1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 5.2 与圆有关的位置关系 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 (2019广东广州,5,3分)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线的条数为 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 A组 2019年全国中考题组 答案答案 C 点P到点O的距离为2,O的半径为1,点P到圆心的距离大于半径,点P在O外.过圆外 一点可以作圆的两条切线,过点P可以作O的两条切线.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 切线的判定与性质 1.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC
2、是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若C= 50,则AOD的度数为 ( ) A.40 B.50 C.80 D.100 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C AC是O的切线,AB是O的直径,ABAC,CAB=90. C=50,B=180-90-50=40. AOD=2B=240=80,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案答案 2 6 解析解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB
3、=90,ABC=CBD,CABDCB, = , 即 = ,BC= =2 . BD BC BC AB 6 BC4 BC 4 66 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019新疆,22,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CEAB于点E. (1)求证:BCE=BCD; (2)若AD=10,CE=2BE,求O的半径. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:连接OC,AC, AB是直径,ACB=90, ACO+OCB=90, 又CD是O的切线,OCD=90, OCB+BCD=90. ACO=BCD. (2分) CEAB,CEB=90,BCE+A
4、BC=90, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 A+ABC=90,BCE=A. OA=OC,A=ACO=BCD. BCE=BCD. (5分) (2)作BFCD于点F,得BFDCED, 由(1)得BF=BE. CE=2BE, = = = , 即CD=2BD. (7分) BCD=A,CDB=ADC,CBDACD, = . AD=10,BD= ,AB= ,OA= . O的半径为 . (10分) BD CD BF CE BE CE 1 2 BD CD CD AD 5 2 15 2 15 4 15 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)根据AB是直径,得ACB=OCB+ACO=90,
5、由切线的性质得出OCCD,即OCD= OCB+BCD=90,由CEAB得BCE+ABC=90,从而得A=BCE.根据等腰三角形的性质得A= ACO=BCD,即可证得BCE=BCD.(2)作BFCD于点F,得BFDCED,由CE=2BE,以及CBD ACD,得出 = ,即可求得半径. BD CD CD AD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019陕西,23,8分)如图,AC是O的直径,AB是O的一条弦,AP是O的切线.作BM=AB,并与AP交于点M, 延长MB交AC于点E,交O于点D,连接AD. (1)求证:AB=BE; (2)若O的半径R=5,AB=6,求AD的长. 栏目引栏目引 栏目
6、索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AP是O的切线, EAM=90, BAE+MAB=90,AEB+AMB=90. (1分) 又AB=BM, MAB=AMB, BAE=AEB, AB=BE. (3分) (2)连接BC. AC是O的直径, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 ABC=90. 在RtABC中,AC=10,AB=6, BC=8. (5分) 由(1)知,BAE=AEB, ABCEAM. C=AME, = , 即 = . AM= . 又D=C, D=AMD. AD=AM= . (8分) AC EM BC AM 10 12 8 AM 48 5 48 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析
7、思路分析 (1)根据切线的性质得出MAE=90,然后利用等腰三角形和直角三角形的性质得出结论;(2)首 先判断ABCEAM,得出C=AME,利用比例关系求出AM的长,最后证明AD=AM即可得解. 解后反思解后反思 在圆中计算线段长度时往往利用相似三角形列比例式求解.圆的综合题中往往会涉及切线、圆 周角定理及其推论,因此找出与要求线段有关的相似三角形尤为重要. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切线与CD的延长线相 交于点P,且APC=BCP. (1)求证:BAC=2ACD; (2)过图1中的点D作DEA
8、C,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求O的半径. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90, PA是O的切线, PAAC, PAC=90, APC=90-ACD, BCD=APC, BCD=90-ACD, ACB=BCD-ACD=90-2ACD, BAC=90-ACB=90-(90-2ACD)=2ACD. (2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AOD=2ACD,BAC=2ACD, AOD=BAC, DFAB, DFC=ABC=90,DFBC, BF=FC=3, DEAC, DEO=DFC=90, DO
