1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 6.2 图形的相似 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 相似与位似的有关概念 A组 2019年全国中考题组 1.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=8,AB=6,则 = ( ) A.2 B. C.3 D. BC B C 4 3 16 9 答案答案 B 由相似三角形的性质可得 = = = ,故选B. BC B C AB A B 8 6 4 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 C ABO
2、CDO, = . OB=6,OD=3,CD=2, = ,AB=4,故选C. AB CD OB OD 2 AB6 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于 点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC. = = . EF=EG,DN=DC. D
3、NCA, = , = , 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x. tanBAC= = =2, EG DN AE AD EF CD DN AC BD BC6 DC12 12 DC BC AC 12 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AM= x, EGAC, EGNAMN, = = =2. GN= x,MN= x, 易证AMNACD, = = = , CD=4. 1 2 GN MN EG AM 1 2 x x 2 3 1 3 CD AC MN AM 1 3 1 2 x x 2 3 解题关键解题关键 作平行线
4、,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林长春,22,9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容. 例2 如图23.4.4,在ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证: = = . 图23.4.4 GE CE GD AD 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明:连接ED. 请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程. 结论应用: 在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F. (1)如图,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则O
5、F的长为 ; (2)如图,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为 ,则平行四边形ABCD的面积为 . 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 证明:D、E分别是BC、AB的中点, DEAC,DE= AC,DEGACG, = = =2, = =3, = = . (1) . 详解:易证BEFDAF,相似比为12, 易得BF= BD,又BO= BD,OF= BD- BD= BD. 易求BD=6 ,OF= . (2)6. 详解:连接OE, 由(1)知BF= BD,OF= BD, =2, 1 2 CG GE AG GD AC DE CGGE GE AGGD GD GE CE GD AD
6、 1 3 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 6 22 1 3 1 6 BF OF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BEF的边BF上的高和OEF的边OF上的高相同, BEF和OEF的面积比= =2, 同理,CEG和OEG的面积比为2. CEG的面积+BEF的面积=2(OEG的面积+OEF的面积)=2 =1, BOC的面积= ,SABCD=4 =6. BF OF 1 2 3 2 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,AB=BC,BAD=90,AC交BD于点E,ABD=30, AD= ,求线段AC和DE的长. 3 1
7、: ()() abab abababab 注 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 在RtABD中, BAD=90,ABD=30,AD= , tanABD= ,即 = ,AB=3. ADBC,BAD+ABC=180, ABC=90. 在RtABC中,AB=BC=3,AC= =3 . (4分) ADBC,ADECBE, = , = . 设DE= x,则BE=3x,BD=DE+BE=( +3)x, = . 在RtABD中,ABD=30,BD=2AD=2 . DE=2 ,DE=3- . (8分) 3 AD AB 3 3 3 AB 22 ABBC2 DE BE AD CB DE BE 3 3 33
8、 DE BD 3 33 3 3 3 33 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019湖北武汉,23,10分)在RtABC中,ABC=90, =n,M是BC边上一点,连接AM. (1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN; (2)过点B作BPAM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q. 如图2,若n=1,求证: = ; 如图3,若M是BC的中点,直接写出tanBPQ的值(用含n的式子表示). AB BC CP PQ BM BQ 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:延长AM交CN于点H, AM与CN垂直,ABC=90, BAM+N=90
9、,BCN+N=90, BAM=BCN. n=1,ABC=90, AB=BC,ABC=CBN. ABMCBN, BM=BN. (2)证明:过点C作CDBP交AB的延长线于点D, 则AM与CD垂直. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 由(1)得BM=BD. CDBP, = ,即 = . tanBPQ= . 详解:过点C作CKBP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E, 设BC=a, PBCK,QPB=QCK,AECK, tanBPQ=tanQCK= = = . CP PQ DB BQ CP PQ BM BQ 1 n PE CE PE PB 2PM PB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PMBB
10、MA, = = = . tanBPQ= . PM PB BM AB 2 a na 1 2n 1 n 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 相似与位似的有关概念 B组 20152018年全国中考题组 1.(2018重庆A卷,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 答案答案 C 设所求最长边为x cm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等式 = ,解得x=4.5,故选C. 5 2.5 9 x
11、 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点, 连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. = AD AB AE EC AG GF AE BD BD AD CE AE AG AF AC EC 答案答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C. AD AB AE AC AG GF AE EC BD AD CE AE AG AF AE AC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3
