1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 2.2 一元二次方程 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 一元二次方程及其解法 A组 2019年全国中考题组 1.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b= ( ) A.-2 B.-3 C.4 D.-6 答案答案 A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3
2、D.(x-2)2=5 答案答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 解析解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2- x-17=0,x2- x=17, x2- x+ =17+ , = , x- = , x1= ,x2= . 9 2 9 2 9 2 2 9 4 2 9 4 2 9 4 x 353 16 9 4 353 4 9353 4 9353 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 根的判别式、根与系数
3、之间的关系 1.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1 x2的值为 ( ) A.-5 B.5 C.-4 D.4 答案答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( ) A.k B.k C.k0, 方程有两个不相等的实数根. x= = , x1= ,x2= . 2 4 2 bbac a 228 2 3 17 3 17 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系 1
4、.(2018山西,4,3分)下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 答案答案 C 因为=(-2)2=40,所以A选项有两个不相等的实数根;因为=42+4=200,所以B选项有两个不相 等的实数根;因为=(-4)2-423=-80,所以D选项有两个不相等的实数根.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018云南昆明,8,4分)关于x的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( ) A.m3 C.m3 D.m3 3 答案答案 A 由题意知=b2-4ac=1
5、2-4m0,解得m0,a- . 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃,20,7分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值. 解析解析 (1)=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+90. 解得m- . (2分) m的最小整数值为-2. (3分) (2)x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2, (4分) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+9.
6、 4m+9+m2=21. 解得m1=-6,m2=2. (6分) m- 时,方程有两个实数根, m=2. (7分) 9 4 9 4 思路分析思路分析 (1)方程有两个实数根,说明判别式大于等于0;(2)利用根与系数的关系可求出(x1-x2)2与m的关系. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 一元二次方程的应用 1.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房 每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用. 当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,
7、则有 ( ) A.(180+x-20) =10 890 B.(x-20) =10 890 C.x -5020=10 890 D.(x+180) -5020=10 890 50 10 x 180 50 10 x 180 50 10 x 50 10 x 答案答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有 个,所以有游客居住的房间有 个,则宾馆当天 的利润为 (x-20)元,故B正确. 180 10 x180 50 10 x 180 50 10 x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018内蒙古通辽,15,3分)为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比 赛,赛制为单循环
8、形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参 赛,根据题意,可列方程为 . 答案答案 x(x-1)=21 1 2 解析解析 邀请x个球队参赛,由于每个球队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得 x(x-1)=21. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降,3 月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测4月份该公司的生产成本. 解析解析 (1)
9、设该公司每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得400(1-x)2=361, 解得x1= =5%,x2= =1.95, 1.951,x2=1.95不合题意,舍去. 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361(1-5%)=342.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 1 20 39 20 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 C组 教师专用题组 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2016辽宁沈阳,8,2分)一元二次方程x2-4x=12的根是 ( ) A.x1=2,x2=-6 B.x1=-2,x2=6 C.x1=-2,x2=-6 D.x1=2,x2=6 答案答案 B
10、 原方程配方得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,故x-2=4,x1=-2,x2=6,故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018贵州铜仁,3,4分)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为 ( ) A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3 答案答案 C 方程x2-4x+3=0可化为(x-1)(x-3)=0,这个一元二次方程的两个根分别为x1=1,x2=3.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018广西柳州,16,3分)一元二次方程x2-9=0的解是 . 答案答案 x=3 解析解析 x2-9=0
11、,x2=9,x=3. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2015甘肃兰州,16,4分)若一元二次方程ax2-bx-2 015=0有一根为x=-1,则a+b= . 答案答案 2 015 解析解析 将x=-1代入方程得a+b-2 015=0,则a+b=2 015. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4. 解析解析 (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1. (8分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2017甘肃兰州,21(2),5分)解方程:2x2-4x-1=0. 解析解
12、析 a=2,b=-4,c=-1, =b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240, (2分) x= = , (4分) 即x1= ,x2= . (5分) 424 2 2 26 2 26 2 26 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系 1.(2019广东,9,3分)已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是 ( ) A.x1x2 B. -2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1 x2=2 2 1 x 答案答案 D 因为x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,所以 -2x1=0,x1+x2=2,x1x2=0,所以x1x
13、2,故选D. 2 1 x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两个 不相等的实数根,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他 核对时发现所抄的c比原方程的c
14、值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该 为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数 根;当 B.m C.m= D.m= 9 8 8 9 9 8 8 9 答案答案 C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m= ,故选C. 9 8 栏目引栏
15、目引 栏目索引栏目索引 7.(2018湖北咸宁,6,3分)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2且x1|x2|,故C错误;x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一个根,2 +2x1-1=0, +x1= ,故D正确. 2 2 1 2 2 1 x 2 1 x 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2017内蒙古包头,8,3分)若关于x的不等式x- 0,当b2-4ac0时,方程有实数根. x+ = . b a c a b a 2 2 b a c a 2 2 b a 2 2 b x a 2 2 4 4 bac a 2 b a 2 4 2 bac a 栏目引栏目引 栏目索引栏
16、目索引 当b2-4ac0时,x1= ,x2= , x1 x2= = = = ; 当b2-4ac=0时,x1=x2=- , 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 22 2 (4) (4) 4 bbacbbac a 22 2 (4) 4 bbac a 2 4 4 ac a c a 2 b a x1 x2= = = = . 综上,证得x1 x2= . 2 2 b a 2 2 4 b a 2 4 4 ac a c a c a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 17.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
17、 (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0, x1=x2=-1. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 18.(2017湖北黄冈,17,6分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求 + 的值. 2 1 x 2 2 x 解析解析
18、(1)方程有两个不相等的实数根, =(2k+1)2-4k2=4k+10, (2分) 解得k- , k的取值范围是k- . (3分) (2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0. 由根与系数的关系可得 (4分) + =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7. (6分) 1 4 1 4 12 12 3, 1. xx xx 2 1 x 2 2 x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 一元二次方程的应用 1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.