9、E=COF,OD=OC, DOECOF, DE=FC=3, 在RtDOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2, 解得OD= ,即O的半径为 . 13 4 13 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 三角形的内切圆 1.(2019云南,13,4分)如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA= 12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 ( ) A.4 B.6.25 C.7.5 D.9 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A AB=5,BC=13,AC=12,AB2+AC2=52+122=132=BC2, ABC
10、为直角三角形,且A=90. AB,AC分别与O相切于点F,E, OFAB,OEAC, A=AEO=AFO=90, 又OE=OF, 四边形AEOF是正方形. 设OE=r,则AE=AF=r, 又ABC的内切圆O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F, BD=BF=5-r,CD=CE=12-r, BD+CD=BC,5-r+12-r=13,解得r=2, S阴影=22=4.故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 利用勾股定理的逆定理可得到ABC是直角三角形且A=90,再利用切线的性质得到OF AB,OEAC,进而可知四边形 AEOF为正方形.设OE=r,利用切线长定理可得到BD=B
11、F=5-r,CD=CE=12-r,利 用BD+CD=BC列出方程5-r+12-r=13,求得r的值,最后利用正方形的面积公式计算出阴影部分(即四边形AE- OF)的面积. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D作O的 切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H. (1)求证:E为BC的中点; (2)若O的面积为12,AHD和BMH的外接圆面积之比为3,求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的 外接圆面积S2的比. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:连接OE, 在ODE和
12、OBE中, ODEOBE, DOE=BOE= DOB, 又DAB= DOB, DAB=BOE, OEAC, 又O是AB的中点, E为BC的中点. , , , ODOB OEOE EDEB 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)AHD与MHB都是直角三角形, 其外接圆面积的比= =3, = , 又AHDMHB, = = , 又DH=HM, = , BMH=30=DAH,C=60, 又易知O的半径为2 ,AB=4 , 在RtABC中,可求得BC=4,AC=8, 2 2 AD BM AD BM 3 AD BM DH HB 3 HM HB 3 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 连接
13、BD,由题意知BDC是直角三角形, 由(1)知E是斜边BC的中点,而C=60, CDE是等边三角形,且边长为2, CDE的内切圆的半径r1= , 又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4, 四边形ODEB的外接圆的半径r2=2, = . 3 3 1 2 1 2 S S 1 12 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)连接OE,证明ODEOBE,进一步得出OE是ABC的中位线,证得E为BC的中点;(2)根据 题意以及RtAHDRtMHB得出 = = ,则 = =tan 60,求得DAH=30,C=60,得出 CDE是边长为2的等边三角形,则内切圆半径为 ,由OE=
14、AC=4,得四边形ODEB的外接圆半径为2,可以求 出 = . AD MB DH HB 3 HM HB 3 3 3 1 2 1 2 S S 1 12 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 (2017上海,17,4分)如图,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆,如果点C在A内, 点B在A外,且B与A内切,那么B的半径长r的取值范围是 . B组 20152018年全国中考题组 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 818时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18. 栏目引栏目引
15、 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)根据切线的性质有OPPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB= ,设PC=4k,BP=3k,根据勾 股定理可得BC=5k=15,解得k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及ADBC可得 PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP=45,POQ=90,根据切线的性质 有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得 = ,进而求得OP的长,利用弧长公式求出劣弧 的长度, 与弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相切于点A时,两 者只有一个公
16、共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推出x的取值范围为x18. 难点突破 本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于 从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键. 4 3 OP PC PH CK PQ 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2015江苏连云港,24,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x-2 与x轴、y轴分别交于A、B两点, P是直线AB上一动点,P的半径为1. (1)判断原点O与P的位置关系,并说明理由; (2)当P过点B时,求P被y轴所截得的劣弧的长; (3)当
17、P与x轴相切时,求出切点的坐标. 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由直线AB的函数关系式y= x-2 ,得直线AB与两坐标轴的交点:A(2,0),B(0,-2 ). 在直角OAB中,tanOBA= = ,OBA=30. 如图1,过点O作OHAB交AB于点H.在OBA中,OH=OB sinOBA= . 图1 因为 1,所以原点O在P外. (3分) (2)如图2,当P过点B,点P在y轴右侧时,P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120,所以该劣弧长为 = . 同理,当P过点B,点P在y轴左侧时,劣弧长同样为 . 所以当P过点B时,P被y轴所截得的劣弧长为 . (6分) 333 2