12、.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( ) A.49 B.25 C.23 D. 23 答案答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A. AB A B OA OA 2 3 ABCD A B C D S S 四边形 四边形 2 AB A B 4 9 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0), C(4,-4). (1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得
13、到的A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的 ,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A2C2B2的 正弦值. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图,A1B1C1为所求作三角形. (3分) (2)如图,A2B2C2为所求作三角形. 根据勾股定理得:A2C2= = , sinA2C2B2= = . (8分) 22 1310 1 10 10 10 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于
14、 点F,则BF的长为 ( ) A. B. C. D. 3 10 2 3 10 5 10 5 3 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 由题意得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE, ADEBFA,则 = ,即 = =3,设AF=x(x0),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2= AB2,即x2+(3x)2=22,解得x= (负值舍去),所以3x= ,即BF= .故选B. AD DE BF AF 3 1 BF AF 10 5 3 10 5 3 10 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018吉林,12,3
15、分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120 m,DC=60 m, EC=50 m,求得河宽AB= m. 答案答案 100 解析解析 易知ABDECD, = ,又BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,AB=100 m. BD CD AB EC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且EF与AB相交于点E,与AC相交 于点F,3AE=2EB,连接DF.若SAEF=1,则SADF的值为 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 5 2 解析解析 3AE=2EB, =
16、,又EFBC,AEFABC, = = ,SAEF=1,SABC= . 在ABCD中,SACD=SABC= ,SADF= SACD= . AE AB 2 5 AEF ABC S S 2 AE AB 4 25 25 4 25 4 2 5 5 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求 AE的长. 解析解析 BD平分ABC, ABD=CBD. ABCD,ABD=D,ABECDE. CBD=D, = .BC=CD. AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4. AB
17、CD AE EC 8 46 AE AE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸 岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆 BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线. 已知:CBAD,EDAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河 宽AB. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 CBAD,EDAD,ABC=ADE=90. BAC=DAE,AB
18、CADE, (3分) = . (5分) BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, = ,AB=17 m. 河宽AB为17 m. (7分) AB AD BC DE 8.5 AB AB 1 1.5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值. 2
19、5 5 3 5 AD AC 2 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t(t0),则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. PN AB PM AP 2 5 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 易得ABPCBA, AB2=BP BC,( t)2=BP (BP+4t), BP=t,BC=5t, tan
20、C= = . (3)tanCEB= . 详解:在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, 5 AB BC 5 5 3 14 BC AC 3 5 BC AB 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 = = , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n(m0,n0),GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在
21、RtCEH中,tanCEB= = . GH EG AC AD 5 2 BG CH AG BH AB BC 4 3 GH EG 43 4 mn m 5 2 CH EH 3 14 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 相似与位似的有关概念 C组 教师专用题组 1.(2019浙江杭州,6,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B,C 重合),连接AM交DE于点N,则 ( ) A. = B. = C. = D. = AD AN AN AE BD MN MN CE DN BM NE MC DN MC NE BM 答案答案 C DEBC,ADNABM,A
22、NEAMC, = , = , = ,故选C. AN AM DN BM AN AM NE MC DN BM NE MC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则 AC的长为 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 8 3 解析解析 EF是ODB的中位线, OE= OD= ,EFBD, ACBD,EFBD, ACEF, = , = ,AC= . 1 2 3 2 AC EF OC OE 2 AC2 3 2 8 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018安徽,17,8
23、分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格 线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1, B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)线段A1B1如图所示. (3分) (2)线段A2B1如图所示. (6分) (3)20. (8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是
24、正方形,边长为 =2 ,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的 面积为(2 )2=20(个平方单位). 22 425 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3). (1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1; (2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图所示. (3分) (2)如图所示. (6分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 相