19、30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得 当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足 ( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16 答案答案 D 第一次降价后
20、的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,25(1-x)2=16,故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如 图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( ) A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000 答案答案 C 长
21、方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程(80-2x)(70- 2x)=3 000. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018江苏盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加 盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元, 平均每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元? 解析解析 (1)26. (2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平
22、均每天销售数量为(20+2x)件, 由题意得(40-x)(20+2x)=1 200,解得x1=10,x2=20, 当x=10时,40-x=40-10=3025, 当x=20时,40-x=40-20=200),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每 千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程 数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米, 根据题意,得x4(50-x). (2分) 解得x40. 答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千
23、米. (4分) (2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为21,所以,道路硬化的里程数 为30千米,道路拓宽的里程数为15千米. 设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元. 由题意,得30y+152y=780, 解得y=13. 所以,2017年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元. (5分) 根据题意,得 13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%). (8分) 令a%=t,原方程可化为: 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 520(1+t)(1+5t)
24、+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t). 整理得10t2-t=0. 解得t1=0,t2=0.1. a%=0(舍去)或a%=0.1. a=10. 答:a的值是10. (10分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2017重庆A卷,23,10分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影 响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产. (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收获 樱桃至少多少千克; (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年樱桃的市场销售量为1
25、00 千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价与去年相同;该果农去年枇 杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价 比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市 场销售总金额相同,求m的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设该果农今年收获樱桃x千克. 根据题意,得400-x7x, 解这个不等式,得x50. 答:该果农今年收获樱桃至少50千克. (2)根据题意,得100(1-m%)30+200(1+2m%)20(1-m%)=10030+
26、20020, 令m%=y,原方程可化为3 000(1-y)+4 000(1+2y)(1-y)=7 000. 整理这个方程,得8y2-y=0, 解这个方程,得y1=0,y2=0.125, m%=0(舍去)或m%=0.125, m=12.5. 答:m的值是12.5. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 30分钟 50分 1.(2019内蒙古赤峰一模,1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为 ( ) A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x-1)2=6 D.(x-2)2=9 答案答案 C 由原方程移项,得x2-2x=5,方程的两边同
27、时加上一次项系数-2的一半的平方,得x2-2x+1=6,(x-1)2 =6.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,6)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根,则k的值为 ( ) A.2 B. C.2或3 D. 或 6623 答案答案 A 方程有两个相等的实数根,=(-k)2-423=k2-24=0,解得k=2 ,故选A. 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018辽宁鞍山铁西3月模拟,6)若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 是( ) A.k0,即(-6)2-49k0,解得k 且m
28、1, 当m 且m1时,方程有两个不同的实数根. 2 10, ( 1)4 ( 2)(1)0, m m 7 8 7 8 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2018湖北襄阳枣阳模拟,22)已知某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场 决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元. 据此规律,请回答: (1)该商品的日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示); (2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元? 解析解析 (1)由“每件商品每降价1元,
29、则平均每天可多售出2件”知,每件商品降价x元,则日销售量增加2x件, 每件商品盈利(50-x)元,故答案为2x;(50-x). (2)由题意得(50-x)(30+2x)=2 100(0x50), 化简得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0, 解得x1=15,x2=20. 为了尽快减少该商品的库存, 日销售量应尽量高一些,x=20. 答:每件商品降价20元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 30分钟 50分 1.(2019甘肃定西一诊,7)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有
30、实数根,则k的取值范围是 ( ) A.k5 B.k5且k1 C.k5且k1 D.k2 400,2017年我市能完成目标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2018新疆昌吉州阜康二模,18)如图所示,ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=8 cm. (1)若点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,且 P,Q分别从A,B同时出发,则经过几秒,PBQ的面积等于8 cm2? (2)若点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,且P, Q分别从A,B同时出发,则线
31、段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分?若能,请求出运动时间;若不能,请说 明理由; (3)若点P沿射线AB方向从A点出发以1 cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动, 且P,Q同时出发,问:经过几秒,PBQ的面积为1 cm2? 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设经过x(0x4)秒,PBQ的面积等于8 cm2, 依题意有 (6-x) 2x=8, 解得x1=2,x2=4, 经检验,x1,x2均符合题意. 故经过2秒或4秒,PBQ的面积等于8 cm2. (2)不能.理由如下: 假设经过y(0y4)秒,线段PQ能将ABC分成面积相等的两部分,依题意得
32、,ABC的面积= 68=24 cm2, 则 (6-y) 2y=12,即y2-6y+12=0, =b2-4ac=36-412=-120, 此方程无实数根, 线段PQ不能将ABC分成面积相等的两部分. (3)当点P在线段AB上,点Q在线段CB上时, 1 2 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 设经过m(0m4)秒,PBQ的面积为1 cm2, 依题意有 (6-m)(8-2m)=1, 即m2-10m+23=0, 解得m1=5+ ,m2=5- , 经检验,m=5+ 不符合题意,舍去, m=5- . 当点P在线段AB上,点Q在线段CB的延长线上时, 设经过n(46)秒,PBQ的面积为1 cm2, 依题意有 (k-6)(2k-8)=1, 即k2-10k+23=0, 解得k1=5+ ,k2=5- , 经检验,k=5- 不符合题意,舍去, k=5+ . 综上所述,经过(5- )秒,5秒,(5+ )秒,PBQ的面积为1 cm2. 1 2 22 2 2 22