18、 2 3 3 3 3 3 1201 180 2 3 2 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 图2 (3)如图3,当P与x轴相切,且位于x轴下方时,设切点为D,连接DP, 图3 在直角DAP中,AD=DP tanDPA=1tan 30= . 此时D点坐标为 . (8分) 当P与x轴相切,且位于x轴上方时,根据对称性可以求出切点坐标为 . (10分) 3 3 3 2,0 3 3 2,0 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 切线的判定与性质 1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70
19、 C.110 D.125 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线,OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 方法总结方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019江苏苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于
20、 点D,连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为 ( ) A.54 B.36 C.32 D.27 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D AB为O的切线, BAO=90, AOB=90-36=54. OD=OA, OAD=ODA. AOB=DAO+ADO=54, ADO=27,即ADC=27. 故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC.在菱形ABOC中
21、,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019甘肃兰州,27,10分)如图,RtABC内接于O,ACB=90,BC=2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角 度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连接DO交O于点F. (1)求证:AD是O的切线; (2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO GB. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明证明 (1)DAE=ABC,且ABC+CAB
22、=90, EAD+CAB=90, DAB=90, 又AO为O的半径, AD为O的切线. (2)如图,由模型可知AEDBCA,AC=DE=1,BC=AE=2, AB=AD= ,AO= ,由(1)知DAB=90, DO= ,易知 = = = ,AEDDAO, EAD=ADO,AEDO,CFO=ACF=ABF, 又FGO=BGF,FGOBGF, = , FG2=GO GB. 5 5 2 5 2 AE AD AD DO DE AO 2 5 5 FG BG GO FG 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方法总结方法总结 1.证明直线与圆相切的方法通常有两种:(1)根据切线的判定定理可知经过半径的外端并且垂
23、直 于这条半径的直线是圆的切线,已知直线与圆有公共点时,常用此法.辅助线是连接公共点和圆心,只要设法 证明直线与半径垂直即可.(2)根据直线与圆的位置关系,若圆心到直线的距离等于圆的半径的长,则直线与 圆相切.当题设中不能肯定直线与圆有公共点时,常用此法.辅助线是过圆心作该直线的垂线段,只要设法证 明垂线段等于半径即可. 2.证明等积式常用的步骤:(1)把等积式转化为比例式;(2)观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;(3) 找这两个三角形相似所需的条件. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是O的直径,点P是O上一点,连接OP,点A关于OP
24、的对称点C恰好 落在O上. (1)求证:OPBC; (2)过点C作O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果D=90,DP=1,求O的直径. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:点A关于OP的对称点C恰好落在O上, = , AOP=POC, AOP= AOC, 又ABC= AOC, AOP=ABC, OPBC. (2)连接PC, CD是O的切线,OCD=90, AP PC 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 又D=90,ADOC, POC=APO. 由(1)知AOP=POC, APO=AOP, 又AO=OP, AOP是等边三角形. 又点A,点C关于OP对称, POC
25、是等边三角形, OCP=60, DCP=30. 又DP=1,D=90, PC=2PD=2, AB=2PC=4.即O的直径为4. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方法指导方法指导 针对含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条 件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直),然后利用切线性质及直角 三角形边角关系、勾股定理等进行证明或计算. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a 为常数),到点O的距离等于a的所有点
26、组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与 图形G的公共点个数. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在O上. 连接OA,OC,OD,如图. BD平分ABC, ABD=CBD. ABD= AOD, CBD= COD, AOD=COD. AD=CD. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)AD=CD,AD=CM, CD=CM. CDM=CMD.
