1、平面向量基本定理平面向量基本定理2023年1月31日星期二(0),.(a0,0b0a abbab 向量与 共线 当且仅当有唯一一个实数使若当时，不唯一；当时，不存在）一、课前准备：:共线向量定理共线向量定理复习1:12122:,3?e eee 复习给定平面内任意两个向量我们能否作出向量2向量的合向量的合成成（思考：为什么限定？）0a1223dee 1e2ed2023年1月31日星期二想一想？想一想？:二、新课导学 探究：探究：a与与,1e,2e的关系的关系1e2ea是这一平面内的任一向量是这一平面内的任一向量已知已知是同一平面内的两个是同一平面内的两个,1e,2e不共线向量，不共线向量，a如：
2、如：1 122:2?ee 问题 在复习 中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢2023年1月31日星期二学生活动：学生活动：1e2eaO OM MN NC CONOMOCOBOA21即即2211eea1e1e2e向量的分解向量的分解AB2023年1月31日星期二知识点一知识点一 平面向量基本定理平面向量基本定理存在性存在性唯一性唯一性,1e1.如果如果是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量2e,a使使一对实数一对实数,2,12211eea有且只有有且只有把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的
3、一组基底12,ee 2023年1月31日星期二?思考1 平面内用来表示一个向量的基底有多少组（有无数组）（有无数组）BAOMa1e2eOMaABxy1./2,ABCDABCDABCDDCBAADa ABba bDC BC EF 例 如图梯形中，E、F是，中点，试以为基底表示abABDCFE知识点二、向量的夹角与垂直知识点二、向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ，,则则abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：00180,0180 与与 反向反向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注
4、意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的0 与与 同向同向abOABab特别的：特别的：例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角；(2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C0120平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2G与与F1,F2有什么关系有什么关系?把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解正交分解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F
5、1F2G正交分解正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb向量a、b有什么关系?ab
6、能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiy jx y 向量的坐标与点的坐标关系O向量向量 P（x，y）一一 一一 对对 应应OP xiy j练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b (1,2)
7、A.xyoaxyo(1,2)B.b例例1.用基底用基底 i,j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4ABij12-2-1Oxyabcd 45323(2,3)ABij 23(2,3)bij 23(2,3)cij 23(2,3)dij 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：1122(,),(,),(,),ax ybxyab abax ya 问题:(1)已知 求 的坐标.(2)已知和实数求 的坐标.（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算：1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得
8、(2)(,)axiy jxiy jxy结论结论1 1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差.结论结论2 2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标.1212xxiyyj1212(,)xxyy 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)ABOBOA 结论结论3 3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。1122(,),(,)A
9、 x yB xy2,211()(,)x yx y2121(,)xx yy2(2,1),(3,4),34 abab abab 例例：已已知知求求的的坐坐标标.(2,1)(3,4)(1,5)ab 解解：(2,1)(3,4)(5,3)ab 3 4 3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab (6,19),)Dx y解：设顶点 的坐标为（)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDC1 23-,4)ABDCxy 有得：（，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例例3：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（-2，1）、
10、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.变式：变式：已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点，求点D的坐标使这四点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为解：当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2,2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=(6,0)D3(2,3),(3,5),ABBA 例4、1 已知求的坐标.(1,2),(2,1),ABAB 2
11、已知求 的坐标.解：BA 2,33,5 5,2.,解：设B x,y 1,2,2,1,ABx y 1221xy 即31xy.即B 3,-1随堂练习随堂练习1 a=4,6,a=2b,b 、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2)B(3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)B2a=x-2,3b=1,y+2 、若若向向量量与与向向量量相相等等，那那么么A A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B3AB=x,y,B -2,1
12、,OA 、已已知知的的坐坐 是是那那么么的的标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C4a=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131 A-a+b Ba-b Ca-b D-a+b22222222、若若向向量量那那么么等等于于、B5a=3,-1,b=-1,2,-3a-2b A7,1 B-7-1 C-7,1 D7-1 、已已知知那那么么等等于于、，、，B6B m,n,AB 、已已知知 的的坐坐是是标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j
13、),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A小结小结平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯
14、一确定的数量。a=1 e1+2 e2小结小结课堂总结课堂总结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.1122(,),(,),ax ybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122(,),(,),A x yB xy(2)若2121(,)ABxx yy(,)axiy jx y4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思的思想想