25、似三角形的性质与判定 1.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积比 为 ( ) A. B. C. D. 1 3 1 4 1 5 1 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, = = , = , = , = . EF CF BE DC 1 2 BEF DCF S S 1 4 BEF BCF S S 1 2 BEF DCB S S 1 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017重庆A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为 ( ) A.32 B.3
26、5 C.94 D.49 答案答案 A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接 BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= . 7 答案答案 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA=120, HEC=60, CHAD,
27、CHE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH= x, 过点B作BGHE于G,则BG= x,EG= ,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDGCDH, = = = , BC= ,CD= ,又DH= GH= HE= ,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即 +( x)2= ,解 3 3 22 x BD CD BG CH DG DH 1 2 7 2 3 7 2 3 2 3 1 23 x 2 3 x 3 2 2 7 3 得x=1, DH= . 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EA
28、C交BC的 延长线于点F,在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是 , 则 的值是 . 1 3 1 12 1 tanACH 答案答案 8- 15 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM= AF, AMMF=12. 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 DEBF,AHMFCM, = = = , AH=1,SAHC=3SAHM= , 2GH= , GH= , 在RtAHG中,AG= = , GC=AC-AG=2-
29、 = , = =8- . AH CF HM MC AM MF 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 22 AHGH 15 4 15 4 815 4 1 tanACH GC GH 15 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则BD长为 . 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 2 41 解析解析 如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,CD=10,DA =5 ,AC2+CD2=AD2,ACD=90,ACB+DCE=9
30、0,ACB+BAC=90,BAC=DCE,又 ABC=DEC=90,ABCCED, = = ,即 = = ,CE=6,DE=8.在RtBED中,BD= = =2 . 5 AC CD AB CE BC DE 5 10 3 CE 4 DE 22 BEDE 22 (46)841 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2 h3. 2 1 h 栏
31、目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明证明 (1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三角形,ABC=45, 即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC. (4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC, = = = . 于是, = =2,即PA=2PC. (9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90,CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取 点D,使AD=CP. 又CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45,CAD=PBA, 又CBP+BCP=CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,
32、ADCCPB, ADC=CPB=135,CDP=45,PDC为等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP,PA=2PC. (9分) PA PB PB PC AB BC 2 PA PC PA PB PB PC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中, =tanPCR= tanCAP= = , = ,即h3=2h2.又PABPBC,且 = , = ,即h1= h2,于是 =h2 h3. (14 分) PR CR CP AP 1 2 2 3 h h 1 2 AB BC 2 1 2 h h
33、22 2 1 h 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合APB =BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利用(1)中 的相似得到 = = = ,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使得AD=CP, 然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问题解决;(3)h1,h2 分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1= h2.在RtCPR
34、 中,CR=h3, =tanPCR=tanCAP= = .易证 =h2 h3. PA PB PB PC AB BC 2 2 2 3 h h CP AP 1 2 2 1 h 难点突破难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCAP= ,结合APBBPC可证 =h2 h3. 1 2 2 1 h 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019辽宁大连,25,12分)阅读下面材料,完成(1)(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题: 如图1,ABC中,BAC=90,点D,E在BC上,AD=AB,AB=kBD ,ABC=ACB+BAE,EAC 的平分线与BC相交于点F,BGAF,垂足
35、为G,探究线段BG与AC的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现BAE与DAC相等.” 小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG与AC的数量关系.” 老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC相交于点H(如图2),可以求出 的值.” 2 1 2 k 其中 AH HC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (1)求证:BAE=DAC; (2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示),并证明; (3)直接写出 的值(用含k的代数式表示). AH HC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AB=AD, AB