27、 CMD=CBD, CDM=CBD. DMBC, DCB+CDM=90, DCB+CBD=90. BDC=90. BC为O的直径. 点O在BC上. OB=OD, OBD=ODB. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 ABD=ODB. ABOD. DEBE, ODDE, DE为O的切线. DE与O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019广东,24,9分)如图1,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB交O于 点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证:ED=EC; (2)求证:
28、AF是O的切线; (3)如图2,若点G是ACD的内心,BC BE=25,求BG的长. 图1 图2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:如图. AB=AC, 1=3. 1=2, 2=3. (1分) 3=4, 2=4, ED=EC. (2分) (2)证明:如图,连接OA、OB、OC, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 OB=OC,AB=AC, AO垂直平分BC, AOBC. (3分) 由(1)知2=3, ABDF, AB=AC=CF, 四边形ABCF是平行四边形. (4分) AFBC, AOAF, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 又OA是O的半径, AF是O的切线. (5分) (3
29、)如图,连接AG. 1=2,2=5, 1=5, G是ADC的内心, 7=8, BAG=5+7, 6=1+8, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BAG=6, AB=BG. (7分) 3=3,1=5, ABECBA, = , (8分) AB2=BE BC=25, AB=5, BG=5. (9分) AB BE BC AB 思路分析思路分析 (1)在一个三角形中证两边相等,常用的方法是利用等角对等边,在圆中找角相等,常用到的是同 弧或等弧所对的圆周角相等;(2)可先证OABC,再证明四边形ABCF为平行四边形,可得AFBC,从而得结 论;(3)由已知条件证得BG=AB,ABECBA,由BC BE=25
30、,求出AB的长度为5,从而求得结果. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦AD,BC相交于点E. (1)求证: = ; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段 PQ上),求PQ的长. AC CD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析 (1)证明:连接OD. OCBD, OCB=DBC, OB=OC, OCB=OBC, OBC=DBC, AOC=COD, = . (2)连接AC. = , CBA=C
31、AD. 又BCA=ACE, CBACAE. AC CD AC CD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 = . CA2=CE CB=CE (CE+EB)=1(1+3)=4. CA=2. AB为O的直径, ACB=90. 在RtACB中,由勾股定理,得AB= = =2 . O的半径为 . CA CE CB CA 22 CACB 22 245 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (3)如图,设AD与CO相交于点N, AB为O的直径, ADB=90, OCBD, ANO=ADB=90. PC为O的切线, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 PCO=90. ANO=PCO. PCAE. = = . PA= A
32、B= 2 = . PO=PA+AO= + = . 过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=ACB. PQCB,BPQ=ABC. OHPACB. = = . OH= = = ,PH= = = . PA AB CE EB 1 3 1 3 1 3 5 2 5 3 2 5 3 5 5 5 3 OP AB OH AC PH BC AC OP AB 5 5 2 3 2 5 5 3 BC OP AB 5 5 4 3 2 5 10 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 连接OQ. 在RtOHQ中,由勾股定理,得HQ= = = . PQ=PH+HQ= . 22 OQOH 2 2 5 ( 5) 3 2 5 3 10
33、2 5 3 思路分析思路分析 (1)依据题意推得AOC=COD,可证 = ;(2)先证CBACAE,求得CA的长,再在RtACB 中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OHPQ,证OHPACB,根据相似的性质以及勾股定理求 得HQ的长,再求PQ的长. AC CD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点. (1)如图,求ACB的大小; (2)如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图,连接OA,OB, PA
34、,PB是O的切线, OAPA,OBPB,即OAP=OBP=90, APB=80, 在四边形OAPB中,AOB=360-OAP-OBP-APB=100, 在O中,ACB= AOB, ACB=50. (2)如图,连接CE, AE为O的直径, 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 ACE=90, 由(1)知,ACB=50, BCE=ACE-ACB=40, BAE=BCE=40, 在ABD中,AB=AD, ADB=ABD= (180-BAE)=70, 又ADB是ADC的一个外角,有EAC=ADB-ACB, EAC=20. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)连接OA,OB
35、,根据切线的性质得OAP=OBP=90,根据四边形内角和可得AOB=100,由 圆周角定理得ACB= AOB=50; (2)连接CE,由圆周角定理及其推论(直径所对的圆周角是直角)可得BCE=BAE=40,根据等边对等角得 ABD=ADB=70,依据ADB=EAC+ACB可得EAC=20. 1 2 方法指导方法指导 圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆周 角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角形的 性质、三角形内角和定理、三角形内外角的关系等. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2019湖北黄
