的函数值为 m,求自变量 x 的值,可以看作解一元二次方程 ax 2bxcm.反之,解一元二次方程 ax2bxcm 又可以看作已知二次函数 yax2bxc 的值为 m 的自变量 x 的值. 2.二次函数 yax 2bxc 与 x
26、轴的位置关系:一元二次方程 ax2bxc0 的根的判别式 b 24ac. (1)当b 24ac0 时 抛物线 yax2bxc 与 x 轴有两个交点; (2)当b 24ac0 时 抛物线 yax2bxc 与 x 轴只有一个交点; (3)当b 24ac0 时 抛物线 yax2bxc 与 x 轴没有公共点. 八八. .课后训练课后训练 1.已知抛物线 yx 22kx9 的顶点在 x 轴上,则 k_. 2.已知抛物线 ykx 22x1 与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围_. 26. .3. . 实际问题与二次函数实际问题与二次函数1（第九课时（第九课时） 教学目标：教学目标： 几何问题中应用二次
27、函数的最值 一预习检测案：一预习检测案： 1抛物线 y(x1) 22 中，当 x_时，y 有_值是_ 2抛物线 y1 2 x 2x1 中，当 x_时，y 有_值是_ 3抛物线 yax 2bxc（a0）中，当 x_时，y 有_值是_ 二合作探究案：二合作探究案： （P22 的探究） 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多 少时，场地的面积 S 最大？ 三达标测评案：三达标测评案： 1已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面 积最大，最大值是多少？ 2从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）
28、与小球运动时间 t（单位：s） 之间的关系式是 h30t5t 2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是 多少？ 3如图，四边形的两条对角线 AC、BD 互相垂直，ACBD10，当 AC、BD 的长是多少 时，四边形 ABCD 的面积最大？ D C B A 10 4一块三角形废料如图所示，A30，C90，AB12用这块废料剪出一个长方形 CDEF，其中，点 D、E、F 分别在 AC、AB、BC 上要使剪出的长方形 CDEF 面积最大，点 E 应造在何处？ 5. 如图，点 E、F、G、H 分别位于正方形 ABCD 的四条边上，四边形 EFGH 也是正方形当 点 E 位于何处时，正
29、方形 EFGH 的面积最小？ 26. .3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数2（第十课时）（第十课时） 一预习检测案：一预习检测案： 1.二次函数ya(xh) 2k的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标 是 . 2.二次函数 yax 2bxc 的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标 是 . 当 a0 时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 ； 当 a0 时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 。 3.二次函数 y2(x3) 25 的对称轴是 ,顶点坐标是 。当 x 时,y 的最 值是 。 4.二次函数 y2x 28x9 的对称轴是 ,顶点坐标是 .当 x 时,函数 有最
30、 值,是 。 三、合作探究案：三、合作探究案： 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ 解： （1）设每件涨价 x 元，则每星期少卖_件，实际卖出_件，设商品的利润 为 y 元 （2）设每件降价 x 元，则每星期多卖_件，实际卖出_件 四、达标测评案：四、达标测评案： 1某种商品每件的进价为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出（100x
31、）件， 应如何定价才能使利润最大？ F E D CB A H G F E D C BA 11 2蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市时间 x（月 份）与市场售价 P（元/千克）的关系如下表： 上市时间 x/（月份） 1 2 3 4 5 6 市场售价 P（元/千 克） 10.5 9 7.5 6 4.5 3 这种蔬菜每千克的种植成本 y（元/千克）与上市时间 x（月份）满足一个函数关系，这 个函数的图象是抛物线的一段（如图） （1）写出上表中表示的市场售价 P（元/千克）关于上市时间 x（月份）的一次函数关 系式； （2）若图中抛物线过 A、B、C 三点，写出
32、抛物线对应的函数关系式； （3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益市场售价种植成本） 3. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住， 当每个房间的定价为每天200元时， 房间可以住满 当 每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对 每个房间每天支出 20 元的各种费用设每个房间每天的定价增加 x 元，求： （1）房间每天入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费 z（元）关于 x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少 元时，w 有最大值？最大值是多少？