36、D=ADB. ADB=DAC+ACB,ABC=BAE+ACB, BAE=DAC. (2)BG= AC. 证明:如图,延长AE到M,使AM=AC,连接BM,CM,延长AF交CM于点N, AB=AD,BAM=DAC,AM=AC, ABMADC. 1 2k 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AMB=ACD. BAE=DAC, EAC=BAD. AB=AD,AM=AC, ABD=ADB= (180-BAD),AMC=ACM= (180-EAC). ABD=ADB=AMC=ACM. BAC=90, ACB+ABD=90. BMC=AMB+AMC=ACB+ABD=90. AM=AC,AF平分MAC, ANM
37、C,MN=NC, BGAF, 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BGN=90=BMN=ANM. 四边形BMNG为矩形. MN=BG. ACM=ABD,AMC=ADB, ACMABD. = , AC= =kCM=2kBG,即BG= AC. (3) = . 详解:如图,过A作APBD交BD于P,设BP=DP=a(a0), AC AB CM BD AB CM BD 1 2k AH HC 2 1 42k 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AB=AD=2ka,AP= = a, 由题易知ABPCBA, = = = ,AC=2ka . AB=AD,BAP= BAD. BAE=DAC, BAE+E
38、AD=DAC+EAD, BAD=EAC, AF平分EAC, FAC= EAC,FAC= BAD=BAP. 22 ABBP 2 41k AP AC BP BA2 a ka 1 2k 2 41k 1 2 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BGAF,BGA=90, ABG+BAG=FAC+BAG=90, ABG=FAC=BAP,又APB=BAH=90, ABPBHA, = = = , AH= , = = . BP AH AP AB 2 41 2 ka ka 2 41 2 k k 2 2 41 ka k AH HC AH ACAH 2 1 42k 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2
39、015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作 CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC. (1)求证:AD=BC; (2)求证:AGDEGF; (3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求 的值. AD EF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:由题意知GE是AB的垂直平分线, GA=GB.同理GD=GC. 在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGC.AD=BC. (5分) (2)证明:AGD=BGC,AGB=DGC. 在AGB和DGC
40、中, = ,AGB=DGC, AGBDGC. (8分) = .则 = .又AGE=DGF, AGD=EGF,AGDEGF. (10分) (3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH. GA GD GB GC AG DG EG FG AG EG DG FG 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 图1 由AGDBGC,知GAD=GBC. 在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB, AGB=AHB=90, (12分) AGE= AGB=45, = . 又AGDEGF, = = . (14分) (本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略) 1 2 AG EG
41、2 AD EF AG EG 2 图2 图3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共15分) 45分钟 60分 1.(2019江西南昌一模,6)如图,将正方形ABCD放于平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-2,2),以原点O为位似 中心把正方形ABCD缩小得到正方形ABCD,使OAOA=12,则点D的对应点D的坐标是 ( ) A.(-8,8) B.(-8,8)或(8,-8) C.(-2,2) D.(-2,2)或(2,-2) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 正方形ABCD中,点A(-4,2),B(-2,2),点D的坐标是(-4,4).以原点O为
42、位似中心把正方形ABCD 缩小得到正方形ABCD,使OAOA=12,点D的对应点D的坐标是(-2,2)或(2,-2).故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林长春一模,6)如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子 (人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据回答,两层楼之间的高约为 ( ) A.5.5 m B.6.2 m C.11 m D.2.2 m 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 如图,作DEBC交FC于点E,易知ABCCED, = .设AB=x m,由图得DE=10-4=6(m), EC=(x-2
43、.2)m, = ,解得x=5.5,故选A. AB EC BC DE 2.2 x x 10 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018甘肃定西一模,8)已知两点A(5,6)、B(7,2),先将线段AB向左平移一个单位,再以原点O为位似中心,在 第一象限内将其缩小为原来的 后,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(3,3) 1 2 答案答案 A 线段AB向左平移了一个单位, A点平移后的对应点的坐标为(4,6), 点C的坐标为 ,即(2,3). 故选A. 11 4,6 22 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018黑龙江
44、哈尔滨模拟,8)如图,已知DEBC,EFAB,则下列比例式中错误的是 ( ) A. = B. = C. = D. = CG DG CF BF EG FG AD BD DE BC AD BD EF AB CG CD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C EFAB, = , = ,故A、D不符合题意;又由EFAB可得, = = , = ,故B不符合题意;DEBC, = ,故C符合题意.因此选C. CG DG CF BF EF AB CG CD EG AD FG BD CG CD EG FG AD BD DE BC AD AB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018天津南开一模,10
45、)如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,已知DEF的面积为S,则四边形ABCE的 面积为 ( ) A.8S B.9S C.10S D.11S 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, DEFBCF, SDEFSBCF= , 又E是AD的中点, DE= AD= BC, DEBC=DFBF=12, SDEFSBCF=14,又SDEF=S, SBCF=4S, 易知EFFC=12, SDCF=2S,SABCD=2(SDCF+SBCF)=12S, 2 DE BC 1 2 1 2 四边形ABCE的面积为12S-S-2S=9S.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分) 6.(2019黑龙江绥化一模,16)如图,ABC与ADB中,ABC=ADB=