36、冈,23,8分)如图,RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O交AB于点D.过点D作O的切线 交BC于点E,连接OE. (1)求证:DBE是等腰三角形; (2)求证:COECAB. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明证明 (1)连接OD. DE是O的切线,ODE=90, ADO+BDE=90, 又ACB=90,OAD+B=90, OA=OD,OAD=ADO, BDE=B, EB=ED, DBE是等腰三角形. (2)ACB=90,AC是O的直径, CB是O的切线, 又DE是O的切线, DE=EC. DE=EB, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 EC=EB. 又OA=OC, OEAB. CO
37、ECAB. 思路分析思路分析 (1)连接OD,根据直线与圆相切可推得ODE=90,再根据ACB=90及AOD是等腰三角形可 证BDE=B,问题解决;(2)由于DE、CB都与圆O相切,可得DE=CE,再根据(1)的结论可判断出点E为BC的 中点,从而OE为ACB的中位线,问题解决. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A, D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. (1)求证:BC是O的切线; (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (
38、3)若BE=8,sin B= ,求DG的长. 5 13 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:如图,连接OD. AD为BAC的平分线,BAD=CAD, OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC. 又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线. (2)连接DF. 由(1)可知,BC为O的切线. FDC=DAF,CDA=CFD,AFD=ADB, 又BAD=DAF,ABDADF, = ,AD2=AB AF,AD2=xy,AD= . AB AD AD AF xy 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (3)连接EF. 在RtBOD中,sin B= = , 设圆的半径为r,
39、= ,r=5,AE=10,AB=18. AE是直径,AFE=90,又C=90, EFBC,AEF=B,sinAEF= = , AF=AE sinAEF=10 = , AFOD, = = = ,DG= AD, AD= = = , DG= = . OD OB 5 13 8 r r 5 13 AF AE 5 13 5 13 50 13 AG DG AF OD 50 13 5 10 13 13 23 AB AF 50 18 13 30 13 13 13 23 30 13 13 30 13 23 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 12.(2018内蒙古呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在A
40、C上,点M与点C分别是AC与O的交点,点D 是MB与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且 = . (1)求证:PD是O的切线; (2)若AD=12,AM=MC,求 的值. AD AP AM AO BP MD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:连接OD、OP, = ,A=A, ADMAPO, ADM=APO, MDPO,1=4,2=3, OD=OM,3=4, 1=2,又OP=OP,OD=OC, ODPOCP,ODP=OCP, BCAC,OCP=90, AD AP AM AO 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 ODP=90,ODAP, 又OD为半径,PD是O的切线. (2)
41、由(1)知PC=PD,连接CD, AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径). 在RtAOD中,OD2+AD2=OA2, R2+122=9R2,R=3 . OD=3 ,MC=6 , = = ,AD=12, AP=18,DP=6. 又MDPO,O是MC的中点, = = , 点P是BC的中点, 2 22 AD AP AM AO 2 3 CO MC CP CB 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BP=CP=DP=6, 又MC是O的直径, BDC=CDM=90. 在RtBCM中, BC=2BP=12,MC=6 , BM=6 . 易知BCMCDM, = ,即 = . MD=2 , = = .
42、2 6 MD MC MC BM6 2 MD6 2 6 6 6 BP MD 6 2 6 6 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 13.(2018江西,20,8分)如图,在ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A 作ADBO交BO的延长线于点D,且AOD=BAD. (1)求证:AB为O的切线; (2)若BC=6,tanABC= ,求AD的长. 4 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:过点O作OEAB于点E,则OEB=90. BC切O于点C,OCB=OEB=90. ADBD,ADB=90. AOD=BOC,CBD=OAD. D=90,AO
43、D=BAD, OAD=ABD,ABD=CBO. OE=OC. AB为O的切线. (2)BC=6,tanABC= ,ACB=90, AC=BC tanABC=8. AB= =10. AB与BC均为O的切线, 4 3 22 68 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BE=BC=6.AE=AB-BE=10-6=4. 设OC=OE=x, 则在RtAEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3. OB= = =3 . SBOA= AB OE= BO AD, AB OE=BO AD. 103=3 AD,AD=2 . 22 OCBC 22 365 1 2 1 2 55 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 14.(
44、2017陕西,23,8分)如图,已知O的半径为5,PA是O的一条切线,切点为A,连接PO并延长,交O于点B, 过点A作ACPB交O于点C、交PB于点D,连接BC.当P=30时, (1)求弦AC的长; (2)求证:BCPA. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)连接OA. PA是O的切线,切点为A, PAO=90, P=30, AOD=60. ACPB,PB过圆心, AD=DC. 在RtODA中,AD=OA sin 60= . AC=2AD=5 . 5 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)证明:ACPB,P=30, PAC=60. AOP=60, BOA=120, BCA=60, PAC=BCA. BCPA. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 15.(2017江西,21,9分)如图1,O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),ABC=30,过点P作PD OP交O于点D. (1)如图2,当PDAB时,求PD的长; (2)如图3,当
